JSP Page
3.Vernetze dich mit deiner Klasse
Deine Klasse ist nicht dabei?
 
Einloggen
Eingeloggt bleiben
Eingeloggt bleiben
Neu bei SchulLV?
Schalte dir deinen PLUS-Zugang frei, damit du Zugriff
auf alle PLUS-Inhalte hast!
PLUS-Zugang freischalten
SchulLV ist Deutschlands marktführendes Portal für die digitale Prüfungsvorbereitung sowie für digitale Schulbücher in über 8 Fächern.
NEU: Testzugänge für Schulleiter und Lehrer
1) Testzugang anfordern: Absenden
2) Termin für kostenfreies Webinar vereinbaren:
Absenden
Info schließen
Um Ihren Testzugang bereitzustellen, benötigen wir noch folgende Angaben:
Absenden

Konfidenzintervalle

Spickzettel
Aufgaben
Lösungen PLUS
Download als Dokument:
Bei Konfidenzintervallen geht es darum die Ergebnisse einer Stichprobe auf Verträglichkeit mit einer vermuteten Verteilung zu überprüfen.
In der Schule sind dabei vor allem Konfidenzintervalle für den Parameter $p$ einer binomialverteilten Zufallsvariable $X$ wichtig.
Dabei wird die relative Häufigkeit $\hat{p} = \frac{X}{n}$ in einer Stichprobe bestimmt und anschließend mit Hilfe der untenstehenden Sigma-Regeln die Grenzen eines Intervalls um $\hat{p}$ bestimmt, in welchem die tatsächliche Wahrscheinlichkeit $p$ mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ liegt.
  1. $P(\mu - 1,64\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,64\cdot\sigma) \approx 0,9$
  2. $P(\mu - 1,96\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,96\cdot\sigma) \approx 0,95$
  3. $P(\mu - 2,58\cdot \sigma \leq X \leq \mu +2,58\cdot\sigma) \approx 0,99$
  1. $P\approx 0,99$

Beispiel

Bei einer Wahlumfrage wurden $1.000$ Personen befragt. Dabei gaben $ 600$ Personen an, Partei A wählen zu wollen. Überprüfe, ob dieses Ergebnis mit einem Wähleranteil von $p = 0,7$ bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\alpha = 0,95$ verträglich ist.
Hier gilt also: $n = 1.000$, $X = 600$ und $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{600}{1.000} = 0,6$.
Wähle die zu $\alpha$ gehörige Sigma-Regel und setze dort die Darstellungen $\mu = n\cdot p $ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}$ ein. Forme dann in der Klammer soweit um, bis du eine Aussage über $p$ erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu - 1,96\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,96\cdot\sigma)&\approx& 0,95 &\quad \scriptsize \\[5pt] P\left(n\cdot p - 1,96\cdot \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)} \leq X \leq n\cdot p +1,96\cdot\sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)} \right)&\approx& 0,95&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n\cdot p - 1,96\cdot \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)} &\leq& X &\leq& n\cdot p +1,96\cdot\sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}\quad \scriptsize \mid\; :n\\[5pt] p - 1,96\cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{n} }&\leq& \frac{X}{n} &\leq& p +1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{n}}\quad \scriptsize \mid\; -p\\[5pt] - 1,96\cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{n} }&\leq& \frac{X}{n} -p &\leq& 1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{n}} \quad \scriptsize \mid\; \frac{X}{n} = 0,6 \quad n=1.000 \\[5pt] - 1,96\cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{1.000} }&\leq& 0,6 -p &\leq& 1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{1.000}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \left|0,6 -p \right|&\leq& 1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{1.000}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \left|0,6 -p \right|-1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{1.000}}&\leq& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ P=$
Mit Hilfe deines Taschenrechners kannst du nun diese Ungleichung nach $p$ lösen und erhältst: $0,57 \leq p \leq 0,63$. Da $0,7$ nicht mehr in diesem Konfidenzintervall liegt, ist diese Wahrscheinlichkeit nicht mit den Ergebnissen der Umfrage bei der gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit verträglich.
Noch kein Content verknüpft: Verfügbaren Content anzeigen!
Verfügbarer Content
Alle verknüpfen
Mein SchulLV
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufskolleg - FH
Oberstufe
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funk …
Funktionsgleichungen …
Kurve gegeben
Randbedingungen gege …
Differenzieren (Able …
Nach Funktionstyp
Nach Ableitungsregeln
Eigenschaften von Ku …
Aussagen bewerten
Gleichungslehre
Kurvendiskussion
Vollständige Kurvend …
Tangente und Normale
Integralrechnung
Zahlenfolgen und Gre …
Extremwertaufgaben
Allgemeine Fragen zu …
Definitions- und Wer …
Stetigkeit und Diffe …
Wachstum
Näherungsverfahren
Weiterführende Übung …
Analytische Geometrie
Vektoren
Geraden
Ebenen
Ebenen im Raum
Gegenseitige Lage
Abstände
Schnittwinkel
Spiegelungen
Lineare Gleichungssy …
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Übergangsmatrizen
Leontief-Modell
Stochastik
Zufallsexperimente u …
Wahrscheinlichkeiten
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsv …
Binomialverteilung
Signifikanztest