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Aufgaben
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1.
Gegeben sind die Punkte $A(-3\mid-2\mid1)$, $B(-1\mid0\mid5)$ und $C(6\mid0\mid-1)$.
Liegen diese drei Punkte in einer
Geraden?
Welcher Punkt $D$ auf der Geraden durch
$A$ und $C$ ist von $A$ und $B$ gleich weit entfernt?
2.
Gegeben sind die Punkte $A(-5\mid-2\mid1)$, $B(0\mid3\mid-5)$ und $C(2\mid1\mid-4)$.
a)
Die Punkte $A$,$B$ und $C$ liegen in der Ebene $E$. Gib eine Koordinatengleichung von $E$ an.
b)
Bestimme den Abstand von $E$ zum Ursprung.
3.
Gegeben sind die Ebene $E$ und der Punkt $T$:
$E:\;$ $\left[ {\overrightarrow{x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ { - 6} \\ \end{array}} \right)} \right] \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ { - 1} \\ \end{array}} \right) = 0$
$\hspace{1cm} T(1 \mid -5 \mid -9)$
Berechne den Abstand des Punktes $T$
zur Ebene $E$.
4.
Die Geraden $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 3\\ \end{array}\right)$ und $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 2\\ -7\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$ schneiden sich in einem Punkt $S$.
Berechne den Abstand von $S$ zur Ebene $E:2x_1+x_3=4$.
5.
Welcher Punkt auf $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 14\\ 7\\ \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$ hat den Abstand $4$ LE von
$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)$?
6.
Gegeben ist eine Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)$.
a)
Zeige, dass der Punkt $A\left(10 \mid 1 \mid -1\right)$ auf $g$ liegt.
b)
Eine weitere Gerade verläuft durch die Punkte $P\left(9 \mid -2 \mid 4\right)$ und $Q\left(14 \mid 8 \mid -1\right)$.
Bestimme den Abstand von $A$ zu
dieser Geraden.
7.
Gegeben ist eine Ebene $E:2x_1+2x_2-x_3=4$, sowie ein Punkt $P\left(k \mid 5 \mid k\right)$.
Bestimme $k$ so, dass $P$ genau 3 LE von
$E$ entfernt ist.
8.
Bestimme den Inhalt des Dreiecks $ABC$:
9.
Berechne den Inhalt des Parallelogramms:
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1.
Gegeben sind die Punkte $A(-3 \mid -2 \mid 1)$, $B(-1 \mid 0 \mid 5)$ und $C(6 \mid 0 \mid -1)$.
$\blacktriangleright$ Untersuchen ob $A$, $B$, $C$ in einer Geraden liegen
1. Schritt: Aufstellen einer Geradengleichung $g$ durch $A$ und $C$
$g:\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
$g:\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -3\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{l} 6-(-3)\\ 0-(-2)\\ -1-1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -3\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r} 9\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)$
$g:\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{A}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
2. Schritt: Überprüfen ob $B$ auf $g$ liegt $\Rightarrow\overrightarrow{x}=B$
$g:\;\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 5\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -3\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r} 9\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rrll} -1=&-3&+&9s&\quad\Rightarrow\;s=\dfrac{2}{9}\\[5pt] 0=&-2&+&2s&\quad\Rightarrow\;s=1\\[5pt] 5=&1&-&2s&\quad\Rightarrow\;s=-2\\[5pt] \end{array}$
Es gibt kein $s$, sodass alle drei Gleichungen erfüllt sind. $B$ liegt somit nicht auf $g$ und damit liegen die drei Punkte $A$, $B$ und $C$ auch nicht in einer Geraden.
Skizze:
$\blacktriangleright$ Bestimmung des Punktes $D$
Alle Punkte, die von $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind, liegen in der Ebene $E$, die orthogonal zur Geraden durch $A$ und $B$ verläuft und durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft.
Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ ist ein Normalenvektor von $E$.
