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Faktor- und Summenregel

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Potenzregel

Die Potenzregel gibt eine Formel dafür an, wie Potenzfunktionen, also zum Beispiel Polynome wie $f(x) = x^2$, abgeleitet werden können. Dies geschieht, indem der Exponent als Faktor vorgezogen und anschließend um eins verringert wird. In Formeln bedeutet dies:
$f(x) =x^b \quad \Rightarrow \quad f'(x)= b\cdot x^{b-1} $
$f(x) $=$x^b \quad \Rightarrow \quad f'(x)$=$ b\cdot x^{b-1} $

Beispiel

Die Funktion $f(x) = x^3 $
$\Rightarrow f'(x) = 3\cdot x^2$
Beachte, dass $x^0 = 1$ gilt und konstante Funktionen wie $f(x) = 3 = 3\cdot x^0$ deshalb zur Nullfunktion abgeleitet werden: $f'(x) = 0 \cdot 3\cdot x^{-1} = 0$

Summenregel

Die Summenregel besagt, dass bei Summen von einzelnen Funktionstermen jeder Summand einzeln abgeleitet wird:
$f(x) = u(x) + v(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x)= u'(x) + v'(x)$
$f(x)$ = $u(x) + v(x) $
$\Rightarrow$ $f'(x)$ = $u'(x) + v'(x)$

Beispiel

Die Funktion $f(x) = x^2 + x^4$ muss mit der Summenregel abgeleitet werden:
$\Rightarrow f'(x) = 2x + 4x^3$

Faktorregel

Die Faktorregel besagt, dass die Koeffizienten, also die Faktoren vor der Unbekannten, erhalten bleiben:
$g(x) = a\cdot u(x) \quad \Rightarrow \quad g'(x)= a\cdot u'(x)\quad (a \in \mathbb{R})$
$f(x)$ = $a\cdot u(x) $
$\Rightarrow$ $g'(x)$ = $a\cdot u'(x)\quad (a \in \mathbb{R})$

Beispiel

Die Funktion $f(x) = 3x^2$ muss mit der Faktorregel abgeleitet werden:
$\Rightarrow f'(x) = 3\cdot\left(2x\right)$$= 6x$
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