Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
Übergangsmatrizen
Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
Verteilungen berechne...
Wirtschaftliche Verfl...
Leontief-Modell
Input-Output-Tabelle
Verflechtungsdiagramm
Stochastik
Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
Mehrstufige Zufallsex...
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Relative und absolute...
Laplace-Experiment
Additionssatz und Vie...
Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
Kombinatorik
Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Koordinatenform

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung beschrieben werden. Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $E$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Hast du anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zwei Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ der Ebene gegeben, so gibt es zwei Möglichkeiten, einen Normalenvektor zu bestimmen:
  • Skalarprodukt: Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} = 0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v} = 0$,
  • Kreuzprodukt: Berechne $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$.
Bedenke, dass eine Ebene immer mehrere Normalenvektoren hat, die aber jeweils voneinander linear abhängig sind, d.h. sie unterscheiden sich lediglich in ihrere Länge, aber nicht in ihrer Richtung.

Beispiel

Gegeben ist der Punkt $P(1 \mid 1 \mid 7)$ und der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$ der Ebene $E$.
Die Angaben kannst du in die allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung einsetzen und erhältst so folgende Gleichung:
$E: 3\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 $=$ d$
Weiterhin ist der Punkt $P(1 \mid 1 \mid 7)$ gegeben, der in der Ebene liegt. Dessen Koordinaten kannst du nun verwenden, um den Parameter $d$ zu bestimmen:
$E: 3\cdot 1 + 2\cdot 1 + 1\cdot 7 $=$ 3+2+7 $=$ 12 $=$ d$
Daraus erhältst du die vollständige Koordinatengleichung der Ebene:
$E: 3\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 $=$ 12$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Die Punkte liegen in einer Ebene. Gib eine mögliche Ebenengleichung in Koordinatenform an.
a)
$A(2\mid4\mid2)$, $B(1\mid2\mid2)$, $C(4\mid1\mid6)$
b)
$D\left(-1\mid1\mid3\right)$, $E\left(2\mid4\mid1\right)$, $F\left(0\mid2\mid-2\right)$
2.
Überprüfe, ob der Punkt in der Ebene liegt.
b)
$P\left(\frac{1}{2}\mid4\mid1\right)$,
$E:\;4x_1-\dfrac{1}{2}x_2+x_3=1$
3.
Bestimme $r$ so, dass der Punkt in der Ebene liegt.
b)
$P\left(\frac{1}{2}r\mid1\mid-4\right)$,
$E:\;6x_1-2x_2-x_3=4$
d)
$Q\left(1\mid2\mid-4\right)$,
$E:\;x_1+2x_2+2x_3=r$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Zunächst bestimmt man eine Parametergleichung der Ebene. Mithilfe der zwei Spannvektoren bestimmt man einen Normalenvektor, dann die gesuchte Koordinatenform der Ebene.
a)
Aus $A(2\mid4\mid2)$, $B(1\mid2\mid2)$, $C(4\mid1\mid6)$ erhält man
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{A}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}\\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1-2 \\ 2-4 \\ 2-2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 4-2 \\ 1-4 \\ 6-2 \\ \end{array}} \right) \\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -3 \\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x}= … \end{array}$
Den Normalenvektor berechnet man mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
Kreuzprodukt bilden:
