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Flächeninhalt zwischen Graph und Achse

Spickzettel
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Den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der $x$-Achse kannst du mit Hilfe von Integralen berechnen.

Beispiel

Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x^2\right)\;\mathrm dx$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen zu $f(x) = x^2$ im Bereich $x =0$ bis $x =2$ eingeschlossen wird. Im folgenden Bild ist die Fläche grau markiert.
Integralrechnung: Flächeninhalt zwischen Graph und Achse
Integralrechnung: Flächeninhalt zwischen Graph und Achse

Vorgehen

Sollst du den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der $x$-Achse bestimmen, so gibt es zwei mögliche Aufgabentypen:
Hast du die Grenzen des Bereichs, also $a$ und $b$, gegeben, so gehe wie folgt vor:
  1. Überprüfe, ob zwischen den beiden Grenzen $a$ und $b$ eine oder sogar mehrere Nullstellen von $f$ liegen.
    • Gibt es keine Nullstellen im angegebenen Intervall, so berechne das Integral über $f(x)$ in den Grenzen $a$ und $b$. Nimm am besten immer den Betrag des Integrals. Denn wenn die Fläche unterhalb der $x$-Achse liegt, hat das Integral ein negatives Vorzeichen, Flächeninhalte sind aber immer positiv.
    • Gibt es Nullstellen, so musst du mehrere Integrale über $f$ berechnen: Das Integral von der unteren Grenze $a$ bis zur ersten Nullstelle, das Integral von der ersten Nullstelle bis zur zweiten Nullstelle,… , das Integral von der letzten Nulltelle bis zur oberen Grenze $b$. Zum Schluss musst du die Beträge addieren.
Hast du keine Grenzen gegeben, so gibt es meist nur eine Fläche, die vollständig von dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird. Gehe dann wie folgt vor:
  1. Bestimme die Nullstellen von $f$. In solchen Fällen gibt es meist genau zwei.
  2. Berechne das Integral über $f$ mit den Nullstellen als Grenzen. Gibt es doch mehr als zwei Nullstellen, so musst du auch hier von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und alle Beträge addieren.

Beispiel 1

Bereche den Inhalt der Fläche, den die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 +9$ mit der $x$-Achse einschließt.
Da hier die Grenzen nicht gegeben sind, müssen wir die Nullstellen berechnen. Diese ergeben sich mit $a = -3$, $b = 3$. Berechne also den Betrag des Integrals über $f$ mit den Nullstellen als Grenzen:
$A_f = \left|\displaystyle\int_{-3}^{3} \left(-x^2+9\right)\;\mathrm dx \right| = 36 $

Beispiel 2

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ mit $f(x) = x^3-9x$ und der $x$-Achse im Bereich $a = -3$ bis $b =3$.
Die Nullstellen sind hier $a =-3$ ,$x_0 = 0$ und $b =3$. Hier musst du also zwei Integrale berechnen:
$A = \left|\displaystyle\int_{-3}^{0}\left(x^3-9x\right)\;\mathrm dx \right| +\left|\displaystyle\int_{0}^{3}\left(x^3-9x\right)\;\mathrm dx\right| $ $ = \left|20,25\right| + \left|-20,25\right| = 40,5$ (FE)
$A = 40,5$ (FE)

Auf dem folgenden Bild sind die beiden Teilflächen dargestellt:
Integralrechnung: Flächeninhalt zwischen Graph und Achse
Integralrechnung: Flächeninhalt zwischen Graph und Achse
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Aufgaben
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1.
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $f$ innerhalb der angegebenen Grenzen eingeschlossen wird.
b)
$f(x)=x^3-x$
    $a = 1$ , $b = 2$
d)
$f(x)= \sqrt{x}+x$
    $a = 0$ , $b = 1$
2.
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, welche von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $f$ vollständig eingeschlossen wird.
b)
$f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x^2$
d)
$f(x)=2x(x+1)^2$
3.
Gegeben ist die Funktion $f$ und eine untere Grenze $a$. Bestimme die obere Grenze $b$ so, dass der Inhalt der Fläche, die von der $x$-Achse und dem Graphen der Funktion $f$ innerhalb der Grenzen $a$ und $b$ eingeschlossen wird, den angegebenen Wert annimmt.
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Lösungen
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1.
a)
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\displaystyle\int_0^2 {f(x)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\displaystyle\int_0^2 {\left(x^2+x\right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\left[\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2\right]_0^2& \\[5pt] =&\left(\dfrac{1}{3}\cdot 2^3+\dfrac{1}{2}\cdot2^2\right)-\left(\dfrac{1}{3}\cdot 0^3+\dfrac{1}{2}\cdot0^2\right)& \\[5pt] =&\dfrac{8}{3}+2-0& \\[5pt] A=&\dfrac{14}{3}\, \text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\dfrac{14}{3}\, \text{FE}& \\ \end{array}$

