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Eine gebrochene Funktion kannst du mit der Quotientenregel ableiten:
$f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)} \quad $   $ f'(x)= \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
$f(x)$ = $\dfrac{u(x)}{v(x)}$
$\Rightarrow$ $f'(x)$ = $\dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^4+2}{x^3}$
  • $u(x)=x^4+2 \rightarrow u'(x)= 4x^3$
  • $v(x)=x^3 \rightarrow u'(x)= 3x^2$
$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{4x^3\cdot x^3 - \left(x^4+2\right)\cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2} = \dfrac{4x^6- \left(3x^6+6x^2\right)}{x^6}=\dfrac{x^6-6x^2}{x^6}=\dfrac{x^2\cdot(x^4-6)}{x^2\cdot x^4}=\dfrac{x^4-6}{x^4}$
$\Rightarrow$ $f'(x)$ = $\dfrac{4x^3\cdot x^3 - \left(x^4+2\right)\cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2}$
= $\dfrac{4x^6- \left(3x^6+6x^2\right)}{x^6}$
= $\dfrac{x^6-6x^2}{x^6}$
= $\dfrac{x^2\cdot(x^4-6)}{x^2\cdot x^4}$
= $\dfrac{x^4-6}{x^4}$
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