1. Schritt: Bestimmung des Mittelpunktes $M$ von $\overline{AB}$
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} -3\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{r} -1-(-3)\\ 0-(-2)\\ 5-1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -2\\ -1\\ 3\\ \end{array}\right)$   $\Rightarrow\;M(-2 \mid -1 \mid 3)$
$\Rightarrow\;M(-2 \mid -1 \mid 3)$
2. Schritt: Aufstellen einer Ebene von $E$
$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$   $\Rightarrow\;\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$   $\Rightarrow\;E$: $2x+2y+4z=d$
$M(-2 \mid -1 \mid 3)$ eingesetzt in $E$:
$d=2x+2y+4z$=$2 \cdot (-2) + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3$=$-4-2+12=6$
$\Rightarrow\;E$: $2x+2y+4z$=$6$
Der Punkt $D$ befindet sich auf der Geraden durch $A$ und $C$, also auf der Geraden $g$. $D$ ist der Schnittpunkt von $g$ und $E$.
3. Schritt: Bestimmung des Schnittpunkts $D$ von $g$ und $E$ ($g$ eingesetzt in $E$)
$2(-3+9s)+2(-2+2s)+4(1-2s)$=$6$ $\Rightarrow\; s=\dfrac{6}{7}$
$s=\dfrac{6}{7}$ eingesetzt in $g$ liefert den Punkt $D\left(\frac{33}{7} \mid -\frac{2}{7} \mid -\frac{5}{7}\right)$.
2.
a)
Gegeben $A(-5 \mid -2 \mid 1)$, $B(0 \mid 3 \mid -5)$ und $C(2 \mid 1 \mid -4)$.
Bestimmung einer Koordinatengleichung von $E$
$E:\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
$E:\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -5\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ 5\\ -6\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 7\\ 3\\ -5\\ \end{array}\right)$
$E:\;\overrightarrow{x}=$
Mit dem Kreuzprodukt berechnet man einen Normalenvektor von $E$:
$\left(\begin{array}{r} 5\\ 5\\ -6\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 7\\ 3\\ -5\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -7\\ -17\\ -20\\ \end{array}\right)=$$\overrightarrow{n}:(-1)=\begin{pmatrix}7\\17\\20\end{pmatrix}$
$\Rightarrow\;E:\;7x+17y+20z=d$
$A$ eingesetzt in $E$ liefert:
$E:\;7x+17y+20z=-49$
b)
Bestimmung des Abstandes von
$E$ zum Ursprung
HNF von $E$: $\dfrac{\left|7x+17y+20z+49\right|}{\sqrt{7^2+17^2+20^2}}$=$0$
$d(0;E)=\dfrac{\left|7\cdot0+17\cdot0+20\cdot0+49\right|}{\sqrt{7^2+17^2+20^2}}=\dfrac{49}{\sqrt{738}}\approx1,80$
$d(0;E)\approx1,80$
3.
Um den Abstand des Punktes $T(1 \mid -5 \mid -9)$ zur Ebene $E$ zu bestimmen benötigt man die HNF von $E$.
Bestimmung einer Koordinatenform
von $E$
$E:\;2x+3y-z=d$ mit dem Punkt $(3 \mid 4 \mid -6)$ eingesetzt ergibt sich:
$E:\;2\cdot3+3\cdot4-(-6)=d=24$   $\Rightarrow\;E:\; 2x+3y-z=24$
HNF von $E$: $\dfrac{\left|2x+3y-z-24\right|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}=0$.
$T$ eingesetzt liefert:
$\dfrac{\left|2\cdot1+3\cdot(-5)-(-9)-24\right|}{\sqrt{14}}=$ $\dfrac{\left|-28\right|}{\sqrt{14}}\approx7,5$
Der Punkt $T$ ist somit $7,5$ LE von $E$ entfernt.
4.
1. Schritt: Schnittpunkt der Geraden berechnen
Wir setzen die Geradengleichungen
gleich:
$\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 3\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 6\\ 2\\ -7\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$.
