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Vektorprodukt

Spickzettel
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Skalarprodukt, Orthogonalität

Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl, die zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zugeordnet wird:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1+a_2 \cdot b_2+a_3 \cdot b_3$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} $=$ a_1 \cdot b_1$+$a_2 \cdot b_2$+$a_3 \cdot b_3$
Zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ heißen orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn ihr Skalarprodukt Null ist:
$\vec{a}\circ \vec{b} = 0\quad \Leftrightarrow\quad \vec{a}\, \bot \,\vec{b}$
$\vec{a}\circ \vec{b} = 0\quad \Leftrightarrow\quad \vec{a}\, \bot \,\vec{b}$

Rechenregeln

  • $\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} =\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{a} $
  • $r \cdot \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} =r \cdot \left(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \right)$
  • $\overrightarrow{c} \circ \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) $=$ \overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{a} $+$ \overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{b}$

Beispiel

$\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix} = 2+4+6=12$

Kreuzprodukt

Mit dem Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt zweier Vektoren erhältst du einen Vektor, der orthogonal zu beiden Vektoren ist:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = $$…$

Beispiel

$\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 6\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot 5-3\cdot 4\\ 3\cdot 6-1\cdot 5 \\ 1\cdot 4-2\cdot 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\13\\-8 \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 6\\4\\5 \end{pmatrix} $
#vektoren
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Aufgaben
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1.
Prüfe, ob folgende Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander stehen.
b)
$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$, $\quad$$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)$
d)
$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$, $\quad$$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)$
f)
$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$, $\quad$$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$
#vektoren
2.
Bestimme drei Vektoren, die orthogonal zu $\overrightarrow{v}$ sind.
b)
$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$
d)
$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$
f)
$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$
3.
Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Antwort.
a)
Es gibt zu jedem Vektor $\overrightarrow{v}$ einen Vektor, der nicht der Vektor $\overrightarrow{0}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ ist und der senkrecht auf $\overrightarrow{v}$ steht.
b)
Der Nullvektor $\overrightarrow{0}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ steht senkrecht auf jedem anderen Vektor.
c)
Mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt) lässt sich die Orthogonalität zweier Vektoren nachweisen.
d)
Wenn im dreidimensionalen Raum die drei Vektoren $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ jeweils senkrecht aufeinander stehen und keiner von ihnen der Nullvektor ist, so lässt sich noch ein vierter Vektor $\overrightarrow{x}$ finden, der nicht der Nullvektor ist und der wiederum senkrecht auf diesen drei Vektoren steht.
4.
Bestimme das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der beiden Vektoren.
b)
$\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 0\\ \end{array}\right)$, $\quad$$\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$
d)
$\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$, $\quad$$\overrightarrow{h}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 4\\ \end{array}\right)$
f)
$\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ -3\\ \end{array}\right)$, $\quad$$\overrightarrow{l}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 7\\ 1\\ \end{array}\right)$
5.
Beurteile die Aussagen und begründe deine Antwort.
a)
Mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ bestimmt man einen dritten Vektor, der sowohl senkrecht auf $\overrightarrow{u}$ als auch auf $\overrightarrow{v}$ steht.
b)
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren, die parallel zueinander sind, ergibt den Nullvektor.
c)
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) hat im Grunde die gleiche Funktion wie das Skalarprodukt.
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Lösungen
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1.
a)
Wir bilden das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -5\\ \end{array}\right)=2+3-5=0$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
b)
Wir bilden das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)=2+1-3=0$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
c)
Wir bilden das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)=2+2+2=6\neq0$
Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.
d)
Wir bilden das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)=0+0-3=-3\neq0$
Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.
e)
Wir bilden das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)=-2-2+0\neq0$
Die Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.
f)
Wir bilden das Skalarprodukt der beiden Vektoren:
$\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)=-3+0+3=0$
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.
#vektoren
2.
a)
Wir suchen drei Vektoren, deren Skalarprodukt mit $\overrightarrow{v}$ jeweils Null ergibt. Dafür gibt es unendlich viele Lösungen. Drei Beispiele sind:
$\overrightarrow{w}_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ \end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}_2\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$, $\overrightarrow{w}_3=\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ 0\\ \end{array}\right)$
b)
Hier wird es schon schwerer. Wir können den gesuchten Vektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ nennen und ein lineares Gleichungssystem aufstellen:
$\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad-a+2b+3c$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad2b+3c$=$a$
Wir wählen die Koordinaten $b$ und $c$ nun beliebig und rechnen $a$ nach der Gleichung oben aus. So erhalten wir z.B. die Vektoren:
Setze in $\overrightarrow{w}_1$ für $b$=1 und für $c$=1 ein. $\overrightarrow{w}_1=\left(\begin{array}{r} 5\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_2$ für $b$=2 und für $c$=1 ein. $\overrightarrow{w}_2\left(\begin{array}{r} 7\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_3$ für $b$=1 und für $c$=2 ein. $\overrightarrow{w}_3=\left(\begin{array}{r} 8\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$
c)
Wir nennen den gesuchten Vektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ und stellen ein lineares Gleichungssystem auf:
$\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad2a+3c$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad a$=$-\frac{3}{2}c$
Wir wählen die Koordinaten $b$ und $c$ nun beliebig und rechnen $a$ nach der Gleichung oben aus. $b$ ist in diesem Fall wirklich egal, jeder Wert funktioniert. So erhalten wir z.B. die Vektoren:
Setze in $\overrightarrow{w}_1$ für $b$=1 und für $c$=2 ein. $\overrightarrow{w}_1=\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_2$ für $b$=1 und für $c$=4 ein. $\overrightarrow{w}_2\left(\begin{array}{r} -6\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_3$ für $b$=1 und für $c$=-2 ein. $\overrightarrow{w}_3=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ -2\\ \end{array}\right)$
d)
Wir nennen den gesuchten Vektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ und stellen ein lineares Gleichungssystem auf:
$\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad4a+b+c$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad c$=$-4a-b$
Wir wählen die Koordinaten $a$ und $b$ nun beliebig und rechnen $c$ nach der Gleichung oben aus. So erhalten wir z.B. die Vektoren:
Setze in $\overrightarrow{w}_1$ für $a$=1 und für $b$=1 ein. $\overrightarrow{w}_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -5\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_2$ für $a$=1 und für $b$=2 ein. $\overrightarrow{w}_2\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -6\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_3$ für $a$=2 und für $b$=1 ein. $\overrightarrow{w}_3=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -9\\ \end{array}\right)$
e)
Wir nennen den gesuchten Vektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ und stellen ein lineares Gleichungssystem auf:
$\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad-b+4c$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad b$=$4c$
Wir wählen die Koordinaten $a$ und $c$ nun beliebig und rechnen $b$ nach der Gleichung oben aus. $a$ ist in diesem Fall wirklich egal, jeder Wert funktioniert. So erhalten wir z.B. die Vektoren:
Setze in $\overrightarrow{w}_1$ für $a$=1 und für $c$=1 ein. $\overrightarrow{w}_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_2$ für $a$=1 und für $c$=2 ein. $\overrightarrow{w}_2\left(\begin{array}{r} 1\\ 8\\ 2\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_3$ für $a$=2 und für $c$=-1 ein. $\overrightarrow{w}_3=\left(\begin{array}{r} 2\\ -4\\ -1\\ \end{array}\right)$
f)
Wir nennen den gesuchten Vektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$ und stellen ein lineares Gleichungssystem auf:
$\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right)$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad4a+2b+4c$=$0\quad\Longleftrightarrow\quad b$=$-2a-2c$
Wir wählen die Koordinaten $a$ und $c$ nun beliebig und rechnen $a$ nach der Gleichung oben aus. So erhalten wir z.B. die Vektoren:
Setze in $\overrightarrow{w}_1$ für $a$=1 und für $c$=-1 ein. $\overrightarrow{w}_1=\left(\begin{array}{r} 1\\ -4\\ 1\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_2$ für $a$=2 und für $c$=-1 ein. $\overrightarrow{w}_2\left(\begin{array}{r} 2\\ -6\\ 1\\ \end{array}\right)$
