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Funktionen mit Parametern

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Einführung

Wenn du eine Funktion mit einem Parameter gegeben hast, kannst du die Kurvendiskussion so durchführen, wie wenn du die Funktion ohne Parameter gegeben hättest. Du kannst die Funktion auf folgenden Eigenschaften untersuchen:
  • Definitionsbereich
  • Nullstellen
  • Schnittpunkte mit der $y$-Achse
  • Grenzwerte
  • Extrema
  • Wendepunkte
  • Symmetrie
Am einfachsten ist es, wenn du bei den Rechnungen den Parameter wie eine Zahl behandelst.

Beispiel

$f(x) = 2x^2-k$
1. Schritt: Definitionsbereich
Die Funktion hat keine Definitionslücken.
Es gilt: $D_f=\mathbb{R}$
2. Schritt: Nullstellen
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-k&=& 0 &\quad \scriptsize \mid +k\; \\[5pt] 2x^2&=& k &\quad \scriptsize \mid :2\; \\[5pt] x^2&=& \frac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid \sqrt\; \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm\sqrt\frac{k}{2} \end{array}$
Beachte, dass die Wurzel für $k<0$ negativ wird. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Graph der Funktion hat für $k<0$ somit keine Nullstellen.
Für $k>0$ schneidet der Graph der Funktion die $x$-Achse in den Punkten $N_1\left(-\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$ und $N_2\left(\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$.
3. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^2-k\\[5pt] f(0)&=& 2\cdot0-k \\[5pt] f(0)&=& -k \end{array}$
Der Graph der Funktion schneidet die $y$-Achse im Punkt $P(0\mid-k)$.
4. Schritt: Grenzwert
Den Grenzwert einer Funktion berechnest du mit dem Limes. Untersuche die Funktion $f$ für $x\to\pm\infty$.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\pm\infty}2x^2-k\\[5pt] &=&\infty \end{array}$
5. Schritt: Extrema
Hier kannst du auch so vorgehen, wie wenn du eine Funktion ohne Parameter gegeben hättest.
$f'(x)= 4x$
Notwendiges Kriterium:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] 4x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
Hinreichendes Kriterium:
$f''(x)=4>0$
Die Funktion hat im Punkt $(0 \mid -k)$ ein Minimum.
6. Schritt: Wendepunkt
Die zweite Ableitung der Funktion lautet: $f''(x)=4$
Somit hat der Graph der Funktion keinen Wendepunkt.
7. Schritt: Symmetrie
Prüfe, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& 2\cdot(-x)^2-k \\[5pt] &=& 2x^2-k\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse.
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