b)
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\displaystyle\int_1^2 {f(x)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\displaystyle\int_1^2 {\left(x^3-x\right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2\right]_1^2& \\[5pt] =&\left(\dfrac{1}{4}\cdot 2^4-\dfrac{1}{2}\cdot2^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot 1^4-\dfrac{1}{2}\cdot1^2\right)& \\[5pt] =&\dfrac{16}{4}-2-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}& \\[5pt] A=&\dfrac{9}{4}\, \text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\dfrac{9}{4}\, \text{FE}& \\ \end{array}$

c)
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\displaystyle\int_1^3 {f(x)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\displaystyle\int_1^2 {\left(\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\displaystyle\int_1^2 {\left(\dfrac{1}{2}x^2+x^{-2}\right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\left[\dfrac{1}{6}x^3-x^{-1}\right]_1^3& \\[5pt] =&\left[\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{x}\right]_1^3& \\[5pt] =&\left(\dfrac{1}{6}\cdot3^3-\dfrac{1}{3}\right)-\left(\dfrac{1}{6}\cdot1^3-\dfrac{1}{1}\right)& \\[5pt] =&\dfrac{27}{6}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+1& \\[5pt] A=&5\, \text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&5\, \text{FE}& \\ \end{array}$

d)
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\displaystyle\int_0^1 {f(x)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\displaystyle\int_0^1 {\left(\sqrt{x}+x\right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\displaystyle\int_0^1 {\left(x^{\frac{1}{2}}+x\right)\;\mathrm dx}& \\[5pt] =&\left[\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}\cdot x^2\right]_0^1& \\[5pt] =&\left[\dfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}\cdot x^2\right]_0^1& \\[5pt] =&\left(\dfrac{2}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}}+\dfrac{1}{2}\cdot 1^2\right)-\left(\dfrac{2}{3}\cdot0^{\frac{3}{2}}+\dfrac{1}{2}\cdot 0^2\right)& \\[5pt] =&\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}-0& \\[5pt] A=&\dfrac{7}{6}\, \text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\dfrac{7}{6}\, \text{FE}& \\ \end{array}$
2.
a)
1. Schritt: Intervall bestimmen
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f$, um die Grenzen der Integration zu ermitteln. Setze dazu $f(x) = 0$.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0& \\ x^2-2x=&0& |\,x \, \text{ausklammern} \\ x(x-2)=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0& \\ x^2-2x=&0& |\,x\\ x(x-2)=&0& \\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist:
$x_1 = 0$; $x_2 = 2$
Es folgt das Intervall $I = [0;2]$.
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\left|\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\displaystyle\int_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\left[\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{0}^{2}\right|& \\[5pt] =&\left|\dfrac{1}{3}\cdot2^3-2^2-0\right|& \\[5pt] =&\left|\dfrac{8}{3}-4\right|& \\[5pt] A=&\dfrac{4}{3}\, \text{FE}& \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\dfrac{4}{3}\, \text{FE}& \\[5pt] \end{array}$
b)
1. Schritt: Intervall bestimmen
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f$, um die Grenzen der Integration zu ermitteln. Setze dazu $f(x) = 0$.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0& \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-2x^2=&0& |\, x^2\, \text{ausklammern} \\[5pt] x^2\left(\dfrac{1}{2}x-2\right)=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0& \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-2x^2=&0& \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist:
$x_1 = 0$; $x_2 = 4$
Es folgt das Intervall $I = [0;4]$.
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\left|\displaystyle\int_{0}^{4}f(x)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\displaystyle\int_{0}^{4}\left(\dfrac{1}{2}x^3-2x^2\right)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\left[\dfrac{1}{8}x^4-\dfrac{2}{3}x^3\right]_{0}^{4}\right|& \\[5pt] =&\left|\left(\dfrac{256}{8}-\dfrac{128}{3}\right)-0\right|& \\[5pt] =&\left|\left(32-\dfrac{128}{3}\right)\right|& \\[5pt] A=&\dfrac{32}{3} \,\text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\dfrac{32}{3} \,\text{FE}& \\ \end{array}$
c)
1. Schritt: Intervall bestimmen
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f$, um die Grenzen der Integration zu ermitteln. Setze dazu $f(x) = 0$.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0& \\ 2x^2-14x+20=&0& |\, :2 \\ x^2-7x+10=&0& \\ \end{array}$