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrlll} Ⅰ&2&+&2r&=&6&&&\quad \Longrightarrow r=2\\[5pt] Ⅱ&&&4r&=&2&+&2s\\[5pt] Ⅲ&-1&+&3r&=&-7&+&4s\\[5pt] \hline Ⅰ&&&r&=&2\\[5pt] Ⅱ&&&8&=&2&+&2s&\quad \Longrightarrow s=3\\[5pt] Ⅲ&-1&+&6&=&-7&+&4s&\quad \Longrightarrow s=3 \end{array}$
$\begin{array}{lrlll} Ⅰ&2&+&2r&=&6 \end{array}$
Wird $s=3$ eingesetzt in $h$, so ergibt sich der Punkt $S\left(6 \mid 8 \mid 5\right)$.
2. Schritt: Hessesche Normalenform
von $E$ bestimmen
Wir bringen die Gleichung auf die Form $d=\dfrac{\left|ax_1+bx_2+cx_3-d\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$.
$d=\dfrac{\left|2x_1+x_3-4\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{\left|2x_1+x_3-4\right|}{\sqrt5}$
Wir setzen die Koordinaten von $S$ in die Gleichung ein und bestimmen somit den Abstand von $S$ zu $E$.
$d=\dfrac{\left|2\cdot6+5-4\right|}{\sqrt5}=\dfrac{13}{\sqrt5}\approx5,81$
5.
1. Schritt: Punkt auf $g$ bestimmen
Jeder Punkt $Q$ auf $g$ hat die Koordinaten $Q\left(-2-t \mid 14+2t \mid 7+t\right)$.
Wir bestimmen nun den Abstand von $Q$
zu $E$. Dazu bilden wir die Hessesche Normalenform von $E$.
2. Schritt: Normalenform von
$E$ bestimmen
Den Normalenvektor von $E$ bestimmen
wir über das Kreuzprodukt
der Spannvektoren.
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 2\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 0-(-2)\\ 2-(-2)\\ 4-0\\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 2\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 2\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)=$
Die Normalenform von $E$ lautet also $E:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)=0$.
Um die Hessesche Normalenform zu erhalten, bringen wir die Gleichung auf die Form $d=\left|\left[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right]\circ\dfrac{\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\right|$.
$d=\left|\,\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2^2+4^2+4^2}}\,\right|=\left|\,\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)\cdot\dfrac{1}{6}\,\right|$
$d=$
Wir setzen die Koordinaten von
$Q$ für $x$ ein. Der Abstand soll $d=4$ betragen:
$\begin{array}{lll} 4=\left|\,\left[\left(\begin{array}{r} -2-t\\ 14+2t\\ 7+t\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)\cdot\dfrac{1}{6}\,\right|\\[5pt] 4=\left|\,\begin{pmatrix}-3-t\\13+2t\\7+t\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{6}\,\right|\\[5pt] 4=\left|\,\left(-6-2t+52+8t+28+4t\right)\cdot\dfrac{1}{6}\,\right|\\[5pt] 4=\left|\,\left(74+10t\right)\cdot\dfrac{1}{6}\,\right|&\mid\;(\;)^2\\[5pt] 16=\left(\left(74+10t\right)\cdot\dfrac{1}{6}\right)^2\\[5pt] 16=\dfrac{1}{36}\cdot\left(74^2+1480t+100t^2\right)&\mid\;\cdot36\\[5pt] 576=100t^2+1480t+5476&\mid\;-576\\[5pt] 100t^2+1480t+4900=0&\mid\;:100\\[5pt] t^2+14,8t+49=0\\[5pt] t_{1,2}=-7,4\pm\sqrt{(7,4)^2-49}\\[5pt] t_{1,2}=-7,4\pm\sqrt{54,76-49}\\[5pt] t_{1,2}=-7,4\pm2,4\\[5pt] t_1=-5\\[5pt] t_2=-9,8 \end{array}$
$\ 4=$
Daraus ergeben sich die Punkte $Q_1\left(3 \mid 4 \mid 2\right)$ und $Q_2\left(7,8\mid-5,6\mid-2,8\right)$.
6.
