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Aufgaben
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a)
Gegeben sind eine beliebige Funktion $f$ sowie eine Stammfunktion $F$ von $f$. $f$ habe die Nullstelle $x_0$. Was folgt dann für die Stammfunktion $F$ an der Stelle $x_0$?
b)
Haben die Funktionen $f$ mit $f(x)=x^2+8x$ und $g$ mit $g(x)=\dfrac{1}{3}x^3$ Stellen mit gleicher Steigung?
c)
Gegeben ist eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$. $F(x)=x^4-6x^2+14$.
Bestimme Punkte im Schaubild von $f$ mit waagrechter Tangente.
d)
Für eine beliebige Funktion $f$ gilt an einer Stelle $x_0$:
$f(x_0)=0, \; f'(x_0)=0, \; f''(x_0)>0$
Hat das Schaubild von $f$ in $\left(x_0 \mid 0\right)$ dann einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse?
e)
Zeige, dass das Schaubild von $f$ mit $f(x)=\dfrac{x}{2x-4}+1,\; x \in \mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}$ bei $x=2$ eine senkrechte Asymptote hat.
f)
Zeige, dass das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2$ an der Stelle $x_0=0$ einen Sattelpunkt hat.
g)
Gegeben sind die Funktion $f$ und $g$ mit $f(x)=-x^4+4x^2+2$ und $g(x)=2$. Es wird das Intervall $[-2;2]$ betrachtet. Bestimme den größtmöglichen Unterschied der Funktionswerte $f(x)$ und $g(x)$ in diesem Intervall.
h)
Untersuche das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{x^2}{4-x}-2$ auf Schnittpunkte mit den Achsen und Symmetrie zum Ursprung oder zur $y$-Achse.
Gib außerdem die Polstellen und den Definitionsbereich von $f$ an.
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Lösungen
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a)
$f$ ist die erste Ableitung von $F$. Wenn $x_0$ eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist, bedeutet dies, dass das Schaubild von $F$ an dieser Stelle einen Punkt mit waagerechter Tangente besitzt, also entweder einen lokalen Extrempunkt oder einen Sattelpunkt.
b)
Die Steigung einer Funktion wird dir gegeben durch deren erste Ableitung. Gefragt ist also, ob es eine oder mehr Stellen $x$ gibt mit $f'(x)=g'(x)$.
Leite $f$ und $g$ im ersten Schritt nach der Potenzregel ab und löse dann die Gleichung $f'(x)=g'(x)$ nach $x$.
$\begin{array}[t]{lll} f(x)&=&x^2+8x, \; g(x)=\dfrac{1}{3}x^3 \\[5pt] f'(x)&=&2x+8, \; g'(x)=x^2 \\[5pt] f'(x)&=&g'(x)\; \Rightarrow x^2-2x-8=0 \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - (-8)}$
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {9}$
$x_{1,2} = 1 \pm 3$
Die Stellen sind $x_1=4$ und $x_2=-2$.
$\begin{array}[t]{lllll} f'(4)&=&g'(4)&=&16\\ f'(-2)&=&g'(-2)&=&4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} f(x)&=&x^2+8x, \; g(x)=\dfrac{1}{3}x^3 \\[5pt] \end{array}$
c)
$F$ ist eine Stammfunktion $f$. Dann ist:
$\begin{array}[t]{lll} F(x)&=&x^4-6x^2+14 \\ f(x)&=&4x^3-12x \\ f'(x)&=&12x^2-12 \end{array}$
Für Punkte im Schaubild von $f$ mit waagrechter Tangente muss $f'(x)=0$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} 12x^2-12&=& 0 &\quad \\[5pt] x^2&=& 1 &\quad \\[5pt] x_{1,2}&=& \pm 1 &\quad \\[10pt] f(1)&=& 4\cdot 1^3-12\cdot 1 &\quad \\[5pt] &=& 4-12 &\quad \\[5pt] &=& -8 &\quad \\[10pt] f(-1)&=& 4\cdot (-1)^3-12\cdot (-1) &\quad \\[5pt] &=& -4+12 &\quad \\[5pt] &=& 8 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& 8 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$P(1 \mid -8)$ und $Q(-1 \mid 8)$ sind Punkte mit waagrechter Tangente.
d)
Betrachte die einzelnen Gleichungen: Wegen $f(x_0)=0$ besitzen $x$-Achse und das Schaubild von $f$ auf jeden Fall einen gemeinsamen Punkt. Die Frage ist: handelt es sich um einen Berührpunkt oder um einen Schnittpunkt?
