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Konfidenzintervalle

Spickzettel
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Bei Konfidenzintervallen geht es darum die Ergebnisse einer Stichprobe auf Verträglichkeit mit einer vermuteten Verteilung zu überprüfen.
In der Schule sind dabei vor allem Konfidenzintervalle für den Parameter $p$ einer binomialverteilten Zufallsvariable $X$ wichtig.
Dabei wird die relative Häufigkeit $\hat{p} = \frac{X}{n}$ in einer Stichprobe bestimmt und anschließend mit Hilfe der untenstehenden Sigma-Regeln die Grenzen eines Intervalls um $\hat{p}$ bestimmt, in welchem die tatsächliche Wahrscheinlichkeit $p$ mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ liegt.
  1. $P(\mu - 1,64\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,64\cdot\sigma) \approx 0,9$
  2. $P(\mu - 1,96\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,96\cdot\sigma) \approx 0,95$
  3. $P(\mu - 2,58\cdot \sigma \leq X \leq \mu +2,58\cdot\sigma) \approx 0,99$
  1. $P\approx 0,99$

Beispiel

Bei einer Wahlumfrage wurden $1.000$ Personen befragt. Dabei gaben $ 600$ Personen an, Partei A wählen zu wollen. Überprüfe, ob dieses Ergebnis mit einem Wähleranteil von $p = 0,7$ bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $\alpha = 0,95$ verträglich ist.
Hier gilt also: $n = 1.000$, $X = 600$ und $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{600}{1.000} = 0,6$.
Wähle die zu $\alpha$ gehörige Sigma-Regel und setze dort die Darstellungen $\mu = n\cdot p $ und $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}$ ein. Forme dann in der Klammer soweit um, bis du eine Aussage über $p$ erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu - 1,96\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1,96\cdot\sigma)&\approx& 0,95 &\quad \scriptsize \\[5pt] P\left(n\cdot p - 1,96\cdot \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)} \leq X \leq n\cdot p +1,96\cdot\sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)} \right)&\approx& 0,95&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n\cdot p - 1,96\cdot \sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)} &\leq& X &\leq& n\cdot p +1,96\cdot\sqrt{n\cdot p \cdot(1-p)}\quad \scriptsize \mid\; :n\\[5pt] p - 1,96\cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{n} }&\leq& \frac{X}{n} &\leq& p +1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{n}}\quad \scriptsize \mid\; -p\\[5pt] - 1,96\cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{n} }&\leq& \frac{X}{n} -p &\leq& 1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{n}} \quad \scriptsize \mid\; \frac{X}{n} = 0,6 \quad n=1.000 \\[5pt] - 1,96\cdot \sqrt{\frac{p \cdot(1-p)}{1.000} }&\leq& 0,6 -p &\leq& 1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{1.000}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \left|0,6 -p \right|&\leq& 1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{1.000}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \left|0,6 -p \right|-1,96\cdot\sqrt{\frac{ p \cdot(1-p)}{1.000}}&\leq& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ P=$
Mit Hilfe deines Taschenrechners kannst du nun diese Ungleichung nach $p$ lösen und erhältst: $0,57 \leq p \leq 0,63$. Da $0,7$ nicht mehr in diesem Konfidenzintervall liegt, ist diese Wahrscheinlichkeit nicht mit den Ergebnissen der Umfrage bei der gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit verträglich.
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Aufgaben
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1.
Mathematik-Lehrer Müller hat dieses Jahr 12 Klassenarbeiten geschrieben. Er vergibt pro Klassenarbeit $90$ Punkte. Insgesamt hat er einen Durchschnitt von $\overline{x}=56$ Punkten berechnet.
Aus Erfahrung weiß Herr Müller, dass die Punkte bei einer Klassenarbeit normalverteilt sind mit dem Erwartungswert $\mu=50$ Punkte und der Standardabweichung $\sigma=13$.
