Produktregel
Die Produktregel kannst du anwenden, um Funktionen abzuleiten, die sich als Produkt zweier Funktionsterme zusammensetzen. Diese Regel kann dir zum Beispiel das Ausmultiplizieren ersparen oder es dir ermöglichen Produkte abzuleiten, die nicht ausmultipliziert werden können.
kannst du mit Hilfe der Produktregel ableiten.
Schreibe dir am besten am Anfang einer solchen Aufgabe zuerst
, 
, 
und 
auf, um diese nicht zu vertauschen:
 |
= |  |
|
 |
 |
= |  |
Beispiel
Die Funktion kannst du mit Hilfe der Produktregel ableiten.
Schreibe dir am besten am Anfang einer solchen Aufgabe zuerst
, , und auf, um diese nicht zu vertauschen:
1.
Leite die folgenden Funktionen einmal ab. (Ganzrationale Funktionen)
a)
b)
c)
d)
2.
Leite die folgenden Funktionen einmal ab. (Ganzrationale Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
Leite die folgenden Funktionen zweimal ab. (Ganzrationale Funktionen)
Anmerkung: bei Aufgabe 5d) genügt es, wenn du einmal ableitest.
Anmerkung: bei Aufgabe 5d) genügt es, wenn du einmal ableitest.
a)
b)
c)
d)
4.
Leite die folgenden Funktionen einmal ab. (
- und 
-Funktionen)
- und -Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5.
Bilde die erste Ableitung.
a)
b)
c)
d)
6.
Bilde die erste Ableitung.
a)
b)
c)
d)
7.
Leite die folgenden Funktionen einmal ab. (Trigonometrische Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
8.
Bilde die erste Ableitung. (Trigonometrische Funktionen)
a)
b)
c)
d)
e)
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1.
Die Funktionen einmal ableiten
a)
Vollständige Lösung anzeigen
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&x\cdot(x+1)^2&\quad\\[4pt]
f‘(x)=&1\cdot(x+1)^2+x\cdot2\cdot(x+1)\cdot1&\quad\\[4pt]
=&(x+1)(x+1+2x)&\quad\\[4pt]
=&(x+1)(3x+1)&\quad\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f7003e29b791023f4013b9db1c95ea2fa139f9a2bd5bab27c38279b6da997cf0_light.svg)
b)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&-2x\cdot(2x+1)^2&\quad\\[4pt]
f‘(x)=&-2\cdot(2x+1)^2+(-2x)\cdot2\cdot(2x+1)\cdot2&\quad\\[4pt]
=&-2\cdot(2x+1)(2x+1+4x)&\quad\\[4pt]
=&-2\cdot(2x+1)(6x+1)&\quad\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8e0ddb5a11519b6fa7a2affe80be24e8ba573088aa91c954d73a9bcc8dd7703a_light.svg)
c)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&-x\cdot(x^2+1)^2&\quad\\[4pt]
f‘(x)=&-1\cdot(x^2+1)^2+(-x\cdot2\cdot(x^2+1)\cdot2x)&\quad\\[4pt]
=&-(x^2+1)^2-4x^2(x^2+1)\\[4pt]
=&-(x^2+1)(x^2+1+4x^2)&\quad\\[4pt]
=&-(x^2+1)(5x^2+1)&\quad\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/acaced333dbe68c5f1d57240c9932557923bb09293f1dcbdc252cea7a1645295_light.svg)
d)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)=&\dfrac{1}{2}x^2\cdot(x-1)^3&\quad\\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot(x-1)^3+\dfrac{1}{2}x^2\cdot3(x-1)^2\cdot1&\quad\\[4pt]
=&x\cdot(x-1)^2\left((x-1)+\dfrac{3}{2}x\right)&\quad\\[4pt]
=&x\cdot(x-1)^2\left(\dfrac{5}{2}x-1\right)&\quad\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e37b2b1dbcdc4cf12b2687f26c3de3f4bb2d964f225bf70469cfcaee6365662e_light.svg)
2.
