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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
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Gebrochenrationale Fu...
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Wurzelfunktionen
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Funktionsgleichungen ...
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Vermischte Aufgaben
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Tangente
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Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
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Einführung
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Vermischte Aufgaben
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Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
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Wachstum
Exponentielles Wachst...
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Näherungsverfahren
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Vermischte Aufgaben
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Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
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Ortsvektoren und Verb...
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Vermischte Aufgaben
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Geraden
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Gerade - Gerade
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Vermischte Aufgaben
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Partielle Integration

Spickzettel
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Sollst du ein Integral über einen Funktionsterm berechnen, der sich als Produkt zweier Funktionsterme ergibt oder eine Stammfunktion einer solchen Funktion berechnen, so kann dir die partielle Integration helfen:
$\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\cdot v'(x)\;\mathrm dx = \left[u(x)\cdot v(x)\right]_a^b-\displaystyle\int_{a}^{b}\;u'(x)\cdot v(x)\mathrm dx$
$\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\cdot v'(x)\;\mathrm dx$ = …
Vor allem kann dir diese Formel helfen, wenn einer der beiden Teilterme ein Polynom ist. Wähle dann die Polynomfunktion als $u$ und die andere Funktion als $v'$.
Ist $u$ ein Polynom vom Grad $n$, dann musst du die Formel $n$-mal anwenden, so lang bis der Term durch das wiederholte Ableiten wegfällt und du das entstandene Integral mit den üblichen Regeln berechnen kannst.

Beispiel

Berechne: $\displaystyle\int_{0}^{1} x\cdot \mathrm e^{-x}\;\mathrm dx $.
Da $x$ ein Polynom ist, wähle $u(x)=x$ und $v'(x)=\mathrm e^{-x}$. Dann ist $u'(x)=1$ und $v(x)=- \mathrm e^{-x}$.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1} x\cdot \mathrm e^{-x}\;\mathrm dx &=& \left[x\cdot (-\mathrm e^{-x})\right]_0^1- \displaystyle\int_{0}^{1} 1\cdot (-\mathrm e^{-x})\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left[x\cdot (-\mathrm e^{-x})\right]_0^1-\left[\mathrm e^{-x}\right]_0^1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left[-x\cdot \mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-x}\right]_0^1&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -1\cdot \mathrm e^{-1}-\mathrm e^{-1}-\left(-0\cdot \mathrm e^{-0}-\mathrm e^{-0}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -1\cdot \mathrm e^{-1}-\mathrm e^{-1}+0\cdot \mathrm e^{-0}+\mathrm e^{-0}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -2\mathrm e^{-1}+1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1} x\cdot \mathrm e^{-x}\;\mathrm dx &=& -2\mathrm e^{-1}+1 \end{array}$
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