Funktionen mit Parametern

Einführung

Wenn du eine Funktion mit einem Parameter gegeben hast, kannst du die Kurvendiskussion so durchführen, wie wenn du die Funktion ohne Parameter gegeben hättest. Du kannst die Funktion auf folgenden Eigenschaften untersuchen:

Definitionsbereich
Nullstellen
Schnittpunkte mit der $y$ -Achse
Grenzwerte
Extrema
Wendepunkte
Symmetrie

Am einfachsten ist es, wenn du bei den Rechnungen den Parameter wie eine Zahl behandelst.

Beispiel

$f(x) = 2x^2-k$

1. Schritt: Definitionsbereich

Die Funktion hat keine Definitionslücken.

Es gilt: $D_f=\mathbb{R}$

2. Schritt: Nullstellen

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-k&=& 0 &\quad \scriptsize \mid +k\; \\[5pt] 2x^2&=& k &\quad \scriptsize \mid :2\; \\[5pt] x^2&=& \frac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid \sqrt\; \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm\sqrt\frac{k}{2} \end{array}$

Beachte, dass die Wurzel für $k\lt 0$ negativ wird. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Graph der Funktion hat für $k\lt 0$ somit keine Nullstellen.

Für $k\gt 0$ schneidet der Graph der Funktion die $x$ -Achse in den Punkten $N_1\left(-\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$ und $N_2\left(\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$ .

3. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^2-k\\[5pt] f(0)&=& 2\cdot0-k \\[5pt] f(0)&=& -k \end{array}$

Der Graph der Funktion schneidet die $y$ -Achse im Punkt $P(0\mid-k)$ .

4. Schritt: Grenzwert

Den Grenzwert einer Funktion berechnest du mit dem Limes. Untersuche die Funktion $f$ für $x\to\pm\infty$ .

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\pm\infty}2x^2-k\\[5pt] &=&\infty \end{array}$

5. Schritt: Extrema

Hier kannst du auch so vorgehen, wie wenn du eine Funktion ohne Parameter gegeben hättest.

$f‘(x)= 4x$

Notwendiges Kriterium:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 0 \\[5pt] 4x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

Hinreichendes Kriterium:

$f‘‘(x)=4\gt 0$

Die Funktion hat im Punkt $(0 \mid -k)$ ein Minimum.

6. Schritt: Wendepunkt

Die zweite Ableitung der Funktion lautet: $f‘‘(x)=4$

Somit hat der Graph der Funktion keinen Wendepunkt.

7. Schritt: Symmetrie

Prüfe, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& 2\cdot(-x)^2-k \\[5pt] &=& 2x^2-k\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$

Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur $y$ -Achse.

Funktionsuntersuchung mit Parametern

$f_t$ ist eine ganzrationale Funktion und besitzt als solche keine Definitionslücken. Damit gilt für den Definitionsbereich: $D=\mathbb R$ .

Die Schaubilder von $f_t$ sind achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, da $f_t(-x)=t(-x)^2+1\\=tx^2+1=f_t(x)$
ist. Dies gilt unabhängig von $t$ , also die Schaubilder aller Funktionen der Schar.

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit der $x$ -Achse

Setze $f_t(x)=0$ :

$\begin{array}{rll} tx^2+1&=&0&\scriptsize{\mid\;-1}\\ tx^2&=&-1&\scriptsize{\mid\;:t}\\ x^2&=&-\dfrac{1}{t}&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{-\dfrac{1}{t}}\\ \end{array}$

Betrachte die Diskriminante $-\dfrac{1}{t}$ .
Aus diesem Ausdruck kann nur die Wurzel gezogen werden, wenn $t < 0$ ist, andernfalls nicht. Damit folgt:

Für $t > 0$ besitzen die Schaubilder von $f_t$ keinen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.

Für $t < 0$ schneiden die Schaubilder von $f_t$ die $x$ -Achse in Punkten $N_{1}\left(-\sqrt{-\dfrac{1}{t}}\mid0\right)$ und $N_{2}\left(\sqrt{-\dfrac{1}{t}}\mid0\right)$ .

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$ -Achse

Berechne $f_t(0)$ :

$f_t(0)=t\cdot0+1=1$ . Damit folgt der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse: $Q(0\mid 1)$ .