Die Funktionen einmal ableiten
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(a)= & 3ax^2\cdot(2x^5+3)^5 &\\[4pt]
f‘(a)= & 3x^2(2x^5+3)^5 &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c478d4b7599c28f76bce12b78a9c7da613bc0430a65fa68fdf3061175b4160a9_light.svg)
a)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & 3x\cdot(-x-1)^3 &\\[4pt]
f‘(x)= & 3\cdot(-x-1)^3+3x\cdot 3\cdot(-x-1)^2\cdot (-1) &\\[4pt]
= & 3\cdot (-x-1)^2((-x-1)-3x) &\\[4pt]
= & 3\cdot (-x-1)^2(-4x-1) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/812d16cf0faa5e45abf1d5be7c7b4f94f3b70e8dbdf94d94af09141789add131_light.svg)
b)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \dfrac{1}{2}x\cdot(-3-4x)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & \dfrac{1}{2}\cdot(-3-4x)^2+\dfrac{1}{2}x\cdot2\cdot(-3-4x)\cdot(-4) &\\[4pt]
= & \dfrac{1}{2}\cdot(-3-4x) \left((-3-4x)-8x\right) &\\[4pt]
= & \dfrac{1}{2}\cdot(-3-4x) \left(-3-12x\right) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8e9a80a5ac44237b79c9a4ed0171811fc4064016e58b0ff9a32cdb5ca842fffa_light.svg)
c)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x^2\cdot(3-x^2)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 2x\cdot(3-x^2)^2+x^2\cdot2\cdot(3-x^2)\cdot(-2x) &\\[4pt]
= & 2x\cdot(3-x^2)(3-x^2-2x^2) &\\[4pt]
= & 2x\cdot(3-x^2)(3-3x^2) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d232527043fc8783ee2715b9554713c63f08a665e027c4082cd1d1208f920a7a_light.svg)
d)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (x-1)\cdot(x+t)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 1\cdot(x+t)^2+(x-1)\cdot2\cdot(x+t)\cdot1 &\\[4pt]
= & (x+t)\cdot(3x+t-2) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b4ac319f73bec85b0f443acf6297d355207d6f110361247d9bddf587b1dddf72_light.svg)
e)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & 3ax\cdot(-a+x)^3 &\\[4pt]
f‘(x)= & 3a\cdot(-a+x)^3+3ax\cdot3\cdot(-a+x)^2\cdot1 &\\[4pt]
= & 3a\cdot(-a+x)^2\cdot(-a+x+3x) &\\[4pt]
= & 3a\cdot(-a+x)^2\cdot(4x-a) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3521d6cd4fecaf17f02adc807db262737c23a6f640019501ecafcb3696f8694f_light.svg)
f)
3.
Die Funktionen zweimal ableiten
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (x^2+x)(x^3+x^2+x) &\\[4pt]
f‘(x)= & (2x+1)\cdot(x^3+x^2+x) + (x^2+x)\cdot(3x^2+2x+1) &\\[4pt]
= & 2x^4+2x^3+2x^2+x^3+x^2+x\\[4pt]
&+\,3x^4+2x^3+x^2+3x^3+2x^2+x &\\[4pt]
= & 5x^4+8x^3+6x^2+2x &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 20x^3+24x^2+12x+2 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aafc52c42c48bd26ee7e512a1c9ef7214305c65f5b5d1758d1bb87ffba53ef9b_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (2x+1)(4x+2)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 2\cdot (4x+2)^2 + (2x+1)\cdot 2(4x+2)\cdot 4 &\\[4pt]
= & 2(4x+2)^2 + 8(2x+1)(4x+2) &\\[4pt]
= & 2(4x+2)^2 + 8(8x^2+4x+4x+2) &\\[4pt]
= & 2(4x+2)^2 + 64x^2+64x+16 &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 4(4x+2)\cdot 4 +128x+64 &\\[4pt]
= & 64x+32 +128x+64 &\\[4pt]
= & 192x+96 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0c2ea0ba3b35ca51dda1d281d7cc8749659c631e3a8049da8709680ed7ab5c96_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (3x+1)(2x^2+2)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 3\cdot(2x^2+2)^2 +(3x+1)\cdot 2(2x^2+2)\cdot4x &\\[4pt]
= & 3(2x^2+2)^2 + 8x(3x+1)(2x^2+2) &\\[4pt]
= & 3(2x^2+2)^2 + 8x(6x^3+6x+2x^2+2) &\\[4pt]
= & 3(2x^2+2)^2 + 48x^4+48x^2 + 16x^3+16x &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 6(2x^2+2)\cdot 4x + 192x^3+96x+48x^2+16 &\\[4pt]
= & 48x^3+48x+ 192x^3+96x+48x^2+16 &\\[4pt]
= & 240x^3 + 48x^2 + 144x + 16 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0bb6653e3cec7b1757b4210b5666619684b5d574c6a891acfddf746c9d4e25eb_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (2x+1)^2\cdot(3x^2+3)^{-3} &\\[4pt]
f‘(x)= & 2\cdot(2x+1)\cdot2\cdot (3x^2+3)^{-3} \\[4pt]
&+\,(2x+1)^2\cdot\left(-3\right)\cdot(3x^2+3)^{-4}\cdot6x &\\[4pt]
= & 4\cdot(2x+1)\cdot (3x^2+3)^{-3} -18\cdot x\cdot(2x+1)^2\cdot(3x^2+3)^{-4}&\\[4pt]
= & 2\cdot(2x+1)\cdot (3x^2+3)^{-3}\\[4pt]
&\cdot\left[2-9x\cdot(2x+1)\cdot(3x^2+3)^{-1}\right]&\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/838f51e45148d541f8c524cf0c5ec9a94b11bf14f917fe1723b7db542ce6487b_light.svg)
4.
