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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Funktionsgleichungen ...
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Ganzrationale Funktio...
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Gerade - Gerade
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Funktionen mit Parametern

Spickzettel
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Einführung

Wenn du eine Funktion mit einem Parameter gegeben hast, kannst du die Kurvendiskussion so durchführen, wie wenn du die Funktion ohne Parameter gegeben hättest. Du kannst die Funktion auf folgenden Eigenschaften untersuchen:
  • Definitionsbereich
  • Nullstellen
  • Schnittpunkte mit der $y$-Achse
  • Grenzwerte
  • Extrema
  • Wendepunkte
  • Symmetrie
Am einfachsten ist es, wenn du bei den Rechnungen den Parameter wie eine Zahl behandelst.

Beispiel

$f(x) = 2x^2-k$
1. Schritt: Definitionsbereich
Die Funktion hat keine Definitionslücken.
Es gilt: $D_f=\mathbb{R}$
2. Schritt: Nullstellen
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-k&=& 0 &\quad \scriptsize \mid +k\; \\[5pt] 2x^2&=& k &\quad \scriptsize \mid :2\; \\[5pt] x^2&=& \frac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid \sqrt\; \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm\sqrt\frac{k}{2} \end{array}$
Beachte, dass die Wurzel für $k<0$ negativ wird. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Graph der Funktion hat für $k<0$ somit keine Nullstellen.
Für $k>0$ schneidet der Graph der Funktion die $x$-Achse in den Punkten $N_1\left(-\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$ und $N_2\left(\sqrt\frac{k}{2}\mid0\right)$.
3. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$-Achse
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^2-k\\[5pt] f(0)&=& 2\cdot0-k \\[5pt] f(0)&=& -k \end{array}$
Der Graph der Funktion schneidet die $y$-Achse im Punkt $P(0\mid-k)$.
4. Schritt: Grenzwert
Den Grenzwert einer Funktion berechnest du mit dem Limes. Untersuche die Funktion $f$ für $x\to\pm\infty$.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)&=& \lim\limits_{x\to\pm\infty}2x^2-k\\[5pt] &=&\infty \end{array}$
5. Schritt: Extrema
Hier kannst du auch so vorgehen, wie wenn du eine Funktion ohne Parameter gegeben hättest.
$f'(x)= 4x$
Notwendiges Kriterium:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] 4x&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
Hinreichendes Kriterium:
$f''(x)=4>0$
Die Funktion hat im Punkt $(0 \mid -k)$ ein Minimum.
6. Schritt: Wendepunkt
Die zweite Ableitung der Funktion lautet: $f''(x)=4$
Somit hat der Graph der Funktion keinen Wendepunkt.
7. Schritt: Symmetrie
Prüfe, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& 2\cdot(-x)^2-k \\[5pt] &=& 2x^2-k\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse.
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Aufgaben
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1.
Funktionsuntersuchung mit Parametern
Sei $f_t$ mit $f_t(x)=tx^2+1$ eine Funktionenschar, $t\neq0$. Treffe Aussagen über
a)
den Definitionsbereich von $f_t$
b)
die Symmetrie der Schaubilder von $f_t$
c)
Schnittpunkte mit den Achsen der Schaubilder von $f_t$
d)
Extremstellen von $f_t$
2.
Schaubilder von Funktionen mit Parametern
Gegeben sind die folgenden Funktionsscharen.
Beschreibe die Veränderung des Schaubildes bei einer Änderung von $t$.
Haben die Schaubilder gemeinsame Punkte? (Tipp: Skizziere dir einige Schaubilder für unterschiedliche Werte von $t$)
Für welches $t$ geht das Schaubild von $f$ durch die Punkte $P$ und $Q$?
b)
$f_t(x)=tx+1$
$P\left(1\mid 4\right)$ und $Q\left(3\mid -2\right)$
d)
$f_t(x)=2tx+2t+1$
$P\left(1\mid 3\right)$ und $Q\left(0\mid 1\right)$
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Lösungen
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1.
Funktionsuntersuchung mit Parametern
a)
$f_t$ ist eine ganzrationale Funktion und besitzt als solche keine Definitionslücken. Damit gilt für den Definitionsbereich: $D=\mathbb R$.
b)
Die Schaubilder von $f_t$ sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da $f_t(-x)=t(-x)^2+1\\=tx^2+1=f_t(x)$
ist. Dies gilt unabhängig von $t$, also die Schaubilder aller Funktionen der Schar.
c)
$\blacktriangleright$Schnittpunkte mit der $x$-Achse
Setze $f_t(x)=0$:
$\begin{array}{rll} tx^2+1&=&0&\scriptsize{\mid\;-1}\\ tx^2&=&-1&\scriptsize{\mid\;:t}\\ x^2&=&-\dfrac{1}{t}&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{-\dfrac{1}{t}}\\ \end{array}$
Betrachte die Diskriminante $-\dfrac{1}{t}$.