Schritt 1: Ableitungen bestimmen

$\begin{array}{rll} f‘(t)&=&2tx\\ f‘‘(t)&=&2t\\ \end{array}$

Schritt 2: Notwendiges Kriterium für Extremstellen

Das notwendige Kriterium lautet: $f_t‘(x_E)=0$

$\begin{array}{rll} 2tx&=&0&\scriptsize{\mid\;:2t}\\ x&=&0\\ \end{array}$

Schritt 3: Hinreichendes Kriterium

Mit dem hinreichende Kriterium kannst du überprüfen, ob tatsächlich eine Extremstelle vorliegt. Außerdem kannst du die Art der Extremstelle bestimmen.

$f_t‘‘(0)=2t$ .

Hier ist eine Fallunterscheidung zu treffen:

Ist $t > 0$ , so ist $f_t‘‘(0)=2t > 0$ und damit liegt ein Minimum vor.
Ist $t < 0$ , so ist $f_t‘‘(0)=2t < 0$ und damit liegt ein Maximum vor.

Schaubilder von Funktionen mit Parametern

$f_t(x)=x+2t$

$\blacktriangleright$ Einfluss des Parameters beschreiben

Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind parallele Geraden mit der Steigung $m=1$ . Durch Variation von $t$ wird das Schaubild entlang der $y$ -Achse verschoben.
Aufgrund dieser Parallelität haben die Schaubilder keine gemeinsamen Punkte.
Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;0;1$ .

Koordinatensystem mit zwei diagonalen Linien und Achsenbezeichnungen für x und y.

$\blacktriangleright$ Wert für $t$ bestimmen

Das entsprechende $t$ für die Punkte erhält man durch Einsetzen der Koordinaten Punkte in die Funktionsgleichung von $f_t$ .

$P\left(5\mid 1\right)$

$\begin{array}{rll} f_t(5)=5+2t&=&1\\ 2t&=&-4 \\ t&=&-2 \\ f_{-2}(x)&=&x-4 \\ \end{array}$

$Q\left(2\mid 3\right)$

$\begin{array}{rll} f_t(2)=2+2t&=&3\\ 2t&=&1\\ t&=&\frac{1}{2} \\ f_{0,5}(x)&=&x+1 \\ \end{array}$

Das Schaubild von $f_{-2}$ verläuft durch $P$ , das von $f_{0{,}5}$ durch $Q$ .

$f_t(x)=tx+1$

$\blacktriangleright$ Einfluss des Parameters beschreiben

Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind Geraden mit der Steigung $m=t$ . Durch Variation von $t$ wird das Schaubild von $f_t$ steiler oder flacher.
Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;0;1$ .

Koordinatensystem mit x- und y-Achse, die sich im Ursprung schneiden.

$\blacktriangleright$ Gemeinsamen Punkt bestimmen

Wähle zwei beliebige Werte für $t$ , z.B. $t=0$ und $t=1$ und berechne den Schnittpunkt der zugehörigen Schaubilder von $f_0$ und $f_1$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Zeige anschließend durch eine Punktprobe, dass dieser Punkt auf allen Geraden der Schar liegt.

$\begin{array}{rll} f_0(x)&=&f_1(x)\\ 1&=&x+1&\scriptsize{\mid\;-1}\\ 0&=&x\\ \end{array}$

Setze $x=0$ ein in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B.: $f_1(0)=0+1=1$ . Damit folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid1\right)$ .

Setze nun die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t$ ein und zeige so, dass $S$ auf allen Geraden der Schar liegt:

$\begin{array}{rll} f_t(0)&=&t\cdot0+1\\ &=&1&\scriptsize{\text{ wahre Aussage}}\\ \end{array}$

Damit ist gezeigt: Alle Geraden der Schar verlaufen durch den Punkt $S\left(0\mid1\right)$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $t$ bestimmen

$P\left(1\mid 4\right)$

$\begin{array}{rll} f_t(1)=t+1&=&4 \\ t&=&3 \\ f_{3}(x)&=&3x+1 \\ \end{array}$ $Q\left(3\mid -2\right)$

$\begin{array}{rll} f_t(3)=3t+1&=&-2\\ 3t&=&-3\\ t&=&-1 \\ f_{-1}(x)&=&-x+1\\ \end{array}$ Das Schaubild von $f_3$ verläuft durch $P$ , das von $f_{-1}$ durch $Q$ .

