Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen kannst du ableiten, in dem du jeden Summanden einzeln nach der Potenzregel ableitest.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& x^3 + 5x^2 +2 \\
f‘(x)&=& 3\cdot x^{3-1}+5\cdot2\cdot x^{2-1}&\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfachen}\\
&=& 3x^2+10x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fa6ec78e7fd4fa72a351f62e76d918c924a2b706c07c595d2271a06a34f54c2d_light.svg)
Beispiel
1.
Leite folgende Funktionen einmal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2.
Leite folgende Funktionen zweimal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
Leite folgende Funktionen einmal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
5.
Bilde die ersten beiden Ableitungen.
a)
b)
c)
d)
6.
Leite folgende Funktionen zweimal ab.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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1.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 2x \\
f‘(x)=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a11144fa96f3217b6812ec99e814b18bfc0307d2a7d37ba26fa9fe983f7d5d8f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& x^2 \\
f‘(x)=& 2\cdot x \\
=& 2x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/91fb6d4be9d8b74834fe29eff994cd8afc328f0f5d86a16709db9ef6a605f4ec_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 3x^2 \\
f‘(x)=& 6x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d9f31b47accab3317eb1514f80e204a6503f4aaff1245c3945a616942aefb804_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 2 \\
f‘(x)=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/46697d8e1a2771d4c9a0410b4fc045daad779063edbcb4ffcda2104f99b15c36_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 2x^3 \\
f‘(x)=& 3\cdot 2x^2 \\
=& 6x^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f40a370545bfc3105af31e33619bcd012c90ef4a74c92a8bbb86212253b646db_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& -3x^2 \\
f‘(x)=& 2\cdot (-3x) \\
=& -6x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1d94998d3b5af0aa6d20a87553a4bee7ea1d1bad169c7c42cdf0bf30f9ead25d_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 5x^2+5x \\
f‘(x)=& 10x+5 \\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6de1c6f3ce34ee60eb1f6771bf1f52cf577d63da7efb417053da6feae6dc422a_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 7x^4+3x^2+9x \\
f‘(x)=& 28x^3+6x+9 \\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/875c3c31cf1c60e2bb311d04704f2de70228e95d99f320901387747c76056496_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& ax^2+c \\
f‘(x)=& 2\cdot ax \\
=& 2ax
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0848d619e5c37060fd7ef5012caf79ada78e00dd567bee6f8ed63901fca7ddb8_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& -bx^2 \\
f‘(x)=& 2\cdot (-bx) \\
=& -2bx
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f1c9213dd42709e928e103242489a51cc549373bff7b1907b6aae38dcb4d9a41_light.svg)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Beachte, dass die Funktionsvariable hier 
ist und nicht 
Du musst also nach ableiten und 
wie jede andere Zahl behandeln.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)=& x^{-1}+5t^2+3 \\
f‘(t)=& 10t \\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9c9d1b7b06e0ea41fa0e14c1080fea9fea452e929ca80cb061d3c2d0ee723196_light.svg)
ist und nicht Du musst also nach ableiten und wie jede andere Zahl behandeln.
k)
l)
Beachte, dass die Funktionsvariable hier 
ist und nicht Du musst also nach ableiten und wie jede andere Zahl behandeln.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(a)=& ax^{-2} \\
f‘(a)=& x^{-2} \\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7b81101469b87fdb814de3b7d26c2837575642c51b32f7b9aecd3c1eda39274f_light.svg)
ist und nicht Du musst also nach ableiten und wie jede andere Zahl behandeln.
2.
