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Vektorprodukt

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Skalarprodukt, Orthogonalität

Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl, die zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zugeordnet wird:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2+a_3 \cdot b_3$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} $=$ a_1 \cdot b_1$+$a_2 \cdot b_2$+$a_3 \cdot b_3$
Zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ heißen orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn ihr Skalarprodukt Null ist:
$\vec{a}\circ \vec{b} = 0\quad \Leftrightarrow\quad \vec{a}\, \bot \,\vec{b}$
$\vec{a}\circ \vec{b} = 0\quad \Leftrightarrow\quad \vec{a}\, \bot \,\vec{b}$

Rechenregeln

  • $\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} =\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{a} $
  • $r \cdot \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} =r \cdot \left(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \right)$
  • $\overrightarrow{c} \circ \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) $=$ \overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{a} $+$ \overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{b}$

Beispiel

$\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix} = 2+4+6=12$

Kreuzprodukt

Mit dem Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt zweier Vektoren erhältst du einen Vektor, der orthogonal zu beiden Vektoren ist:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = $$…$

Beispiel

$\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 6\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot 5-3\cdot 4\\ 3\cdot 6-1\cdot 5 \\ 1\cdot 4-2\cdot 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\13\\-8 \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 6\\4\\5 \end{pmatrix} $
#vektoren
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