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Zweiseitiger Test

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Gegeben sind die Punkte $A(0;2;3)$, $B(1;-2;6)$ und $C(-4;2;15)$.
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ von $B$ der bei der Spiegelung an der Geraden durch $A$ und $C$ entsteht.
b)
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $ABCB'$.
c)
Die Fläche $ABCB'$ bildet die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Ursprung ist. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
2.
Gegeben sind die Punkte $A(1;1;1)$, $B(3;3;1)$ und $C(0;4;5)$, sowie die Gerade
$g$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 13\\ \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r} 5\\ -3\\ -17\\ \end{array}\right)$ $;\;r\in\mathbb{R}$.
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und der Ebene $E$, welche durch $A$, $B$, $C$ aufgespannt wird.
b)
Die Gerade $g'$ entsteht durch Spiegelung der Geraden $g$ an $E$.
Bestimmen Sie eine Gleichung für $g'$.
3.
Gegeben sind eine Ebene $E$, sowie zwei Geraden $g$ und $h$. $g$ schneidet $E$, $h$ verläuft parallel zu $E$.
Sie sollen die Geraden jeweils an $E$ spiegeln. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
4.
Zeigen Sie, dass die Gerade
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$,
sowie die Punkte $A\left(5\mid3\mid5\right)$ und $B\left(1\mid1\mid-3\right)$ in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Weisen Sie nach, dass $B$ der Spiegelpunkt von $A$ an $g$ ist.
Kann man generell sagen, dass Punkt, Spiegelgerade und Spiegelpunkt immer in einer Ebene liegen?
5.
Gegeben ist der Punkt $A\left(3\mid1\mid0\right)$ und dessen Spiegelpunkt $A'\left(-3\mid1\mid8\right)$.
Bestimmen Sie die Gleichung einer Spiegelgerade für $A$ und $A'$, sowie die Gleichung einer Spiegelebene für $A$ und $A'$.
6.
Die zwei Ebenen $E:6x_1-x_2+2x_3=6$ und $F:2x_2-4x_3=0$ schneiden sich in einer Geraden. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes von $A\left(3\mid1\mid1\right)$ bezüglich dieser Geraden an.
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1.
a)
Berechnung des Spiegelpunktes $B'$
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
$\overrightarrow{AC}$=$\left(\begin{array}{r} -4\\ 0\\ 12\\ \end{array}\right)$=$4\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$
Die Gerade durch die Punkte $A$ und $C$ hat die Gleichung
$\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$; $\;s\in\mathbb{R}$
Es sei der Punkt $S(-s;\;2;\;3+3s)$ Fußpunkt des Lotes von $B(1;\;-2;\;6)$ auf $AC$.
Dann gilt: Das Skalarprodukt des Vektors $\overrightarrow{BS}$ und des Richtungsvektors $\overrightarrow{u}$ der Geraden durch $A$ und $C$ muss $=0$ ergeben
$\overrightarrow{BS}\circ\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$=$0$
$\left(\begin{array}{r} -s-1\\ 4\\ 3s-3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)=s+1+9s-9=0$ $\;\Rightarrow \;s=\dfrac{4}{5}$.
$s=\dfrac{4}{5}$.
Setzt man $s$ in den Punkt S und den Vektor $\overrightarrow{BS}$ ein, ergibt sich $S\left(-\frac{4}{5};\;2;\;\frac{27}{5}\right)$ und $\overrightarrow{BS}$=$\left(\begin{array}{r} -\dfrac{9}{5}\\ 4\\ -\dfrac{3}{5}\\ \end{array}\right)$
Für den Spiegelpunkt B' gilt:
$\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{BS}=\left(\begin{array}{r} -\frac{4}{5}\\ 2\\ \frac{27}{5}\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} -\frac{9}{5}\\ 4\\ -\frac{3}{5}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -\frac{13}{5}\\ 6\\ \frac{24}{5}\\ \end{array}\right)$ $\Rightarrow\;B'\left(-\frac{13}{5};\;6;\;\frac{24}{5}\right)$
$B'\left(-\frac{13}{5};\;6;\;\frac{24}{5}\right)$
b)
Bestimmung des Flächeninhalts
$A_{ABCB'}=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BS}\right|=\left|\left(\begin{array}{r} -4\\ 0\\ 12\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} -\frac{9}{5}\\ 4\\ -\frac{3}{5}\\ \end{array}\right)\right|=\sqrt{160}\cdot\sqrt{19,6}=56\;$FE
$A_{ABCB'}=56\;FE$
c)
Bestimmung des Volumens der Pyramide
Für das Volumen der Pyramide gilt $V_{\text{Pyr}}=\frac{1}{3}\dot G\cdot h$. Da $G$ schon in b) berechnet wurde, braucht man noch die Höhe $h$ der Pyramide. Diese entspricht dem Abstand einer Ebene $H$ durch die Punkte $A$, $B$, $C$ und $B'$ zum Ursprung.