Die Funktionen einmal ableiten
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x^2\mathrm e^{x} &\\[4pt]
f‘(x)= & 2x\cdot \mathrm e^{x} + x^2\cdot \mathrm e^{x}\cdot1 &\\[4pt]
= & x\cdot\mathrm e^{x} (2+x) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a7e7d04d280b82083e4631d1bc9be1cbc4d86489600425cb78cee9f01482ad11_light.svg)
a)
b)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x^2\mathrm e^{-x} &\\[4pt]
f‘(x)= & 2x\cdot \mathrm e^{-x} + x^2\cdot \mathrm e^{-x}\cdot(-1) &\\[4pt]
= & x\cdot\mathrm e^{-x} (2-x) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c510cc89814558b594fa4cb37cac7dbeff763c9b583c80ab344cf92a5ae95255_light.svg)
c)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & 3x^3\cdot\mathrm{e}^{-3x} &\\[4pt]
f‘(x)= & 9x^2\cdot \mathrm e^{-3x} + 3x^3\cdot \mathrm e^{-3x}\cdot(-3) &\\[4pt]
= & 9x^2\cdot\mathrm e^{-3x} (1-x) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f6597e2f3f73489c6ee78ee257dc0cf0b45cbd68365216dc54307b7345b7784b_light.svg)
d)
e)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (3x+6)\cdot\mathrm{e}^{-x} &\\[4pt]
f‘(x)= & 3\cdot\mathrm e^{-x}+(3x+6)\cdot\mathrm e^{-x}\cdot(-1) &\\[4pt]
= & 3\cdot\mathrm e^{-x}-3x\cdot \mathrm e^{-x}-6\mathrm e^{-x} &\\[4pt]
= & -3x\cdot \mathrm e^{-x}-3\mathrm e^{-x} &\\[4pt]
= & 3\mathrm e^{-x}(-x-1) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0e927fa21fc5966b9bfc905aff3bf203af3bea6c363190933b54a275b5cd61a7_light.svg)
f)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (2x+t)\mathrm{e}^{-3tx} &\\[4pt]
f‘(x)= & 2\cdot\mathrm e^{-3tx}+(2x+t)\cdot\mathrm e^{-3tx}\cdot(-3t) &\\[4pt]
= & 2\mathrm e^{-3tx}-6tx\cdot\mathrm e^{-3tx}-3t^2\cdot\mathrm e^{-3tx} &\\[4pt]
= & \mathrm e^{-3tx}(-6tx-3t^2+2) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/09cb535e3bdf91a0d3ebc29cfd35e343d4c00105850a92ac6b68bc51418a19a6_light.svg)
g)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x\cdot\ln x &\\[4pt]
f‘(x)= & 1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x} &\\[4pt]
= &\ln x+1 &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e9a3d092e0817000837c2979ca3244113d237435bd9b77b65c8e899bc036cc5d_light.svg)
h)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & 2x^3\cdot\ln(x+2) &\\[4pt]
f‘(x)= & 6x^2\cdot\ln (x+2)+2x^3\cdot\dfrac{1}{x+2}\cdot1 &\\[4pt]
= & 2x^2\cdot\left(3\ln (x+2)+\dfrac{x}{x+2}\right) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1c7b8312ba4c59a938428a6bd48df30dcb6562f8e1f0840548fdceda43c5aadb_light.svg)
5.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x\mathrm e^x &\\[4pt]
f‘(x)= & 1\cdot \mathrm e^x + x\cdot \mathrm e^x &\\[4pt]