$\overrightarrow{n}=$$\left( \begin{array}{r} - 1 \\ -2 \\ 0 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ 4 \\ \end{array} \right) $$= \left( \begin{array}{r} -2 \cdot 4 \\ 0 \cdot \left( { 2} \right) \\ \left( { -1} \right) \cdot \left({-3}\right) \\ \end{array} \right.\begin{array}{*{20}c} - \\ - \\ - \\ \end{array}\left. \begin{array}{r} 0 \cdot -3 \\ \left( { -1} \right) \cdot 4 \\ \left({-2}\right)\cdot \left( { 2} \right) \\ \end{array} \right) $$= \left( \begin{array}{r} -8 \\ 4 \\ 7 \\ \end{array} \right) $
$\Rightarrow\; E:\;-8x_1+4x_2+7x_3=d$
$A$ in $E$ eingesetzt: $-16+16+14=d=14$
$\Rightarrow\; E:-8x_1+4x_2+7x_3=14$
b)
Aus $D(-1\mid1\mid3)$, $E(2\mid4\mid1)$, $F(0\mid2\mid-2)$ erhält man
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x} =& \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+1 \\ 4-1 \\ 1-3 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0+1 \\ 2-1 \\ -2-3 \\ \end{array}} \right) \\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ -2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -5 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x} = … \end{array}$
Den Normalenvektor berechnet man mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
Kreuzprodukt bilden:
$\overrightarrow{n}=$$\left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ -2 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -5 \\ \end{array} \right) $$= \left( \begin{array}{r} 3 \cdot \left({-5}\right) \\ \left({-2}\right) \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 \\ \end{array} \right.\begin{array}{*{20}c} - \\ - \\ - \\ \end{array}\left. \begin{array}{r} \left({-2}\right) \cdot 1 \\ 3 \cdot \left({-5}\right) \\ 3\cdot 1\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} -13 \\ 13 \\ 0\\ \end{array} \right)$$\widehat{=} \left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0\\ \end{array} \right)$
Beim Normalenvektor kommt es wie auch bei Richtungsvektoren nur auf die Richtung und nicht auf seine Länge an. Wir haben also die Möglichkeit, die Koordinaten des Normalenvektors zu „kürzen“, wie in diesem Fall: damit erhalten wir einen möglichen Normalenvektor, mit dem sich später leichter rechnen lässt.
$\Rightarrow\; E:\;-1x_1+1x_2=d$
$D$ in $E$ eingesetzt: $1+1=d=2$
$\Rightarrow\; E:-x_1+x_2=2$
2.
Um zu überprüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, setzt man ihn einfach in die Koordinatenform ein.
a)
$A(2\mid1\mid5)$, $E:\;2x_1+3x_2-x_3=4$.
$A$ in $E$ einsetzen:
$2\cdot2+3\cdot1-1\cdot5=2\neq4$
Der Punkt $A$ liegt damit nicht in der Ebene $E$.
b)
$P\left(\frac{1}{2}\mid4\mid1\right)$, $E:\;4x_1-\dfrac{1}{2}x_2+x_3=1$.
$P$ in $E$ einsetzen:
$4\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot4+1\cdot1=2-2+1=1$
Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.
3.
Um zu überprüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, setzt man ihn einfach in die Koordinatenform ein.
a)
$A(2\mid r\mid1)$, $E:\;x_1-x_2+2x_3=2$.
$A$ in $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot1-1\cdot r+2\cdot1=&2&\quad\\ r=&2&\\ \end{array}$
Für $r=2$ liegt der Punkt $A$ in der Ebene $E$.
b)
$P\left(\frac{1}{2}r\mid1\mid-4\right)$, $E:\;6x_1-2x_2-x_3=4$.
$P$ in $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 6\cdot\dfrac{1}{2}r-2\cdot 1-1\cdot\left(-4\right)=&4&\quad\\ r=&\dfrac{2}{3}&\\ \end{array}$
Für $r=\frac{2}{3}$ liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$.
c)
$P(-1\mid3\mid2)$, $E:\;2x_1-rx_2+x_3=1$.
$P$ in $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} -2-3r+2=&1&\quad\\ r=&-\dfrac{1}{3}&\\ \end{array}$
Für $r=-\frac{1}{3}$ liegt der Punkt $P$ in der Ebene $E$.
d)
$Q(1\mid2\mid-4)$, $E:\;x_1+2x_2+2x_3=r$.
$Q$ in $E$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 1+4-8=&r&\quad\\ r=&-3&\\ \end{array}$
Für $r=-3$ liegt der Punkt $Q$ in der Ebene $E$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lernvideos
Download als Dokument:
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App