Abstand von $H$ zum Koordinatenursprung
$\begin{array}{rcll} H:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{x}&=&\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ -4\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -4\\ 0\\ 12\\ \end{array}\right) \end{array}$
$H:$
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ dieser Ebene $H$ bestimmen wir mit Hilfe des Kreuzprodukts der beiden Richtungsvektoren:
$\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ -4\\ 3\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} -4\\ 0\\ 12\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -48\\ -24\\ -16\\ \end{array}\right)= (-8)\cdot\left(\begin{array}{r} 6\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}$=$(-8)\cdot\left(\begin{array}{r} 6\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)$
Daraus ergibt sich die vorläufige Koordinatengleichung der Ebene:
$\begin{array}{rcll} H:6x_1+3x_2+2x_3&=&d&\scriptsize{\mid \text{ Stützpunkt } \left(0\mid2\mid3\right) \text{ einsetzen}}\\ H:6\cdot0+3\cdot2+2\cdot3&=&d=12\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} d=12 \end{array}$
$HNF$ von $H$:
$H$: $\dfrac{\left|6x_1+3x_2+2x_3-12\right|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\dfrac{\left|6x_1+3x_2+2x_3-12\right|}{7}=0$
$H$:
Einsetzen, des Koordinatenursprungs $O(0;0;0)$ liefert
Höhe $h=d(O;H)$=$\dfrac{\left|6\cdot0+3\cdot0+2\cdot0-12\right|}{7}$=$\dfrac{12}{7}$
Höhe $h=\dfrac{12}{7}$
Das Volumen der Pyramide ist damit $V_{\text{Pyr}}$=$\frac{1}{3}\cdot 56\cdot\frac{12}{7}$=$32\;$VE.
2.
a)
Bestimmung des Schnittpunkts von $g$ und $E$
Zunächst bestimmt man eine Parameterform der Ebene $E$ durch die Punkte $A(1;1;1)$, $B(3;3;1)$ und $C(0;4;5)$
$E:\;\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 0\\ \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 4\\ \end{array}\right)$
$E$:
$s,t\in\mathbb{R}$
Bestimmung einer Koordinatenform von $E$
Für einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$ gilt
$\overrightarrow{n}\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 0\\ \end{array}\right)=0$ und $\overrightarrow{n}\circ\left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 4\\ \end{array}\right)=0$
$2n_1+2n_2=0$ und $\;-n_1+3n_2+4n_3=0$
$\Rightarrow\;n_1=-n_2$
Setzt man $n_2=-1$, so ergibt sich $n_1=1$ und $n_3=1$.
Ein möglicher Normalenvektor ist somit $\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)$.
Die vorläufige Koordinatenform von $E$ lautet damit $x_1-x_2+x_3=d$.
Setzt man nun noch den Punkt $A(1;1;1)$ ein, so ergibt sich
$E$:$\;1-1+1$=$d$=$1$
$\Rightarrow E:\;x_1-x_2+x_34=$1$
Für den Schnittpunkt von $E$ und $g$: $\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 13\\ \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r} 5\\ -3\\ -17\\ \end{array}\right)$ $;\;r\in\mathbb{R}$ ergibt sich somit
$\begin{array}{rcll} (-1+5r)-(2-3r)+(13-17r)&=&1&\\ -9r+10&=&1&\\ r&=&1&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} r=1 \end{array}$
Setzt man nun $r=1$ in $g$ ein, so ergibt sich für den Schnittpunkt $S$
$\overrightarrow{OS}$=$\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 13\\ \end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ -3\\ -17\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ -4\\ \end{array}\right)$ $\Rightarrow\;S(4;\;-1;\;-4)$
b)
Skizze
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Der Stützvektor $\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 13\\ \end{array}\right)$ und damit der Punkt $T(-1;2;13)$ liegt nicht in der Ebene $E$, da $E$: $-1-2+13\neq1$ ist.
Um die Gerade $g$ an $E$ zu spiegeln reicht es aus, den Punkt $T$ an $E$ zu Spiegeln und dann die Verbindungsgerade $g'$ von $T'$ und $S$ aufzustellen (siehe Skizze)
Aufstellen der Geraden $h$
Die Gerade $h$ steht senkrecht zur Ebene und geht durch den Punkt $T$.