Wegen $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)>0$ liegt an dieser Stelle ein Tiefpunkt vor. Damit handelt es sich um einen Berührpunkt und nicht um einen Schnittpunkt.
e)
Senkrechte Asymptoten treten an den Definitionslücken von $f$ auf. Diese wiederum entsprechen den Nullstellen des Nenners im Funktionsterm von $f$:
Da $2\cdot2-4=0$, ist $x=2$ eine Definitionslücke von $f$ und damit ist die Gerade mit der Gleichung $x=2$ eine senkrechte Asymptote im Schaubild von $f$.
f)
$\begin{array}[t]{lll} f(x)&=&x^3+2 \\ f'(x)&=&3x^2 \\ f''(x)&=&6x \\ f'''(x)&=&6 \end{array}$
Da $f'(0)=0$, $f''(0)=0$ und $f'''(0)=6\neq 0$ liegt an der Stelle $x_0=0$ ein Sattelpunkt vor.
g)
Um den größtmöglichen Unterschied der Funktionswerte im Intervall $[-2;2]$ zu bestimmen, bildet man zuerst die Differenzenfunktion $h$ mit $\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& f(x)-g(x) &\quad \\[5pt] &=& -x^4+4x^2+2-2 &\quad \\[5pt] &=& -x^4+4x^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Von dieser Funktion werden Extrema bestimmt: $h'(x)$$=-4x^3+8x$$=-4x(x^2-2)$$=0$. Also ist $x_1=0, x_2=\sqrt{2}$ und $x_3=-\sqrt{2}$.
Alle drei Lösungen liegen innerhalb des Intervalls $[-2;2]$.
Es muss aber noch überprüft werden, welche dieser Stellen Maxima darstellen. Hierzu setzt man die gefundenen Stellen in $h''(x)=-12x^2+8$ ein.
$h''(0)=-12\cdot0^2+8=8\\ \Rightarrow Minimum$
$h''(\sqrt{2})=-12(\sqrt{2})^2+8=-16\\ \Rightarrow Maximum$
$h''(-\sqrt{2})=-12(-\sqrt{2})^2+8=-16\\ \Rightarrow Maximum$
Die Abstandsfunktion $h$ besitzt an den Stellen $x_{2,3}=\pm\sqrt{2}$ Maxima. Es wird allerdings ein Intervall betrachtet, deshalb können auch Randextrema vorliegen:
Berechne also zunächst den Unterschied der Funktionswerte an den Stellen $x_{2,3}=\pm\sqrt2$ und vergleiche ihn dann mit dem Abstand der beiden Funktionen an den Rändern des Intervalls, also bei $x=\pm2$.
Die Maxima der Abstandsfunktion liefern den Abstand
$\begin{array}[t]{rll} h(\pm\sqrt{2}) &=& -(\pm\sqrt{2})^4+4(\pm\sqrt{2})^2 &\quad \\[5pt] &=& -4+8 &\quad \\[5pt] &=& 4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
An den Rändern des Definitionsbereichs hat der Abstand den Wert:
$\begin{array}[t]{rll} d &=& \left|h(\pm2)\right| &\quad \\[5pt] &=& \left|-((\pm2)^4+4((\pm2)^2\right| &\quad \\[5pt] &=& \left|-16+4\cdot4\right| &\quad \\[5pt] &=& 0 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Damit folgt: Der maximale Unterschied der Funktionswerte von $f$ und $g$ liegt an den Stellen $x_{2,3}=\pm\sqrt2$ vor und beträgt 4.
h)
$f(x)=\dfrac{x^2}{4-x}-2$
Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
Setze $f(x)=0$:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x^2}{4-x}-2 &=& 0 &\quad \\[5pt] x^2 &=& 2\cdot (4-x) &\quad \\[5pt] x^2+2x-8 &=& 0 &\quad \\[5pt] x_{1,2} &=& - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2 - (-8)} &\quad \\[5pt] x_{1,2} &=& - 1 \pm \sqrt {9} &\quad \\[5pt] x_{1,2} &=& - 1 \pm 3 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$x_1=2, \; x_2=-4$
$x_1=2, \; x_2=-4$
Daraus folgen die Punkte
$P_1\left(2\mid 0\right)$ und $P_2\left(-4\mid 0\right)$.
Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
Berechne $f(0)$:
$\dfrac{0^2}{4-0}-2=y$
$y=-2$
Daraus folgt der Punkt $Q\left(0\mid -2\right)$.
Symmetrie:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x) &=& -\left(\dfrac{(-x)^2}{4-(-x)}-2\right) &\quad \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{x^2}{4+x}-2\right) &\quad \\[5pt] &=& -\dfrac{x^2}{4+x}+2 &\quad \\[5pt] &\neq& f(x) &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-x) &=& \dfrac{(-x)^2}{4-(-x)}-2 &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{x^2}{4+x}-2 &\quad \\[5pt] &\neq& f(x) &\quad \\[5pt] \end{array}$
$f(x)$ ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch symmetrisch zur $y$-Achse.
Polstellen:
Für $x=4$ wird der Nenner null und die Funktion ist nicht definiert. Daher ist $x=4$ die Polstelle.
Definitionsbereich:
$D=\mathbb{R}\setminus\left\{4\right\}$
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