Aus diesem Ausdruck kann nur die Wurzel gezogen werden, wenn $t < 0$ ist, andernfalls nicht. Damit folgt:
Für $t > 0$ besitzen die Schaubilder von $f_t$ keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
Für $t < 0$ schneiden die Schaubilder von $f_t$ die $x$-Achse in Punkten $N_{1}\left(-\sqrt{-\dfrac{1}{t}}\mid0\right)$ und $N_{2}\left(\sqrt{-\dfrac{1}{t}}\mid0\right)$.
$\blacktriangleright$Schnittpunkt mit der $y$-Achse
Berechne $f_t(0)$:
$f_t(0)=t\cdot0+1=1$. Damit folgt der Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $Q(0\mid 1)$.
d)
Schritt 1: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f'(t)&=&2tx\\ f''(t)&=&2t\\ \end{array}$
Schritt 2: Notwendiges Kriterium für Extremstellen
Das notwendige Kriterium lautet: $f_t'(x_E)=0$
$\begin{array}{rll} 2tx&=&0&\scriptsize{\mid\;:2t}\\ x&=&0\\ \end{array}$
Schritt 3: Hinreichendes Kriterium
Mit dem hinreichende Kriterium kannst du überprüfen, ob tatsächlich eine Extremstelle vorliegt. Außerdem kannst du die Art der Extremstelle bestimmen.
$f_t''(0)=2t$.
Hier ist eine Fallunterscheidung zu treffen:
  • Ist $t > 0$, so ist $f_t''(0)=2t > 0$ und damit liegt ein Minimum vor.
  • Ist $t < 0$, so ist $f_t''(0)=2t < 0$ und damit liegt ein Maximum vor.
2.
Schaubilder von Funktionen mit Parametern
a)
$f_t(x)=x+2t$
$\blacktriangleright$Einfluss des Parameters beschreiben
Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind parallele Geraden mit der Steigung $m=1$. Durch Variation von $t$ wird das Schaubild entlang der $y$-Achse verschoben.
Aufgrund dieser Parallelität haben die Schaubilder keine gemeinsamen Punkte.
Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;0;1$.
$\blacktriangleright$Wert für $t$ bestimmen
Das entsprechende $t$ für die Punkte erhält man durch Einsetzen der Koordinaten Punkte in die Funktionsgleichung von $f_t$.
$P\left(5\mid 1\right)$
$\begin{array}{rll} f_t(5)=5+2t&=&1\\ 2t&=&-4 \\ t&=&-2 \\ f_{-2}(x)&=&x-4 \\ \end{array}$
$Q\left(2\mid 3\right)$
$\begin{array}{rll} f_t(2)=2+2t&=&3\\ 2t&=&1\\ t&=&\frac{1}{2} \\ f_{0,5}(x)&=&x+1 \\ \end{array}$
Das Schaubild von $f_{-2}$ verläuft durch $P$, das von $f_{0{,}5}$ durch $Q$.
b)
$f_t(x)=tx+1$
$\blacktriangleright$Einfluss des Parameters beschreiben
Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind Geraden mit der Steigung $m=t$. Durch Variation von $t$ wird das Schaubild von $f_t$ steiler oder flacher.
Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;0;1$.
$\blacktriangleright$Gemeinsamen Punkt bestimmen
Wähle zwei beliebige Werte für $t$, z.B. $t=0$ und $t=1$ und berechne den Schnittpunkt der zugehörigen Schaubilder von $f_0$ und $f_1$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Zeige anschließend durch eine Punktprobe, dass dieser Punkt auf allen Geraden der Schar liegt.
$\begin{array}{rll} f_0(x)&=&f_1(x)\\ 1&=&x+1&\scriptsize{\mid\;-1}\\ 0&=&x\\ \end{array}$
Setze $x=0$ ein in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B.: $f_1(0)=0+1=1$. Damit folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid1\right)$.
Setze nun die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t$ ein und zeige so, dass $S$ auf allen Geraden der Schar liegt:
$\begin{array}{rll} f_t(0)&=&t\cdot0+1\\ &=&1&\scriptsize{\text{ wahre Aussage}}\\ \end{array}$
Damit ist gezeigt: Alle Geraden der Schar verlaufen durch den Punkt $S\left(0\mid1\right)$.
$\blacktriangleright$Wert für $t$ bestimmen
$P\left(1\mid 4\right)$
$\begin{array}{rll} f_t(1)=t+1&=&4 \\ t&=&3 \\ f_{3}(x)&=&3x+1 \\ \end{array}$ $Q\left(3\mid -2\right)$
$\begin{array}{rll} f_t(3)=3t+1&=&-2\\ 3t&=&-3\\ t&=&-1 \\ f_{-1}(x)&=&-x+1\\ \end{array}$ Das Schaubild von $f_3$ verläuft durch $P$, das von $f_{-1}$ durch $Q$.
c)
$f_t(x)=-tx^2+1$
$\blacktriangleright$Einfluss des Parameters beschreiben
Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind Parabeln mit dem $y$-Achsenabschnitt $b=1$, d.h. sie alle schneiden die $y$-Achse im Punkt $\left(0\mid 1\right)$. Dies ist auch der gemeinsame Punkt (Rechnung siehe unten).