Gegeben ist eine Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)$.
a)
Nachweisen, dass $A$ auf $g$ liegt: $A$ in $g$ einsetzen
$\left(\begin{array}{r} 10\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrlll} Ⅰ&10&=&1&+&3r&\quad \Longrightarrow r=3\\[5pt] Ⅱ&1&=&1\\[5pt] Ⅲ&-1&=&2&-&r&\quad \Longrightarrow r=3 \end{array}$
$\begin{array}{lrlll} Ⅰ&10&=&1&+&3r& \end{array}$
Für $r=3$ liegt $A$ auf $g$.
b)
Geradengleichung aufstellen
$\begin{array}{rll} h:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{P}+s\cdot\overrightarrow{PQ}\\[5pt] =&\left(\begin{array}{r} 9\\ -2\\ 4\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ 10\\ -5\\ \end{array}\right) \end{array}$
Jeder Punkt $T$ auf der Geraden $h$
hat die Koordinaten $T\left(9+5s \mid -2+10s \mid 4-5s\right)$.
Wir bestimmen zunächst den Verbindungsvektor von $A$ und $T$:
$\overrightarrow{AT}=\left(\begin{array}{r} 9+5s-10\\ -2+10s-1\\ 4-5s-(-1)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -1+5s\\ -3+10s\\ 5-5s\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{AT}=$
Dieser Verbindungsvektor soll
senkrecht zur Geradenstehen, sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden soll also Null ergeben:
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -1+5s\\ -3+10s\\ 5-5s\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ 10\\ -5\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&-5+25s-30+100s-25+25s\\[5pt] 0=&-60+150s&\quad\mid\; +60\\[5pt] 60=&150s&\quad\mid\; :150\\[5pt] 0,4=&s \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -1+5s\\ -3+10s\\ 5-5s\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ 10\\ -5\\ \end{array}\right)\\[5pt] \end{array}$
Für $s=0,4$ erhalten wir also den
Punkt $T$ auf $h$, der den kleinsten Abstand zu $A$ hat. Der Betrag des Verbindungsvektors von $T$ und $A$ gibt uns dann den Abstand des Punktes zur Geraden an.
$\left|\overrightarrow{AT}\right|=\left|\left(\begin{array}{r} -1+5\cdot0,4\\ -3+10\cdot0,4\\ 5-5\cdot0,4\\ \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$
$\left|\overrightarrow{AT}\right|=$
7.
Hessesche Normalenform
von $E$ bestimmen
Wir bringen die Gleichung auf die Form $d=\dfrac{\left|ax_1+bx_2+cx_3-d\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$.
$d=\dfrac{\left|2x_1+2x_2-x_3-4\right|}{\sqrt{4+4+1}}$ $=\dfrac{\left|2x_1+2x_2-x_3-4\right|}{3}$
Wir setzen die Koordinaten von $P$ ein.
Der Abstand soll $d=3$ betragen.
$\begin{array}{lll} 3=\dfrac{\left|2k+10-k-4\right|}{3}\\[5pt] 3=\dfrac{\left|k+6\right|}{3}&\quad\mid\; \cdot3\\[5pt] 9=\left|k+6\right|&\quad\mid\; (\;)^2\\[5pt] 81=(k+6)^2\\[5pt] 81=k^2+12k+36&\quad\mid\;-81\\[5pt] k^2+12k-45=&0\\[5pt] k_{1,2}=-6\pm\sqrt{6^2+45}\\[5pt] k_{1,2}=-6\pm\sqrt{36+45}\\[5pt] k_{1,2}=-6\pm\sqrt{81}\\[5pt] k_{1,2}=-6\pm9\\[5pt] k_1=3\\[5pt] k_2=-15 \end{array}$
$\begin{array}{lll} 3=\dfrac{\left|2k+10-k-4\right|}{3}\\[5pt] \end{array}$
Für $k=3$ und für $k=-15$ ist $P$ genau
3 LE von $E$ entfernt.
8.
Höhe bestimmen
Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet $A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$.
Wir benutzen $\overline{AB}$ als Grundseite.
Die Höhe $h$ steht folglich senkrecht
auf $\overline{AB}$ und verläuft durch $C$. Wir fällen
also das Lot von $C$ auf $\overline{AB}$.