(der Richtungsvektor von $h$ ist der Normalenvektor von $E$)
$h:\;\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 13\\ \end{array}\right)+k\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)$
Der Schnittpunkt von $E$ und $h$ ist $H$. ($h$ eingesetzt in $E$)
$(-1+k)-(2-k)+(13+k)$=$1$ $\Rightarrow\;k=-3$
Setzt man $k=-3$ in $h$ ein, so erhält man $H(-4;5;10)$.
Für den Punkt $T'$ gilt
$\overrightarrow{OT'}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{TH}=\left(\begin{array}{r} -4\\ 5\\ 10\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} -3\\ 3\\ -3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -7\\ 8\\ 7\\ \end{array}\right)$ $\Rightarrow\;T'(-7;8;7)$
$T'(-7;8;7)$
Für die Spiegelgerade $g'$ ergibt sich schließlich
$g':\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS}+r\cdot\overrightarrow{ST'}=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ -4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -11\\ 9\\ 11\\ \end{array}\right)$
$g'$:
3.
Spiegelung von $g$ an $E$ beschreiben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Um die Gleichung einer Geraden bestimmen zu können, benötigen wir zwei Punkte, die auf dieser Geraden liegen. Da $g$ die Spiegelebene $E$ in $P$ schneidet, liegt der Punkt $P$ auch auf der Spiegelgeraden $g'$.
Wir bestimmen nun einen beliebigen anderen Punkt $Q$ der Geraden – dies kann auch der Stützvektor sein, wenn dieser nicht $\overrightarrow{OP}$ ist – und spiegeln diesen Punkt $Q$ an der Ebene.
Die Spiegelgerade $g'$ verläuft durch $P$ und $Q'$.
Spiegelung von $h$ an $E$ beschreiben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
$h$ verläuft parallel zur Ebene $E$; wenn also $h$ an $E$ gespiegelt wird, verläuft die Spiegelgerade $h'$ immer noch parallel zu $E$ und insbesondere auch parallel zu $h$.
Wir kennen den Richtungsvektor der Spiegelgeraden also bereits, uns fehlt noch ein Punkt auf $h'$.
Hierzu wählen wir einen beliebigen Punkt $P$ von $h$ und spiegeln diesen an $E$. Die Spiegelgerade $h'$ hat den Stützvektor $\overrightarrow{OP'}$ und den Richtungsvektor der Geraden $h$.
4.
Nachweis einer gemeinsamen Ebene
Wir bestimmen zunächst die Gleichung einer Ebene $E$, in der die Gerade $g$ und der Punkt $A$ liegen. Anschließend prüfen wir, ob $B$ ebenfalls in dieser Ebene liegt.
Ebenengleichung aufstellen
Wir benutzen den Stützvektor von $g$ als Stützvektor von $E$, den Richtungsvektor von $g$ als ersten Spannvektor von $E$ und den Verbindungsvektor von Stützvektor und
$A$ als zweiten Spannvektor.
$E$:$\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
$E$:
Punktprobe machen
Wir setzen die Koordinaten von $B$ für $\overrightarrow{x}$ ein.
$\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)=…$
Wir betrachten die einzelnen Zeilen und es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem.
$\begin{array}{rrcrcrcrl} Ⅰ&1&=&3&-&2s&+&2t\\ Ⅱ&1&=&2&&&+&t&\scriptsize{\Longrightarrow t=-1 \text{ einsetzen in }Ⅰ \text{ und } Ⅲ}\\ Ⅲ&-3&=&1&+&s&+&4t\\ \hline Ⅰ&1&=&3&-&2s&-&2&\scriptsize{\Longrightarrow s=0}\\ Ⅱ&-1&=&&&&&t\\ Ⅲ&-3&=&1&+&s&-&4&\scriptsize{\Longrightarrow s=0} \end{array}$
Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung, $B$ liegt in der Ebene $E$.
Nachweis des Spiegelpunktes
Wenn $B$ der Spiegelpunkt von $A$ an $g$ ist, so müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  • Der Verbindungsvektor von $A$ und $B$ muss senkrecht zur Geraden $g$ stehen
  • Der Punkt, in dem die Gerade durch $A$ und $B$ und die Gerade $g$ sich schneiden, muss gleich weit von $A$ und $B$ entfernt sein.
Orthogonalität prüfen
Wenn der Verbindungsvektor von $A$ und $B$ senkrecht zur Geraden $g$ steht, so müsste das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AB}$ und dem Richtungsvektor von $g$ Null ergeben.
