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1.
Gegeben sind die Punkte $A(0;2;3)$, $B(1;-2;6)$ und $C(-4;2;15)$.
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes $B'$ von $B$ der bei der Spiegelung an der Geraden durch $A$ und $C$ entsteht.
b)
Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $ABCB'$.
c)
Die Fläche $ABCB'$ bildet die Grundfläche einer Pyramide, deren Spitze der Ursprung ist. Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.
2.
Gegeben sind die Punkte $A(1;1;1)$, $B(3;3;1)$ und $C(0;4;5)$, sowie die Gerade
$g$: $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 13\\ \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r} 5\\ -3\\ -17\\ \end{array}\right)$ $;\;r\in\mathbb{R}$.
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und der Ebene $E$, welche durch $A$, $B$, $C$ aufgespannt wird.
b)
Die Gerade $g'$ entsteht durch Spiegelung der Geraden $g$ an $E$.
Bestimmen Sie eine Gleichung für $g'$.
3.
Gegeben sind eine Ebene $E$, sowie zwei Geraden $g$ und $h$. $g$ schneidet $E$, $h$ verläuft parallel zu $E$.
Sie sollen die Geraden jeweils an $E$ spiegeln. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
4.
Zeigen Sie, dass die Gerade
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$,
sowie die Punkte $A\left(5\mid3\mid5\right)$ und $B\left(1\mid1\mid-3\right)$ in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Weisen Sie nach, dass $B$ der Spiegelpunkt von $A$ an $g$ ist.
Kann man generell sagen, dass Punkt, Spiegelgerade und Spiegelpunkt immer in einer Ebene liegen?
5.
Gegeben ist der Punkt $A\left(3\mid1\mid0\right)$ und dessen Spiegelpunkt $A'\left(-3\mid1\mid8\right)$.
Bestimmen Sie die Gleichung einer Spiegelgerade für $A$ und $A'$, sowie die Gleichung einer Spiegelebene für $A$ und $A'$.
6.
Die zwei Ebenen $E:6x_1-x_2+2x_3=6$ und $F:2x_2-4x_3=0$ schneiden sich in einer Geraden. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes von $A\left(3\mid1\mid1\right)$ bezüglich dieser Geraden an.
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