Setze in $\overrightarrow{w}_3$ für $a$=-1 und für $c$=1 ein. $\overrightarrow{w}_3=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$
3.
a)
Ist $\vec v=\left( \begin{array}{l} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{array} \right)\\[5pt]$ der Nullvektor, ergibt das Skalarprodukt mit einem beliebigen Vektor Null. Daraus folgt, dass der Nullvektor zu jedem beliebigen Vektor senkrecht steht.
Ist $\vec v=\left( \begin{array}{l} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \end{array} \right)\\[5pt]$ ungleich dem Nullvektor, muss das Skalarprodukt mit dem Vektor $ \vec u=\left( \begin{array}{l} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \end{array} \right)$ die Lösung $ v_1 u_1 + v_2 u_2 + v_3 u_3 = 0 $ ergeben.
Ist $ v_1 \ne 0 $, stelle die Gleichung nach $u_1$ um.
Dies ergibt die Lösung $ u_1 = \dfrac{{v_2 u_2 + v_3 u_3 }}{{ - v_1 }} $. Setze nun dies für $u_1$ in $ {\vec u} $ ein. Dies ergibt für beliebige $u_2$ und $u_3$ die Lösung:
$ \vec u=\left( \begin{array}{c} \dfrac{{v_2 u_2 + v_3 u_3 }}{{ - v_1 }} \\[5pt] u_2 \\[5pt] u_3 \\ \end{array} \right) $
Falls $ v_1 = 0 $ stelle nach $u_2$ oder $u_3$ um.
Daraus folgt, dass dies eine wahre Aussage ist. Es gibt zu jedem Vektor sogar nicht nur einen, sondern unendlich viele Vektoren, die senkrecht darauf stehen. Man kann sich vorstellen, dass all diese senkrechten Vektoren in einer Ebene liegen, die senkrecht zu unserem Vektor verläuft.
b)
Diese Aussage ist wahr, da der Nullvektor mit jedem anderen Vektor ein Skalarprodukt von Null besitzt. Allerdings ist dies nur theoretisch wahr, eine geometrische Interpretation wäre sinnlos.
c)
Nein, das ist falsch. Mit dem Skalarprodukt lässt sich die Orthogonalität zweier Vektoren nachweisen. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert einen Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren steht.
d)
Nein, das ist falsch. Würden wir mit mehr Dimensionen rechnen, könnte es auch sein, dass 5, 6 oder unendlich viele Vektoren senkrecht aufeinander stehen, im Dreidimensionalen gibt es allerdings immer nur drei, so lange keiner von ihnen der Nullvektor ist. Es lässt sich kein vierter Vektor finden, der nicht der Nullvektor isst.
4.
a)
$\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} (1 \cdot 3)-(2 \cdot 0)\\ (2 \cdot (-1))-(1 \cdot 3)\\ (1 \cdot 0)-(1 \cdot (-1))\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 3-0\\ -2-3\\ 0-(-1)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ 1\\ \end{array}\right)$
b)
$\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 0\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} (3 \cdot 2)-(0 \cdot 1)\\ (0 \cdot 4)-(3 \cdot 2)\\ (3 \cdot )-(3 \cdot 4)\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 6-0\\ 0-6\\ 3-12\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 6\\ -6\\ -9\\ \end{array}\right)$
c)
$\left(\begin{array}{r} -2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 0\\ 6\\ 2\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} (4 \cdot 2)-(1 \cdot 6)\\ (1 \cdot 0)-((-2) \cdot 2)\\ ((-2) \cdot 6)-(4 \cdot 0)\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 8-6\\ 0-(-4)\\ -12-0\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ -12\\ \end{array}\right)$
d)
$\left(\begin{array}{r} 6\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 4\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} (2 \cdot 4)-(4 \cdot 3)\\ (4 \cdot 3)-(6 \cdot 4)\\ (6 \cdot 3)-(2 \cdot 3)\\ \end{array}\right) $$=\left(\begin{array}{r} 8-12\\ 12-24\\ 18-6\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -4\\ -12\\ 12\\ \end{array}\right)$
e)
$\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ 3\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} (4 \cdot 2)-(3 \cdot 1)\\ (3 \cdot 1)-(0 \cdot 2)\\ (0 \cdot 1)-(4 \cdot 1)\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 8-3\\ 3-0\\ 0-4\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 5\\ 3\\ -4\\ \end{array}\right)$
f)
$\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ -3\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 6\\ 7\\ 1\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} (3 \cdot 1)-((-3) \cdot 7)\\ ((-3) \cdot 6)-(3 \cdot 1)\\ (3 \cdot 7)-(3 \cdot 6)\\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{r} 3-(-21)\\ -18-3\\ 21-18\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 24\\ -21\\ 3\\ \end{array}\right)$
5.
a)
Ja, das ist wahr. In der Tat ist das Kreuzprodukt eine Vorschrift, die zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ einen Vektor zuordnet, der senkrecht auf beiden Vektoren steht.
b)
Ja, das ist wahr. Wird das Kreuzprodukt zweier paralleler (linear abhängiger) Vektoren gebildet, ergibt sich nur der Nullvektor als Lösung.
c)
Nein, das ist falsch. Das Kreuzprodukt unterscheidet sich in zwei wichtigen Punkten vom Skalarprodukt:
  • Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert einen Vektor, der senkrecht zu diesen beiden Vektoren steht.
  • Das Skalarprodukt liefert keinen Vektor, sondern eine „Zahl“ (ein Skalar), mit welchem sich der eingeschlossene Winkel dieser Vektoren bestimmen lässt.
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