Die Funktionen zweimal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& x^4 \\
f‘(x)=& 4\cdot x^3 \\
=& 4x^3 \\
f‘‘(x)=& 3\cdot 4x^2 \\
=& 12x^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6aa311920b6d05999cccd324d03d23cd138df8a39deb16e4243c8bbf28d2163c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& \dfrac{1}{6}x^3 \\
f‘(x)=& 3\cdot \dfrac{1}{6}x^2 \\
=& \dfrac{1}{2}x^2 \\
f‘‘(x)=& 2\cdot \dfrac{1}{2}x \\
=& x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/50a0cd6abe7bc7c1f09934335d6fe682f67aececd1ac207bc7fde098ad096676_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& ax \\
f‘(x)=& a \\
f‘‘(x)=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/48115268d0cd93ee1a0a904b3d36b6610b5cc01dec89d88c0b675d5c62690cfe_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(a)=& ax^2 \\
f‘(a)=& x^2 \\
f‘‘(a)=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2e846c15e4854690b4b57ce9a73b83aa888cda809c7bdfa9b812cae1a05f588e_light.svg)
a)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f‘‘(x)=& 60x^3+10\\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/005c86297957e6aa133d3bedf8aaad3830802dc1d6a94cec3fd135a732d08e09_light.svg)
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& 3x^5+5x^2+\dfrac{1}{3}x+3 \\
f‘(x)=& 15x^4+10x+\dfrac{1}{3}\\
f‘‘(x)=& 60x^3+10\\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/53ff2c209ddacf68fbcffd372404d58d7950722e98d1f7665e4dafbe2bbb8561_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f‘‘(x)=& -10+392x^6+36x\\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3c01b12025acafbccee014a548aa0ba7a69c38fdf2c549de32f2bdfd62e79b0f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& -5x^2+7x^8+6x^3-4 \\
f‘(x)=& -10x+56x^7+18x^2\\
f‘‘(x)=& -10+392x^6+36x\\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b30a77222330560e55e289b3b01ddb9775f3901a397c6583f8f3c1e20ac53f6a_light.svg)
e)
f)
3.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (x+1)^2 \\[4pt]
f‘(x)=& 2\cdot (x+1) \cdot 1 \\
=& 2x+2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce78763d93ffaa85a356600d33c1c162105a61271d3995f648a9bfc905d1a34a_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (3x+1)^7 \\[4pt]
f‘(x)=& 7\cdot (3x+1)^6 \cdot 3 \\
=& 21(3x+1)^6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/46afc2b7ddca603121fb61fc387b8d00f85fe3eb93fd3a2da101e67d3754920c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (2x^2+3)^5 \\[4pt]
f‘(x)=& 5\cdot (2x^2+3)^4 \cdot 4x \\
=&20x(2x^2+3)^4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5b622b8d0f5aa992317632c377fc075e765c7e4974439ca4d9adf3386a86daa2_light.svg)
a)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& (x^2+x)^3 \\[4pt]
f‘(x)=& 3\cdot (x^2+x)^2 \cdot (2x+1) \\
=& (6x+3)(x^2+x)^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b27d3989a63fa702e97232d0a8b528e4ef25b32e043afd81b6534961a48017a5_light.svg)
c)
d)
e)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& x(x+1)^2 \\[4pt]
f‘(x)=& 1\cdot(x+1)^2 + x\cdot 2 \cdot (x+1) \cdot 1 \\
=&(x+1)^2 + 2x(x+1) \\
=&x^2+2x+1+2x^2+2x \\
=&3x^2+4x+1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/678999272561d375557a024fba40109cbdacc24186b0d83ced2ccd081647d65c_light.svg)
f)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=& x^2(x^2+1)^3 \\[4pt]
f‘(x)=& 2x\cdot(x^2+1)^3 + x^2\cdot 3 \cdot (x^2+1)^2 \cdot 2x \\
=& 2x(x^2+1)^3 + 6x^3(x^2+1)^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1717872a24e637b008134ab01fd476e1f3dfa2d2aa2aa53b460304a47ac2234d_light.svg)
4.
