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Lösungen PLUS
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a)
Gegeben sind eine beliebige Funktion $f$ sowie eine Stammfunktion $F$ von $f$. $f$ habe die Nullstelle $x_0$. Was folgt dann für die Stammfunktion $F$ an der Stelle $x_0$?
b)
Haben die Funktionen $f$ mit $f(x)=x^2+8x$ und $g$ mit $g(x)=\dfrac{1}{3}x^3$ Stellen mit gleicher Steigung?
c)
Gegeben ist eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$. $F(x)=x^4-6x^2+14$.
Bestimme Punkte im Schaubild von $f$ mit waagrechter Tangente.
d)
Für eine beliebige Funktion $f$ gilt an einer Stelle $x_0$:
$f(x_0)=0, \; f'(x_0)=0, \; f''(x_0)>0$
Hat das Schaubild von $f$ in $\left(x_0 \mid 0\right)$ dann einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse?
e)
Zeige, dass das Schaubild von $f$ mit $f(x)=\dfrac{x}{2x-4}+1,\; x \in \mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}$ bei $x=2$ eine senkrechte Asymptote hat.
f)
Zeige, dass das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2$ an der Stelle $x_0=0$ einen Sattelpunkt hat.
g)
Gegeben sind die Funktion $f$ und $g$ mit $f(x)=-x^4+4x^2+2$ und $g(x)=2$. Es wird das Intervall $[-2;2]$ betrachtet. Bestimme den größtmöglichen Unterschied der Funktionswerte $f(x)$ und $g(x)$ in diesem Intervall.
h)
Untersuche das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{x^2}{4-x}-2$ auf Schnittpunkte mit den Achsen und Symmetrie zum Ursprung oder zur $y$-Achse.
Gib außerdem die Polstellen und den Definitionsbereich von $f$ an.
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