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Flächeninhalt zwischen Graph und Achse

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Den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der $x$-Achse kannst du mit Hilfe von Integralen berechnen.

Beispiel

Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x^2\right)\;\mathrm dx$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen zu $f(x) = x^2$ im Bereich $x =0$ bis $x =2$ eingeschlossen wird. Im folgenden Bild ist die Fläche grau markiert.

Vorgehen

Sollst du den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der $x$-Achse bestimmen, so gibt es zwei mögliche Aufgabentypen:
Hast du die Grenzen des Bereichs, also $a$ und $b$, gegeben, so gehe wie folgt vor:
  1. Überprüfe, ob zwischen den beiden Grenzen $a$ und $b$ eine oder sogar mehrere Nullstellen von $f$ liegen.
    • Gibt es keine Nullstellen im angegebenen Intervall, so berechne das Integral über $f(x)$ in den Grenzen $a$ und $b$. Nimm am besten immer den Betrag des Integrals. Denn wenn die Fläche unterhalb der $x$-Achse liegt, hat das Integral ein negatives Vorzeichen, Flächeninhalte sind aber immer positiv.
    • Gibt es Nullstellen, so musst du mehrere Integrale über $f$ berechnen: Das Integral von der unteren Grenze $a$ bis zur ersten Nullstelle, das Integral von der ersten Nullstelle bis zur zweiten Nullstelle,… , das Integral von der letzten Nulltelle bis zur oberen Grenze $b$. Zum Schluss musst du die Beträge addieren.
Hast du keine Grenzen gegeben, so gibt es meist nur eine Fläche, die vollständig von dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird. Gehe dann wie folgt vor:
  1. Bestimme die Nullstellen von $f$. In solchen Fällen gibt es meist genau zwei.
  2. Berechne das Integral über $f$ mit den Nullstellen als Grenzen. Gibt es doch mehr als zwei Nullstellen, so musst du auch hier von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und alle Beträge addieren.

Beispiel 1

Bereche den Inhalt der Fläche, den die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 +9$ mit der $x$-Achse einschließt.
Da hier die Grenzen nicht gegeben sind, müssen wir die Nullstellen berechnen. Diese ergeben sich mit $a = -3$, $b = 3$. Berechne also den Betrag des Integrals über $f$ mit den Nullstellen als Grenzen:
$A_f = \left|\displaystyle\int_{-3}^{3} \left(-x^2+9\right)\;\mathrm dx \right| = 36 $

Beispiel 2

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ mit $f(x) = x^3-9x$ und der $x$-Achse im Bereich $a = -3$ bis $b =3$.
Die Nullstellen sind hier $a =-3$ ,$x_0 = 0$ und $b =3$. Hier musst du also zwei Integrale berechnen:
$A = \left|\displaystyle\int_{-3}^{0}\left(x^3-9x\right)\;\mathrm dx \right| +\left|\displaystyle\int_{0}^{3}\left(x^3-9x\right)\;\mathrm dx\right| $ $ = \left|20,25\right| + \left|-20,25\right| = 40,5$ (FE)
$A = 40,5$ (FE)

Auf dem folgenden Bild sind die beiden Teilflächen dargestellt:
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