= & \mathrm e^x (1+x) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/de1e0b846134a9b4e176124ca907d20af31af63bf2d08ffc76298af49010e207_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \mathrm e^{\ln(x)}\sin(x)x^{-1} &\\[4pt]
= & x\cdot\sin(x)\cdot\frac{1}{x} &\\[4pt]
= & \frac{x}{x}\cdot\sin(x) &\\[4pt]
= & 1\cdot\sin(x) &\\[4pt]
f‘(x)= & \cos(x)&
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d9771d96dc21a5967955c9e302fbf7f69a0bdb4e7d29629695db5794a16b0517_light.svg)
a)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \mathrm e^x (x^2-1)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & \mathrm e^x\cdot (x^2-1)^2 + \mathrm e^x \cdot2(x^2-1)\cdot2x &\\[4pt]
= & \mathrm e^x (x^2-1)^2 + \mathrm e^x (4x^3-4x) &\\[4pt]
= & \mathrm e^x ((x^2-1)^2 + 4x^3-4x) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f8b7fd1a2683cd05a9820b58a967270a72b5f05decdbcbbd3a20531e38f4b434_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \mathrm e^{(x^2)} \mathrm e^{5x} &\\[4pt]
f‘(x)= & \mathrm e^{(x^2)}\cdot2x \cdot\mathrm e^{5x} + \mathrm e^{(x^2)} \cdot 5\mathrm e^{5x} &\\[4pt]
= & \mathrm e^{(x^2)} \mathrm e^{5x}(2x+5) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d1c4647c5878744a5f3d0063c457407cbec554cd4ecb4b1b968308c85b22e135_light.svg)
d)
6.
Die Funktionen einmal ableiten
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x\ln(x) &\\[4pt]
f‘(x)= & 1\cdot\ln(x)+x\cdot\dfrac{1}{x} &\\[4pt]
= & \ln(x)+1 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b884f2ad8ccbd119f6fd9ae2354c9e2b8ea753292a43869a19ead5e33056e700_light.svg)
a)
b)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \ln(x^2)x^{-1} &\\[4pt]
f‘(x)= & \dfrac{1}{x^2}\cdot2x\cdot x^{-1}+\ln(x^2)\cdot(-x^{-2}) &\\[4pt]
= & \dfrac{2}{x}\cdot x^{-1}-\ln(x^2)(-x^{-2}) &\\[4pt]
= & 2x^{-2}-\ln(x^2)x^{-2} &\\[4pt]
= & x^{-2}(2 -\ln(x^2)) & \\[4pt]
= & \dfrac{2-\ln(x^2)}{x^2} & \\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1168499f3f26d163de0de1cd4528d2e70964b86c669b9ca7e3417aad83824ca9_light.svg)
c)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \ln(3x)\ln(x^2) &\\[4pt]
f‘(x)= & \dfrac{1}{3x}\cdot 3 \cdot \ln(x^2) + \ln(3x)\cdot\dfrac{1}{x^2}\cdot 2x &\\[4pt]
= & x^{-1} \ln(x^2) + \ln(3x)2x^{-1} &\\[4pt]
= & x^{-1} (\ln(x^2) + 2\ln(3x)) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/87697ba366a380cc1135bfe99b8349a728c67c0cd5d15b671a5ac7447460993d_light.svg)
d)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \ln(e^x)\cos(x)x^{-2} &\\[4pt]
= & x\cdot\cos(x)x^{-2} &\\[4pt]
= & \cos(x)x^{-1} &\\[4pt]
f‘(x)= & (-\sin(x))\cdot x^{-1}+\cos(x)\cdot -1(x^{-2}) &\\[4pt]
= & -\sin(x)x^{-1}-\cos(x)x^{-2} &\\[4pt]
= & -\dfrac{\sin(x)}{x}-\dfrac{\cos(x)}{x^2} &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fb09113515ba67a2d712cd1d372287c17a518b29ded659cffdf37fc167b4344b_light.svg)
7.