$f_t(x)=-tx^2+1$

$\blacktriangleright$ Einfluss des Parameters beschreiben

Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind Parabeln mit dem $y$ -Achsenabschnitt $b=1$ , d.h. sie alle schneiden die $y$ -Achse im Punkt $\left(0\mid 1\right)$ . Dies ist auch der gemeinsame Punkt (Rechnung siehe unten).
Je nach Wahl von $t$ ist das Schaubild von $f_t$ entweder nach oben $(t < 0)$ oder nach unten $(t > 0)$ geöffnet. Außerdem wird das Schaubild durch $t$ gestaucht oder gestreckt. Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;\frac{1}{2};1$ .

Graph einer Parabel im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

$\blacktriangleright$ Gemeinsamen Punkt bestimmen

Wähle zwei beliebige Werte für $t$ , z.B. $t=0$ und $t=1$ und berechne den Schnittpunkt der zugehörigen Schaubilder von $f_0$ und $f_1$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Zeige anschließend durch eine Punktprobe dass dieser Punkt auf allen Geraden der Schar liegt.

$\begin{array}{rll} f_0(x)&=&f_1(x)\\ 1&=&-x^2+1&\scriptsize{\mid\;-1}\\ 0&=&-x^2&\\ x&=&0\\ \end{array}$

Setze $x=0$ ein in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B.: $f_1(0)=0+1=1$ . Damit folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid1\right)$ .

Setze nun die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t$ ein und zeige so, dass $S$ auf allen Geraden der Schar liegt:

$\begin{array}{rll} f_t(0)&=&-t\cdot0+1\\ &=&1&\scriptsize{\text{ wahre Aussage}}\\ \end{array}$

Damit ist gezeigt: Alle Geraden der Schar verlaufen durch den Punkt $S\left(0\mid1\right)$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $t$ bestimmen

$P\left(2\mid 5\right)$

$\begin{array}{rll} f(2)=-4t+1&=&5 \\ -4t&=&4 \\ t&=&-1 \\ f_{-1}(x)&=&x^2+1 \\ \end{array}$ $Q\left(1\mid -4\right)$

$\begin{array}{rll} f(1)=-t+1&=&-4\\ -t&=&-5\\ t&=&5 \\ f_{5}(x)&=&-5x^2+1\\ \end{array}$ Das Schaubild von $f_{-1}$ verläuft durch $P$ , das von $f_5$ durch $Q$ .

$f_t(x)=2tx+2t+1$

$\blacktriangleright$ Einfluss des Parameters beschreiben

Bei solchen Funktionen, bei denen der Parameter $t$ mehrmals im Funktionsterm vorkommt kann es nützlich sein, die Funktion nicht als ganzes sondern in kleineren Teilen zu betrachten.
Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind Geraden mit der Steigung $m=2t$ . Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse kann durch Einsetzen von $x=0$ bestimmt werden: $\left(0\mid 2t+1\right)$ .
Durch Variation von $t$ ändert sich also sowohl die Steigung als auch der $y$ -Achsenabschnitt des Schaubildes von $f_t$ .
Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;\frac{1}{2};1$ .

Graf mit x- und y-Achse, der zwei Linien zeigt, die sich schneiden.

$\blacktriangleright$ Gemeinsamen Punkt bestimmen

$\begin{array}{rll} f_0(x)&=&f_1(x)\\ 1&=&2x+3&\scriptsize{\mid\;-3}\\ -2&=&2x&\scriptsize{\mid\;:2}\\ x&=&-1\\ \end{array}$

Setze $x=-1$ ein in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B.: $f_1(-1)=-2+3=1$ . Damit folgt der Schnittpunkt $S\left(-1\mid1\right)$ .

Setze nun die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t$ ein und zeige so, dass $S$ auf allen Geraden der Schar liegt:

$\begin{array}{rll} f_t(-1)&=&2t\cdot ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ist gezeigt: Alle Geraden der Schar verlaufen durch den Punkt $S\left(-1\mid1\right)$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $t$ bestimmen

$P\left(1\mid 3\right)$

$\begin{array}{rll} f_t(1)=2t+2t+1&=&3 \\ 4t &=&2 \\ t&=&\frac{1}{2} \\ f_{0,5}&=&x+2 \\ \end{array}$ $Q\left(0\mid 1\right)$

$\begin{array}{rll} f_t(0)=2t+1&=&1\\ t&=&0\\ f_0&=&1 \\ \end{array}$ Das Schaubild von $f_{0{,}5}$ verläuft durch $P$ , das von $f_0$ durch $Q$ .

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