Untersuche, ob Herrn Müllers Durchschnitt mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ verträglich ist.
2.
Ein Brot hat eine Masse von $2.600\,\text{g}$. Eine Kontrolle von $20$ Broten ergab einen Erwartungswert von $2.460\,\text{g}$ sowie eine Standardabweichung von $\sigma=50\,\text{g}$.
Der Bäcker will seine Teigmaschine neu einstellen, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von $10\%$ nicht mit dem Erwartungswert von $2.460\,\text{g}$ verträglich ist. Muss er die Teigmaschine neu einstellen?
3.
Die erwartete Lebensdauer einer Beamers (der Beamer-Lampe) beträgt 1.000 Stunden bei einer Standardabweichung von $\sigma=40$ Stunden.
Bei einem Test mit 175 Beamer-Lampen lag die mittlere Lebensdauer bei $994$ Stunden. Die Hypothese, dass der Erwartungswert bei $\mu=1.000$ Stunden liegt, soll nur dann beibehalten werden, wenn der Wert $994$ Stunden auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ mit dem Erwartungswert verträglich ist. Muss man die Hypothese verwerfen und eine andere Lebensdauer der Beamer-Lampen in der Beschreibung angeben?
4.
Die Länge einer Thüringer Bratwurst sei normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu=23,5\,\text{cm}$ und der Standardabweichung von $\sigma=3,5\,\text{cm}$. Weiterhin sei die Länge aller Thüringer Bratwürste auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ mit diesem Erwartungswert verträglich. Wie viele Thüringer Bratwürste benötigt man mindestens, um eine $50\,\text{m}$ lange Strecke zusammenlegen zu können?
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Lösungen
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1.
Verträglichkeit mit Erwartungswert untersuchen
Zunächst ist es wichtig, dass wir es hier mit einer Stichprobe zu tun haben. Für eine beliebige Klassenarbeit gilt der Erwartungswert von $50$ Punkten und die Standardabweichung von $13$ Punkten. Da Herr Müller $12$ Klassenarbeiten geschrieben hat, gilt die Standardabweichung: $\sigma'=\dfrac{\sigma}{\sqrt{12}}\approx3,75$.
Nun ist danach gefragt, ob der Durchschnitt der Klassenarbeiten mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ verträglich ist, d.h. ob die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von $56$ Punkten größer als $5\%$ ist.
Betrachte hierzu die Sigma-Regeln. Besonders eine davon ist in dieser Aufgabe sehr nützlich:
$P\left(\mu-1,96\sigma'< X < \mu+1,96\sigma'\right)\approx0,95$
$P\approx0,95$
Sie sagt aus, dass sich ein Durchschnitt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ in der $1,96\sigma'$-Umgebung um den Erwartungswert befindet. Wenn sich Herr Müllers Durchschnitt von $56$ Punkten also in dieser Umgebung befindet, so ist dieses Ergebnis mit dem Erwartungswert $\mu=50$ Punkten verträglich.
Für die Grenzen der Sigma-Umgebung ergeben sich:
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma'&=50-1,96\cdot3,75 &\qquad \mu+1,96\sigma'&=50+1,96\cdot3,75 \\[5pt] &=42,65&&=57,35 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma'&=\end{array}$
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,96\sigma'&=\end{array}$
Da $42,65 < 56 < 57,35$ ist, liegt der Wert $56$ in der $1,96\sigma'$-Umgebung um den Erwartungswert und ist damit mit diesem Verträglich auf einem Signifikanzniveau von $5\%$.
2.
Über Neueinstellung der Teigmaschine entscheiden
Die Teigmaschine wird neu eingestellt, wenn das Gewicht des Brotes auf einem Signifikanzniveau von $10\%$ nicht mit dem Erwartungswert verträglich ist. Sie wird also neu eingestellt, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Brot bei einem Erwartungswert von $2.460$ g und einer Standardabweichung von $50$ g genau $2.600$ g wiegt, kleiner als $10\%$ ist. Betrachte hierzu die Sigma-Regeln: $P(\mu-1,64\sigma< X< \mu+1,64\sigma)\approx0,9$.
