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Gebrochenrationale Funktionen

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Möchtest du eine gebrochenrationale Funktion ableiten, kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Kürze so viele $x$ wie möglich aus dem Bruch
  2. Falls der Nenner linear ist, versuche durch Polynomdivision den Bruch aufzulösen um eine ganzrationale Funktion zu erhalten
  3. Liegt immer noch ein Bruch vor: Quotientenregel
    $f'(x)= \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
$f'(x)$=$ \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
Da $u$ und $v$ ganzrational sind, kannst du $u'(x)$ und $v'(x)$ nach den gewohnten Ableitungsregeln bilden.

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^3 +3x }{x^2}$
Bruch kürzen:
$f(x) = \dfrac{x^3 +3x }{x^2} = \dfrac{x^2+3}{x} = \dfrac{u(x)}{v(x)}$
Der Funktionsterm kann durch Polynomdivision nicht weiter vereinfacht werden $\Rightarrow$ Quotientenregel
  • $u(x) = x^2 +3$ $\Rightarrow u'(x) = 2x\qquad$
  • $v(x) = x$ $\Rightarrow v'(x) =1$
$\begin{array}[cccc] \\\Rightarrow f'(x) &=& \dfrac{2x \cdot x - (x^2 +3)\cdot 1}{x^2} \\ &=& \dfrac{2x^2 - x^2 -3}{x^2} \\ &=& \dfrac{x^2 -3 }{x^2} \end {array}$
$\begin{array}[cccc] \\\Rightarrow f'(x) &=& \dfrac{x^2 -3 }{x^2} \end {array}$
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