Die Funktionen einmal ableiten
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(1+x)^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(1+x)\cdot 1 \\
=&2+2x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/603245c47b14b913900367d929619c6c74921318d30a5ac9f65b5231d7b12e15_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(3x+1)^4 \\[4pt]
f‘(x)=&4\cdot(3x+1)^3\cdot 3 \\
=&12(3x+1)^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b84853e96453586c7d797e583d9ca7d56749503d506cdf229aa298997c210714_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(-3x-2)^3 \\[4pt]
f‘(x)=&3\cdot (-3x-2)^2 \cdot (-3)\\
=&-9(-3x-2)^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/47f226821d8440c1f7589c708130ab738073871342bac50dfbfb87e02173898f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&-2(2x^2+2)^2\\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot(-2(2x^2+2))\cdot 4x\\
=&(-16x)\cdot(2x^2+2)\\
=&-32x^3-32x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1524d8b4932405576d739dd21bf145721f63f2e7593cd7975abb87b29af88511_light.svg)
a)
b)
c)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(2x-3x^2)^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2(2x-3x^2)\cdot (2-6x) \\
=&2(4x-12x^2-6x^2+18x^3) \\
=&36x^3-36x^2+8x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/230190c641429d9bc8878df6719e1395e4a5894d7215357bc5627a5d75d6fbf8_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(x^2+x^{-1})^2 \\[4pt]
f‘(x)=&2\cdot (x^2+x^{-1})\cdot(2x-x^{-2}) \\
=&2(2x^3-1+2-x^{-3}) \\
=&4x^3-2x^{-3}+2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a67c33af99de080e5a212d3a7125851926195b8d2307baf2c07c852456c5ec8_light.svg)
5.
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(2x+2)^2 \\[5pt]
f‘(x)=&2\cdot(2x+2)\cdot 2 \\
=&8x+8 \\[5pt]
f‘‘(x)=&8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/715f6084617d306e8535290e86ac3240429f1e6784ffc141a4b1d42495170107_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(a+bx^2)^2 \\[5pt]
f‘(x)=&2(a+bx^2)\cdot 2bx \\
=&4bx(a+bx^2) \\
=&4abx+4b^2x^3 \\[5pt]
f‘‘(x)=&4ab+12b^2x^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/49369d1da6875c85f733a93fbcb8b2168e7cabe3932c6be7823e18feca500830_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(3x+3)^3 \\[5pt]
f‘(x)=&3\cdot(3x+3)^2\cdot 3 \\
=&9(3x+3)^2 \\[5pt]
f‘‘(x)=&2\cdot 9(3x+3)\cdot 3 \\
=&162x+162
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/acb5a235ad0390df3d1d962a3aee0fbc05dcfbc2afa7c0d1cc4f424c51dec315_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)=&(x^2+x)^2 \\[5pt]
f‘(x)=&2\cdot (x^2+x) \cdot (2x+1) \\
=&2\cdot(2x^3+x^2+2x^2+x) \\
=&4x^3+6x^2+2x \\[5pt]
f‘‘(x)=&12x^2+12x+2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/89557208aedbacabc1dc60c29b0169bab72dcd7e7ad7d352ed64e463eeab632a_light.svg)
6.
Die Funktionen zweimal ableiten
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x(x-1)^3 &\\[4pt]
f‘(x)= & 1\cdot(x-1)^3+x\cdot 3(x-1)^2\cdot 1 &\\[4pt]
= & (x-1)^3+3x(x-1)^2 &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 3(x-1)^2 + 3(x-1)^2+3x\cdot2(x-1) &\\[4pt]
= & 6(x-1)^2+6x(x-1) &\\[4pt]
= & 6(x-1)^2+6x^2-6x &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/26981c25513a8223575b058f986908e3c0c883ed9fc71a3c452270f33a60229e_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x^2(x+1)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 2x\cdot(x+1)^2+x^2\cdot 2(x+1) &\\[4pt]