$\left(\begin{array}{r} 1-5\\ 1-3\\ -3-5\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -4\\ -2\\ -8\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)=8-8=0$
$\left(\begin{array}{r} 1-5\\ 1-3\\ -3-5\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)=0$
Die erste Bedingung ist also erfüllt.
Gleiche Entfernung vom Schnittpunkt nachweisen
Wir bestimmen den Schnittpunkt der Geraden $h$ durch $A$ und $B$ mit $g$.
$\begin{array}{rcll} h:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}\\ &=&\left(\begin{array}{r} 5\\ 3\\ 5\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -4\\ -2\\ -8\\ \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{array}{rcll} h:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}\\ &\end{array}$
Zum Bestimmen des Schnittpunktes setzen wir die Gleichungen der Geraden gleich.
$\left(\begin{array}{r} 5\\ 3\\ 5\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -4\\ -2\\ -8\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{r} 5\\ 3\\ 5\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -4\\ -2\\ -8\\ \end{array}\right)=…$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem.
$\begin{array}{rrcrcrcrl} Ⅰ&5&-&4s&=&3&-&2r\\ Ⅱ&3&-&2s&=&2&&&\scriptsize{ \Longrightarrow s=\frac{1}{2} \text{ einsetzen in }Ⅰ \text{ und }Ⅲ}\\ Ⅲ&5&-&8s&=&1&+&r\\ \hline Ⅰ&5&-&2&=&3&-&2r&\scriptsize{ \Longrightarrow r=0}\\ Ⅱ&&&s&=&\frac{1}{2}\\ Ⅲ&5&-&4&=&1&+&r&\scriptsize{ \Longrightarrow r=0} \end{array}$
Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzen wir $r$ bzw. $s$ in eine der Geradengleichungen ein. Es ergibt sich der Schnittpunkt $S\left(3\mid2\mid1\right)$
Es bleibt zu prüfen, ob $S$ gleichweit von $A$ und $B$ entfernt ist oder - anders gesagt - ob $S$ genau der Mittelpunkt zwischen $A$ und $B$ ist:
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\left(\begin{array}{r} 5\\ 3\\ 5\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\begin{array}{r} 6\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$
Damit ist nachgewiesen, dass $A$ und $B$ Spiegelpunkte bezüglich $g$ sind.
Liegen Punkt, Spiegelpunkt, Spiegelgerade immer in einer Ebene?
Dies ist in der Tat der Fall, versuchen wir es möglichst anschaulich zu begründen:
Im Grunde genommen können wir hier von zwei Geraden sprechen, der Spiegelgerade $g$ und der Geraden $h$, die durch $A$ und $B$ verläuft.
Wenn $A$ und $B$ Spiegelpunkte bezüglich $g$ sind, wie im Beispiel von eben, so gibt es immer einen Schnittpunkt von $g$ und $h$.
Da die Geraden sich also schneiden, können sie nicht windschief verlaufen, liegen also nicht in parallelen Ebenen.
Zwei sich schneidende Geraden liegen immer in einer Ebene. Da Punkt und Spiegelpunkt beide auf $h$ liegen, liegen sie somit auch in der Ebene.
5.
Gleichung einer Spiegelgerade bestimmen
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Spiegelungen: Vermischte Aufgaben
Zunächst müssen wir uns im Klaren darüber sein, dass es unendlich viele Geraden gibt, die Spiegelgeraden für $A$ und $A'$ sein können:
Sie liegen alle in der Ebene, deren Stützvektor der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AA'}$ ist und die orthogonal zu eben dieser Strecke ist.
Wenn Sie nun also eine andere Spiegelgerade als Lösung erhalten, muss diese nicht notwendigerweise falsch sein.
Für die Spiegelgerade von $A$ und $A'$ muss – wie bereits gelten:
  1. Der Stützvektor ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AA'}$
  2. Sie ist orthogonal zur Geraden durch $A$ und $A'$
Stützvektor der Geraden bestimmen – Mittelpunkt $M$ von $\overline{AA'}$
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA'}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ 8\\ \end{array}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
Richtungsvektor der Geraden bestimmen – orthogonal zu $\overrightarrow{AA'}$
$\overrightarrow{AA'}$=$\left(\begin{array}{r} -3-3\\ 1-1\\ 8-0\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -6\\ 0\\ 8\\ \end{array}\right)$
Der Richtungsvektor der Geraden soll orthogonal zu diesem Vektor sein, d.h. das Skalarprodukt der beiden muss Null ergeben. Ein möglicher Vektor wäre somit $\overrightarrow{u}_1=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$. Andere Möglichkeiten sind z.B.:
$\overrightarrow{u}_2$=$\left(\begin{array}{r} 8\\ 0\\ 6\\ \end{array}\right)$, $\overrightarrow{u}_3$=$\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)$, etc.