Die Funktionen einmal ableiten
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & -\cos x\cdot 3x &\\[4pt]
f‘(x)= & \sin x\cdot3x+(-\cos x\cdot3) &\\[4pt]
= & 3(\sin x\cdot x-\cos x) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e54e0e894491a7e0cdc78f7fb663bf22f69eac7653612b08bdcc10a3b6665bef_light.svg)
a)
b)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & -\sin x\cdot x^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & -\cos x\cdot x^2+2x\cdot(-\sin x) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c790b1d4f09ca935ecc44930e0654372030c5f6d2d3cbdf6aac7c725f74e688d_light.svg)
c)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & 2x\cdot\cos(x^2+4) &\\[4pt]
f‘(x)= & 2\cdot\cos(x^2+4)+2x\cdot(-\sin (x^2+4)\cdot2x) &\\[4pt]
= & 2\cdot\cos(x^2+4)-4x^2(\sin(x^2+4)) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b4103ffe61840b96d9c45bf22e17d0dc6fd9d103d5f34880054a25c8c18b4765_light.svg)
d)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x^2\cdot\left(-\sin\left(\dfrac{1}{2}x^2+x\right)\right) &\\[4pt]
f‘(x)= & 2x\cdot\left(-\sin\left(\dfrac{1}{2}x^2+x\right)\right)\\[4pt]
&+\,x^2\cdot \left(-\cos\left(\dfrac{1}{2}x^2+x\right)\cdot(x+1)\right) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9984ba3b692c38cc45a30b7d89cc25cef4669cf4bf5733c2c2a2d60e36bc60a6_light.svg)
e)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \sin(x^2)\cdot\left(x^2+\dfrac{1}{2}x\right) &\\[4pt]
f‘(x)= & \cos(x^2)\cdot2x\cdot\left(x^2+\dfrac{1}{2}x\right)+\sin(x^2)\cdot\left(2x+\dfrac{1}{2}\right) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e873d8f282db1458f12b9a55c630ef2510bb34ddd651b56f2fa84fd07ce5346_light.svg)
f)
![\( \begin{array}[t]{rll}
f(x)= & -\cos(2tx)\cdot(tx)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & -(-\sin(2tx))\cdot2t\cdot(tx)^2-\cos(2tx)\cdot2t^2x &\\[4pt]
= & 2t^3x^2\cdot\sin(2tx)-\cos(2tx)\cdot2t^2x &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9481620e4326099701c3c13bb2504615fca2b2e1ebb4c5764604189bc227e3ad_light.svg)
8.
Die Funktionen einmal ableiten
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \sin(x)\sin(x) &\\[4pt]
f‘(x)= & \cos(x)\cdot\sin(x)+\sin(x)\cdot\cos(x) &\\[4pt]
= & 2\sin(x)\cos(x) &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3f859a7151458032c5b68943e14f836ce14fe4b1ae1dc46033479fcbe52ea7a5_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \sin(x)\cos(x) &\\[4pt]
f‘(x)= & \cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)(-\sin(x)) &\\[4pt]
= & \cos(x)^2-\sin(x)^2 &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/95115b6c75d30729ecb3faac8595cf4adce1af1631a460bd6b4ded79c28dc1dd_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \sin(x)(x^2+5)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & \cos(x)\cdot (x^2+5)^2 + \sin(x)\cdot2(x^2+5)\cdot2x &\\[4pt]
= & \cos(x)(x^2+5)^2 + \sin(x)(4x^3+20x) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0ddca1222c88fcd969752a1a4b087a000bf735613e811e965a59d8bac60f46f1_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (\sin(x)+x)\cos(x) &\\[4pt]
f‘(x)= & (\cos(x)+1)\cdot\cos(x)+(\sin(x)+x)\cdot(-\sin(x)) &\\[4pt]
= & \cos(x)^2+\cos(x)-\sin(x)^2-x\sin(x) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/25d2b4690a2a4d001c1611c14289051017a42c950783ae4b4c4391e59a0625e6_light.svg)
e)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \sin(x^2)\cos(x) &\\[4pt]
f‘(x)= & \cos(x^2)\cdot2x\cdot\cos(x)+\sin(x^2)\cdot(-\sin(x)) &\\[4pt]
= & 2x\cos(x^2)\cos(x)-\sin(x^2)\sin(x) &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5cb58e064867ebe973c6cc9081b5f35039549b0abdaeabc6955cbacf8a975b72_light.svg)
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