= & 2x(x+1)^2+2x^3+2x^2 &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 2\cdot(x+1)^2+2x\cdot 2(x+1) + 6x^2 +4x &\\[4pt]
= & 2(x+1)^2+4x^2+4x+6x^2+4x &\\[4pt]
= & 2(x+1)^2+10x^2+8x &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/43235fbd365b6a809f8b2627292ef77ea5730572b29b009345d7eea67f741bb0_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & x^2(x^2+2)^3 &\\[4pt]
f‘(x)= & 2x\cdot(x^2+2)^3+x^2\cdot 3(x^2+2)^2\cdot2x &\\[4pt]
= & 2x(x^2+2)^3+ 6x^3(x^2+2)^2 &\\[4pt]
f‘‘(x)= & 2\cdot(x^2+2)^3 + 2x\cdot3(x^2+2)^2\cdot2x+ 18x^2\cdot(x^2+2)^2\\[4pt]
&+\, 6x^3\cdot2(x^2+2)\cdot2x&\\[4pt]
= & 2(x^2+2)^3 + 12x^2(x^2+2)^2 + 18x^2(x^2+2)^2 \\[4pt]
&+\, 24x^4(x^2+2) &\\[4pt]
= & 2(x^2+2)^3 + 30x^2(x^2+2)^2 + 24x^6+48x^4 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f91fc879d896a10684d7bfe5dccc1e461fb5f67acdaac9913d08155d79d437ca_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & \dfrac{1}{12}x(3x^2+1)^4 \\[4pt]
f‘(x)= & \dfrac{1}{12}\cdot(3x^2+1)^4 + \dfrac{1}{12}x\cdot4(3x^2+1)^3\cdot6x \\[4pt]
= & \dfrac{1}{12}(3x^2+1)^4 + 2x^2(3x^2+1)^3 \\[4pt]
f‘‘(x)=& \dfrac{1}{3}(3x^2+1)^3\cdot6x+ 4x\cdot(3x^2+1)^3 \\[4pt]
&+\, 2x^2\cdot 3(3x^2+1)^2\cdot 6x \\[4pt]
= & 2x(3x^2+1)^3 + 4x(3x^2+1)^3 + 36x^3(3x^2+1)^2 &\\[4pt]
= & 6x(3x^2+1)^3 + 36x^3(3x^2+1)^2 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d4ba236ed8907736d64e50892a74bf108d4e961ac8532a80cd9ad6c0d92eb2c6_light.svg)
e)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (x^2+x)(x^3+x^2+x) &\\[4pt]
f‘(x)= & (2x+1)\cdot(x^3+x^2+x) + (x^2+x)\cdot(3x^2+2x+1) &\\[4pt]
= & 2x^4+2x^3+2x^2+x^3+x^2+x\\[4pt]
&+\,3x^4+2x^3+x^2+3x^3+2x^2+x &\\[4pt]
= & 5x^4+8x^3+6x^2+2x &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 20x^3+24x^2+12x+2 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c7400ec07bcd3d92dfb3c619ec5d57b0527bb6beedc778963e3c8f3771e49abf_light.svg)
f)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (2x+1)(4x+2)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 2\cdot (4x+2)^2 + (2x+1)\cdot 2(4x+2)\cdot 4 &\\[4pt]
= & 2(4x+2)^2 + 8(2x+1)(4x+2) &\\[4pt]
= & 2(4x+2)^2 + 8(8x^2+4x+4x+2) &\\[4pt]
= & 2(4x+2)^2 + 64x^2+64x+16 &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 4(4x+2)\cdot 4 +128x+64 &\\[4pt]
= & 64x+32 +128x+64 &\\[4pt]
= & 192x+96 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/027b26f37122b756d392eeb12aca3ecbe88d9266da10ac2d2e689ba42a0e391b_light.svg)
g)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & (3x+1)(2x^2+2)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 3\cdot(2x^2+2)^2 +(3x+1)\cdot 2(2x^2+2)\cdot4x &\\[4pt]
= & 3(2x^2+2)^2 + 8x(3x+1)(2x^2+2) &\\[4pt]
= & 3(2x^2+2)^2 + 8x(6x^3+6x+2x^2+2) &\\[4pt]
= & 3(2x^2+2)^2 + 48x^4+48x^2 + 16x^3+16x &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 6(2x^2+2)\cdot 4x + 192x^3+96x+48x^2+16 &\\[4pt]
= & 48x^3+48x+ 192x^3+96x+48x^2+16 &\\[4pt]
= & 240x^3 + 48x^2 + 144x + 16 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/373084af1cc92979f03929c611cf39cd6d579fe021db275c3a415339d85e2afa_light.svg)
h)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)= & 4ax\cdot(x-a)^2 &\\[4pt]
f‘(x)= & 4a\cdot(x-a)^2+2(x-a)\cdot1\cdot4ax &\\[4pt]
= & 4a\cdot(x-a)^2+8ax(x-a) &\\[4pt]
f‘‘(x)=& 8a\cdot(x-a)+8a(x-a)+8ax\cdot1 &\\[4pt]
= & 16a(x-a)+8ax &\\[4pt]
= & 24ax-16a^2 &\\[4pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3f9cfa8f62d052ee38ae998b883f1164f7f286dab5c1f10e49a07859e133ee8f_light.svg)
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