Berechne die Nullstellen von $f$ mit der $p-q$-Formel:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-10}& \\[5pt] =&\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}-\dfrac{40}{4}}& \\[5pt] =&\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}& \\[5pt] =&\dfrac{7}{2}\pm\dfrac{3}{2}& \\[5pt] x_1=&2\quad x_2=5& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-10}& \\[5pt] x_1=&2\quad x_2=5& \\ \end{array}$
Es folgt damit das Intervall $I = [2;5]$.
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\left|\displaystyle\int_{2}^{5}f(x)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\displaystyle\int_{2}^{5}\left(2x^2-14x+20\right)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\left[\dfrac{2}{3}x^3-7x^2+20x\right]_{2}^{5}\right|& \\[5pt] =&\left|\left(\dfrac{250}{3}-175+100\right)-\left(\dfrac{16}{3}-28+40\right)\right|& \\[5pt] =&\left|\dfrac{25}{3}-\dfrac{52}{3}\right|& \\[5pt] A=&9 \,\text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\left|\displaystyle\int_{2}^{5}f(x)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] A=&9 \,\text{FE}& \\ \end{array}$
d)
1. Schritt: Intervall bestimmen
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f$, um die Grenzen der Integration zu ermitteln. Setze dazu $f(x) = 0$.
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&0& \\ 2x\cdot(x+1)^2=&0& |\, :2 \\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist:
$x_1 = 0$; $x_2 = -1$
Es folgt das Intervall $I = [-1;0]$.
2. Schritt: Integral berechnen
Multipliziere den Funktionsterm von $f$ zunächst aus:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&2x(x+1)^2& \\ =&2x(x^2+2x+1)& \\ =&2x^3+4x^2+2x& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\left|\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\displaystyle\int_{-1}^{0}\left(2x^3+4x^2+2x\right)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\left|\left[\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{4}{3}x^3+x^2\right]_{-1}^{0}\right|& \\[5pt] =&\left|0-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{3}+1\right)\right|& \\[5pt] =&\left|0-\dfrac{1}{6}\right|& \\[5pt] A=&\dfrac{1}{6} \,\text{FE}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A=&\left|\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\;\mathrm dx\right|& \\[5pt] =&\dfrac{1}{6} \,\text{FE}& \\ \end{array}$
3.
   Diese Aufgabe kannst du in folgenden Schritten berechnen:
  • Berechne den Wert des Integrals in Abhängigkeit von $b$
  • Bestimme, für welchen Wert von $b$ das Integral den Wert $\dfrac{23}{3}$ annimmt
1. Schritt: Flächeninhalt in Abhängigkeit von $b$ berechnen
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A(b)=&\displaystyle\int_{1}^{b}f(x)\;\mathrm dx& \\[5pt] =&\displaystyle\int_{1}^{b}2x^2+2x\;\mathrm dx& \\[5pt] =&\left[\dfrac{2}{3}x^3+x^2\right]_{1}^{b}& \\[5pt] =&\left(\dfrac{2}{3}b^3+b^2\right)-\left(\dfrac{2}{3}+1\right)& \\[5pt] =&\dfrac{2}{3}b^3+b^2-\dfrac{5}{3}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A(b)=&\displaystyle\int_{1}^{b}f(x)\;\mathrm dx& \\[5pt] =&\dfrac{2}{3}b^3+b^2-\dfrac{5}{3}& \\ \end{array}$
2. Schritt: $b$ berechnen
Setze nun $A(b) = \dfrac{23}{3}$ und löse nach $b$ auf:
$\begin{array}{l@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{3}b^3+b^2-\dfrac{5}{3}=&\dfrac{23}{3}& |\, -\dfrac{23}{3}\\ \dfrac{2}{3}b^3+b^2-\dfrac{28}{3}=&0& |\, \cdot3\\ 2b^3+3b^2-28=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{3}b^3+b^2-\dfrac{5}{3}=&\dfrac{23}{3}&\\ \dfrac{2}{3}b^3+b^2-\dfrac{28}{3}=&0&\\ 2b^3+3b^2-28=&0& \\ \end{array}$
Durch systematisches Probieren erhält man die Lösung $b = 2$, denn:
$2\cdot(2^3)+3\cdot(2^2)-28 = 16+12-28=0$
$2\cdot(2^3)+3\cdot(2^2)-28 =$
Die Gleichung kann mögliche weitere Lösungen besitzen. Vereinfache den Funktionsterm zunächst durch Polynomdivision:
$\begin{array}{rrcrcrcrcll} (&2x^3&+&3x^2&&&-&28&)&:(x-2)=2x^2+7x+14\\ &-2x^3&+&4x^2\\ &&&7x^2\\ &&-&7x^2&+&14x\\ &&&&&14x&-&28\\ &&&&&-14x&+&28\\ &&&&&&&0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rrcrcrcrcll} (2x^3&+&3x^2&-&28):&… \end{array}$
Mit der $p-q$-Formel folgt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2b^2-7b+14=&0& | :2 \\ b^2-\dfrac{7}{2}b+7=&0& \\ b_{1,2}=&-\dfrac{7}{4}\pm\sqrt{\dfrac{7}{4}^2-7}& \\[5pt] b_{1,2}=&-\dfrac{7}{4}\pm\sqrt{-\dfrac{63}{16}}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2b^2-7b+14=&0 \end{array}$
Der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) ist negativ. Somit besitzt die Gleichung keine weiteren Lösungen. Für $b = 2$ besitzt die eingeschlossene Fläche den Inhalt $\dfrac{23}{3}$.
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