Eine mögliche Spiegelgerade von $A$ und $A'$ wäre also:
$h:\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$.
Spiegelebene bezüglich $A$ und $A'$ bestimmen
Für die Spiegelebene gilt:
  1. Ihr Stützvektor ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AA'}$
  2. Sie ist orthogonal zum Vektor $\overrightarrow{AA'}$
Stützvektor und Normalenvektor bestimmen
Den Stützvektor haben wir bereits bestimmt: $\overrightarrow{OM}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$.
Die Ebene soll orthogonal zum Vektor $\overrightarrow{AA'}$ verlaufen, d.h. der Normalenvektor der Ebene ist parallel zum Vektor $\overrightarrow{AA'}$. Für unsere Ebene gilt also:
$\begin{array}{rll} E:&\left[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OM}\right]\circ\overrightarrow{AA'}=0\\ E:&\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} -6\\ 0\\ 8\\ \end{array}\right)=0 \end{array}$
$\begin{array}{rll} E:&\left[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OM}\right]\circ\overrightarrow{AA'}=0\\ \end{array}$
6.
Schnittgerade bestimmen
Wir schreiben die Ebenengleichungen untereinander und erhalten ein lineares Gleichungssystem.
$\begin{array}{lrcrcrcr} Ⅰ&6x_1&-&x_2&+&2x_3&=&6\\ Ⅱ&&&2x_2&-&4x_3&=&0\\ \hline Ⅰ&6x_1&-&x_2&+&2x_3&=&6\\ Ⅱa&12x_1&&&&&=&12&\scriptsize{\mid (2\cdot Ⅰ+Ⅱ)}\\ \end{array}$
Aus Ⅱa folgt: $\Rightarrow x_1=1$.
Wir setzen dies ein in Ⅰ:
$6-x_2+2x_3=6$ $\qquad\Longleftrightarrow\qquad-x_2+2x_3$=$0$ $\qquad\Longleftrightarrow\qquad x_2$=$2x_3$
Wir setzen $x_3=t$ und erhalten:
$\begin{array}{rcll} x_1&=&1\\ x_2&=&\;\;2t\\ x_3&=&\;\;t \end{array}$
Daraus folgt die Gleichung unserer Geraden:
$g$:$\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 1+0t\\ 0+2t\\ 0+t\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$
Spiegelpunkt $A'$ bezüglich $g$ bestimmen
Wir fällen das Lot von $A$ auf $g$. Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(1\mid2t\mid t\right)$. Für den Vektor $\overrightarrow{AQ}$ gilt also allgemein:
$\overrightarrow{AQ}$=$\left(\begin{array}{r} 1-3\\ 2t-1\\ t-1\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -2\\ 2t-1\\ t-1\\ \end{array}\right)$
Dieser Vektor soll orthogonal zur Geraden $g$ sein, sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von $g$ muss also Null ergeben:
$\begin{array}{rcll} 0&=&\left(\begin{array}{r} -2\\ 2t-1\\ t-1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\\ 0&=&2\cdot\left(2t-1\right)+t-1\\ 0&=&4t-2+t-1\\ 0&=&5t-3&\scriptsize{\mid +3}\\ 3&=&5t&\scriptsize{\mid :5}\\ \frac{3}{5}&=&t \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0&=&\left(\begin{array}{r} -2\\ 2t-1\\ t-1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\\ 0&=&2\cdot\left(2t-1\right)+t-1\\ 0&=&4t-2+t-1\\ 0&=&5t-3&\\ 3&=&5t&\\ \frac{3}{5}&=&t \end{array}$
Für $t=\frac{3}{5}$ ergibt sich
$Q\left(1\mid1,2\mid0,6\right)$ und $\overrightarrow{AQ}$=$\left(\begin{array}{r} -2\\ 0,2\\ -0,4\\ \end{array}\right)$
Für den Spiegelpunkt $A'$ gilt also:
$\overrightarrow{OA'}$=$\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{AQ}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} -4\\ 0,4\\ -0,8\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -1\\ 1,4\\ 0,2\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{OA'}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1,4\\ 0,2\\ \end{array}\right)$
Die Koordinaten des Spiegelpunktes $A'$ lauten $A'\left(-1\mid1,4\mid0,2\right)$.
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