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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Schaubilder von Funkt...
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Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
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Tangente
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Geraden
Geraden
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Spurpunkte
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Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
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Vermischte Aufgaben
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Geordnete Stichprobe ...
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Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
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Normalverteilung
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Wurzelfunktionen

Spickzettel
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Wenn du den Graphen einer Quadratwurzelfunktion zeichnen willst, beachte folgende Punkte:
  • Die Quadratwurzelfunktion $y = \sqrt{x}$ ist nur für positive Zahlen definiert. Ihr Graph beginnt im Punkt $(0|0)$ und ist streng monoton steigend.
  • Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
    Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
  • Der Graph wird entlang der $y$-Achse nach oben verschoben, wenn eine Konstante $c$ zu $f(x)$ addiert wird, nach unten, wenn die Konstante $c$ subtrahiert wird: $\sqrt{x} \pm c$. Verschiebungen nach rechts finden statt, wenn unter der Wurzel eine Kostante $c$ subtrahiert wird, nach links, wenn die Konstante $c$ addiert wird: $\sqrt{x \pm c}$
  • Wird die Funktion mit einem Faktor $n > 1$ multipliziert, streckst du den Graph entlang der $y$-Achse, ist der Faktor $n < 1$, stauchst du den Graph entlang der $y$-Achse: $n \cdot \sqrt{x}$
  • Der Graph wird an der $x$-Achse gespiegelt, wenn ein negatives Vorzeichen vor die Funktion geschrieben wurde: $-\sqrt{x}$. Du spiegelst die Funktion an der $y$-Achse, wenn unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen steht $\sqrt{-x}$. In diesem Fall dürfen für $x$ dann nur negative Werte eingesetzt werden.
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Aufgaben
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1.
Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme den Definitionsbereich.
b)
$y=-\sqrt{x-1}$
d)
$y=\sqrt{2x-1}-1$
f)
$y=\sqrt{2x}+2$
2.
Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervorgeht.
b)
$y=-\sqrt{2x+1}$
d)
$y=\sqrt{x-1}-1$
f)
$y=\sqrt{2x}+3$
3.
Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.
b)
$y=-\sqrt{x+1}$
Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in positive y-Richtung („nach oben“)
d)
$y=\sqrt{-x}$
Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der x-Achse
f)
$y=2\sqrt{x+1}+2$
Verschiebung um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“)
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Lösungen
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Die Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ ist für alle $x\geq0$ definiert. Der Ausdruck, der „unter“ der Wurzel steht, wird Radikand genannt. Der Definitionsbereich besteht also genau aus den Zahlen, für die der Wert unter der Wurzel nicht kleiner als Null wird.
Das Schaubild einer Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\sqrt{b(x-c)}+d$ entsteht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ durch Streckung bzw. Stauchung in $y$-Richtung um Faktor $a$, Streckung bzw. Stauchung in $x$-Richtung um Faktor $b$, Verschiebung in $x$-Richtung um $c$ LE und Verschiebung in $y$-Richtung um $d$ LE.
1.
Schaubilder skizzieren und Definitionsbereiche angeben
a)
$y=\sqrt{x+1}$
Definitionsbereich bestimmen
Untersuche, für welche Werte von $x$ der Radikand größer oder gleich Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} x+1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x&\geq& -1 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[-1;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-1\right\}$.
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
b)
$y=-\sqrt{x-1}$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x-1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x&\geq& 1 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[1;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq1\right\}$.
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
c)
$y=\sqrt{x+3}-2$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+3&\geq&0 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&\geq& -3 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[-3;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-3\right\}$.
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
d)
$y=\sqrt{2x-1}-1$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2x-1&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2x&\geq& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq&\frac{1}{2} \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[\frac{1}{2};\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq\frac{1}{2}\right\}$.
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
e)
$y=-\frac{1}{2}\sqrt{x}-1$
Definitionsbereich bestimmen
$x\geq0$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[0;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq0\right\}$.
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
f)
$y=\sqrt{2x}+2$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2x&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq& 0 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=[0;\infty[$ bzw. $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq0\right\}$.
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
2.
Schaubilder skizzieren und herleiten
a)
$y=\sqrt{x+1}$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubild herleiten
Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion durch Verschiebung um 1 LE in negative $\boldsymbol{x}$-Richtung („nach links“) hervor.
b)
$y=-\sqrt{2x+1}$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubild herleiten
$f(x)=-\sqrt{2x+1}=-\sqrt{2\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)}$.
$f(x)=-\sqrt{2\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)}$
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -\sqrt{2x+1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -\sqrt{2\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)} \end{array}$
Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Spiegelung an der $x$-Achse, Stauchung in $x$-Richtung um Faktor 2 und Verschiebung in negative $\boldsymbol{x}$-Richtung („nach links“) um 0,5 LE.
c)
$y=\sqrt{2x}+1$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubild herleiten
Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Stauchung um Faktor 2 in $x$-Richtung und Verschiebung um 1 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“).
d)
$y=\sqrt{x-1}-1$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubild herleiten
Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Verschiebung um 1 LE in positive $x$-Richtung („nach rechts“) und Verschiebung um 1\,LE in negative $y$-Richtung („nach unten“).
e)
$y=-2\sqrt{-x}$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubild herleiten
Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Spiegelung an der $x$-Achse, Streckung um Faktor 2 in $y$-Richtung und Spiegelung an der $y$-Achse.
f)
$y=\sqrt{2x}+3$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubild herleiten
Das Schaubild von $f$ geht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion hervor durch Stauchung in $x$-Richtung um Faktor 2 und um Verschiebung in positive $y$-Richtung um 3 LE („nach oben“).
3.
Funktionsgleichung aufstellen
a)
$y=\sqrt{x}$
Verschiebung um 1 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und um 3 LE in positive y-Richtung („nach oben“)
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Funktionsterm
$y_{\text{neu}}=\sqrt{x-1}+3$
b)
$y=-\sqrt{x+1}$
Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in positive y-Richtung („nach oben“)
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Funktionsterm
$y_{\text{neu}}=-\sqrt{x+4}+4$
c)
$y=\sqrt{2x+1}-1$
Verschiebung um 2 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in negative y-Richtung („nach unten“)
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Funktionsterm
Umschreiben des Funktionsterms:
$f(x)=\sqrt{2x+1}-1=\sqrt{2\cdot(x+0{,}5)}-1$
$f(x)=\sqrt{2\cdot(x+0{,}5)}-1$
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \sqrt{2x+1}-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \sqrt{2\cdot(x+0{,}5)}-1 \end{array}$
Der neue Funktionsterm lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} y_{\text{neu}}&=& \sqrt{2\cdot (x+0,5+2)}-1-4 \\[5pt] &=& \sqrt{2\cdot x+5}-5 \end{array}$
$ y_{\text{neu}} = \sqrt{2\cdot x+5}-5 $
d)
$y=\sqrt{-x}$
Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der x-Achse
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Funktionsterm
$y_{\text{neu}}=-(\sqrt{-x}+2)$
e)
$y=\sqrt{x-1}-1$
Verschiebung um 3 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und anschließende Spiegelung an der y-Achse
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Funktionsterm
$y_{\text{neu}}=\sqrt{-x-4}-1$
f)
$y=2\sqrt{x+1}+2$
Verschiebung um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“)
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Wurzelfunktionen
Funktionsterm
$y_{\text{neu}}=2\sqrt{x+4}+3$
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