Wenn sich der Wert $2.600$ innerhalb der $1,64\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert befindet, so ist er mit diesem auf einem Signifikanzniveau von $10\%$ verträglich. Liegt er außerhalb der Umgebung, so ist er es nicht. Berechne also die Grenzen der Umgebung:
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,64\sigma=&2.460-1,64\cdot50&\qquad \mu+1,64\sigma=&2.460+1,64\cdot50\\\ =&2.378&=&2.542 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,64\sigma= \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,64\sigma= \end{array} $
Da der Wert $2.600$ außerhalb der $1,64\sigma$-Umgebung des Erwartungswerts $2.460$ liegt, ist er mit diesem nicht verträglich und die Teigmaschine muss neu eingestellt werden.
3.
Entscheidungsregel über die Hypothese formulieren
Wenn die Hypothese $\mu=1.000$ Stunden nicht verworfen werden soll, muss die Wahrscheinlichkeit für den Mittelwert $\overline{x}=994$ Stunden größer als $5\%$ sein.
Es ist wichtig, dass unser Wert von $994$ Stunden aus einer Stichprobe stammt. Bei 175 Lampen gilt damit für die Standardabweichung:
$\sigma'=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{40}{\sqrt{175}}\approx3,02$
Betrachte nun die Sigma-Regeln: $P\left(\mu-1,96\sigma'\mu+1,96\sigma'\right)\approx0,95$.
Unser Mittelwert $994$ Stunden ist also mit dem Erwartungswert auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ verträglich, wenn er innerhalb dieser Umgebung liegt. Berechne hierzu die Grenzen der Umgebung:
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma=&1.000-1,96\cdot3,02& \qquad \mu+1,96\sigma=&1.000+1,96\cdot3,02\\ =&994,0808&=&1.005,9192 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma= \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,96\sigma= \end{array} $
Da der Wert $\overline{x}=994$ Stunden nicht innerhalb des Intervalls liegt, ist er nicht mit dem Erwartungswert verträglich und die Hypothese $\mu=1000$ Stunden muss verworfen werden.
4.
Mindestanzahl der Bratwürste bestimmen
In der Aufgabenstellung wird angenommen, dass die Länge der Thüringer Bratwürste auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ mit dem Erwartungswert von $23,5$ cm verträglich sind.
Es gilt nun, ein Intervall zu bestimmen, in welchem sich mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ die Längen der Thüringer Bratwürste befinden. Betrachte hierzu die Sigma-Regeln:
$P(\mu-1,96\sigma< X< \mu+1,96\sigma)\approx0,95$.
Berechne zunächst die Grenzen dieser $1,96\sigma$-Umgebung:
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma=&23,5-1,96\cdot3,5&\qquad \mu+1,96\sigma=&23,5+1,96\cdot3,5\\ =&16,64&=&30,36 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu-1,96\sigma= \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rlrl} \mu+1,96\sigma= \end{array} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ liegt die Länge einer Thüringer Bratwurst also zwischen $16,64$ cm und $30,36$ cm.
Insgesamt soll eine Strecke von $50$ m, d.h. $5.000$ cm zurückgelegt werden.
Da nur von einer Mindestanzahl der Bratwürste die Rede ist, gehst du von der oberen Grenze der $1,96\sigma$-Umgebung aus:
$ \begin{array}[t]{rll} 5.000 \text{cm}=&n\cdot30,36 \text{cm}&\quad\mid :30,36 \text{cm} \\ 164,69=&n \end{array} $
$164,69=n$
Es werden mindestens $165$ Bratwürste benötigt, um eine Strecke von $50$ m zurückzulegen. Auch diese Aussage ist auf einem Signifikanzniveau von $5\%$ gesichert.
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