1. Schritt: Gerade $g$ durch $A$ und $B$ bestimmen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\ =&\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 10\\ -10\\ 5\\ \end{array}\right) \end{array}$
2. Schritt: Lot von $C$ auf $g$ fällen
Jeder Punkt $Q$ auf $g$ hat die Koordinaten $Q\left(2+10r \mid 1-10r \mid 5r\right)$.
Wir bestimmen den Verbindungsvektor
von $Q$ und $C$:
$\overrightarrow{CQ}=\left(\begin{array}{r} 2+10r-6\\ 1-10r-7\\ 5r-10\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -4+10r\\ -6-10r\\ -10+5r\\ \end{array}\right)$
Der Vektor $\overrightarrow{CQ}$ soll senkrecht auf die Gerade $g$ stehen, sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor der Geraden soll also Null ergeben:
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -4+10r\\ -6-10r\\ -10+5r\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} 10\\ -10\\ 5\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&-40+100r+60+100r-50\end{array}$ $\begin{array}{rll} &+25r\\[5pt] 0=&-30+225r\quad\mid +30\\[5pt] 30=&225r\quad\mid :225\\[5pt] \frac{2}{15}=&r \end{array}$
Der Betrag von $\overrightarrow{CQ}$ ist die Höhe des Dreiecks:
$\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\left(\begin{array}{r} -4+10\cdot\frac{2}{15}\\ -6-10\cdot\frac{2}{15}\\ -10+5\cdot\frac{2}{15}\\ \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{r} -\frac{8}{3}\\ -\frac{22}{3}\\ -\frac{28}{3}\\ \end{array}\right)\right|=\sqrt{\left(-\frac{8}{3}\right)^2+\left(-\frac{22}{3}\right)^2+\left(-\frac{28}{3}\right)^2}=\sqrt{148}\approx12,17$
$\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\left(\begin{array}{r} -4+10\cdot\frac{2}{15}\\ -6-10\cdot\frac{2}{15}\\ -10+5\cdot\frac{2}{15}\\ \end{array}\right)\right|=$
Für den Flächeninhalt des
Dreiecks gilt also:
$A=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\sqrt{148}=$ $\frac{1}{2}\cdot\sqrt{100+100+25}\cdot\sqrt{148}=$ $\frac{1}{2}\cdot15\cdot\sqrt{148}\approx91,275$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt etwa $91,275$ FE.
9.
Höhe des Parallelogramms bestimmen
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms wird bestimmt mit der Formel $A=g\cdot h$. Wir benutzen die Seite $\overline{AB}$ als Grundfläche. Als Höhe benutzen wir den Abstand des Punktes $C$ zu der Geraden durch $A$ und $B$.
1. Schritt: Gerade $g$ durch $A$ und $B$ bestimmen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\ =&\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ -8\\ \end{array}\right) \end{array}$
2. Schritt: Abstand von $C$ zu $g$ bestimmen
Jeder Punkt $Q$ auf $g$ hat die Koordinaten $Q\left(1 \mid 4+4r \mid -8r\right)$. Wir bestimmen zunächst den Verbindungsvektor von $Q$ und $C$:
$\overrightarrow{CQ}=\left(\begin{array}{r} 1-1\\ 4+4r-7\\ -8r-(-1)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 0\\ -3+4r\\ 1-8r\\ \end{array}\right)$
Der Vektor $\overrightarrow{CQ}$ soll senkrecht zu $g$ verlaufen, sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von $g$ muss also Null ergeben:
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 0\\ -3+4r\\ 1-8r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ -8\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&-12+16r-8+64r\\[5pt] 0=&-20+80r&\quad\mid\; +20\\[5pt] 20=&80r&\quad\mid\; :80\\[5pt] \frac{1}{4}=&r \end{array}$
Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{CQ}$ ist die Höhe des Parallelogramms:
$\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ -2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt5$
Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt also:
$A$=$\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\sqrt5$=$\sqrt{16+64}\cdot\sqrt5$=$\sqrt{80}\cdot\sqrt{5}$=$\sqrt{400}=20 FE$
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