Je nach Wahl von $t$ ist das Schaubild von $f_t$ entweder nach oben $(t < 0)$ oder nach unten $(t > 0)$ geöffnet. Außerdem wird das Schaubild durch $t$ gestaucht oder gestreckt. Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;\frac{1}{2};1$.
$\blacktriangleright$Gemeinsamen Punkt bestimmen
Wähle zwei beliebige Werte für $t$, z.B. $t=0$ und $t=1$ und berechne den Schnittpunkt der zugehörigen Schaubilder von $f_0$ und $f_1$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Zeige anschließend durch eine Punktprobe dass dieser Punkt auf allen Geraden der Schar liegt.
$\begin{array}{rll} f_0(x)&=&f_1(x)\\ 1&=&-x^2+1&\scriptsize{\mid\;-1}\\ 0&=&-x^2&\\ x&=&0\\ \end{array}$
Setze $x=0$ ein in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B.: $f_1(0)=0+1=1$. Damit folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid1\right)$.
Setze nun die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t$ ein und zeige so, dass $S$ auf allen Geraden der Schar liegt:
$\begin{array}{rll} f_t(0)&=&-t\cdot0+1\\ &=&1&\scriptsize{\text{ wahre Aussage}}\\ \end{array}$
Damit ist gezeigt: Alle Geraden der Schar verlaufen durch den Punkt $S\left(0\mid1\right)$.
$\blacktriangleright$Wert für $t$ bestimmen
$P\left(2\mid 5\right)$
$\begin{array}{rll} f(2)=-4t+1&=&5 \\ -4t&=&4 \\ t&=&-1 \\ f_{-1}(x)&=&x^2+1 \\ \end{array}$ $Q\left(1\mid -4\right)$
$\begin{array}{rll} f(1)=-t+1&=&-4\\ -t&=&-5\\ t&=&5 \\ f_{5}(x)&=&-5x^2+1\\ \end{array}$ Das Schaubild von $f_{-1}$ verläuft durch $P$, das von $f_5$ durch $Q$.
d)
$f_t(x)=2tx+2t+1$
$\blacktriangleright$Einfluss des Parameters beschreiben
Bei solchen Funktionen, bei denen der Parameter $t$ mehrmals im Funktionsterm vorkommt kann es nützlich sein, die Funktion nicht als ganzes sondern in kleineren Teilen zu betrachten.
Die Schaubilder dieser Funktionenschar sind Geraden mit der Steigung $m=2t$. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann durch Einsetzen von $x=0$ bestimmt werden: $\left(0\mid 2t+1\right)$.
Durch Variation von $t$ ändert sich also sowohl die Steigung als auch der $y$-Achsenabschnitt des Schaubildes von $f_t$.
Die Abbildung unten zeigt die Schaubilder von $f_t$ für $t=-1;\frac{1}{2};1$.
$\blacktriangleright$Gemeinsamen Punkt bestimmen
Wähle zwei beliebige Werte für $t$, z.B. $t=0$ und $t=1$ und berechne den Schnittpunkt der zugehörigen Schaubilder von $f_0$ und $f_1$ durch Gleichsetzen der Funktionsterme. Zeige anschließend durch eine Punktprobe, dass dieser Punkt auf allen Geraden der Schar liegt.
$\begin{array}{rll} f_0(x)&=&f_1(x)\\ 1&=&2x+3&\scriptsize{\mid\;-3}\\ -2&=&2x&\scriptsize{\mid\;:2}\\ x&=&-1\\ \end{array}$
Setze $x=-1$ ein in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B.: $f_1(-1)=-2+3=1$. Damit folgt der Schnittpunkt $S\left(-1\mid1\right)$.
Setze nun die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t$ ein und zeige so, dass $S$ auf allen Geraden der Schar liegt:
$\begin{array}{rll} f_t(-1)&=&2t\cdot(-1)+2t+1\\ &=&-2t+2t+1\\ &=&1&\scriptsize{\text{ wahre Aussage}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_t(-1)&=&2t\cdot … \end{array}$
Damit ist gezeigt: Alle Geraden der Schar verlaufen durch den Punkt $S\left(-1\mid1\right)$.
$\blacktriangleright$Wert für $t$ bestimmen
$P\left(1\mid 3\right)$
$\begin{array}{rll} f_t(1)=2t+2t+1&=&3 \\ 4t &=&2 \\ t&=&\frac{1}{2} \\ f_{0,5}&=&x+2 \\ \end{array}$ $Q\left(0\mid 1\right)$
$\begin{array}{rll} f_t(0)=2t+1&=&1\\ t&=&0\\ f_0&=&1 \\ \end{array}$ Das Schaubild von $f_{0{,}5}$ verläuft durch $P$, das von $f_0$ durch $Q$.
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