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Additionssatz und Vierfeldertafel

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Sind $A$ und $B$ zwei Ereignisse des selben Zufallsexperiments, dann besagt die Additionsregel:
$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
$P(A\cup B) $=$ P(A) $+$ P(B) $-$ P(A\cap B)$
Dabei bezeichnet $P(A\cap B)$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ und $B$ gleichzeitig eintreten.
$P(A\cup B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eins der beiden Ereignisse eintritt.
Die Vierfeldertafel gibt dir eine Übersicht über die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit zwei Ereignissen. Sie sieht folgendermaßen aus:
$B$$\overline{B}$
$A$$P(A\cap B)$$P(A\cap \overline{B})$ $P(A)$
$\overline{A}$$P(\overline{A}\cap B)$$P(\overline{A}\cap \overline{B})$$P(\overline{A})$
$P(B)$$P(\overline{B})$$1$
Dabei gelten folgende Rechenregeln
  • Die Summe zweier Zellen nebeneinander ergibt die nachfolgende Zelle:
    $P(A\cap B)+ P(A\cap \overline{B})= P(A)$, $P(\overline{A}\cap B)+ P(\overline{A}\cap \overline{B})= P(\overline{A})$ und $P(B)+ P(\overline{B}) = 1$
    $P(A\cap B)+ P(A\cap \overline{B})= 1$
  • Die Summe zweier Zellen untereinander ergibt die nachfolgende Zelle:
    $P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = P(B)$, $P(A\cap \overline{B}) + P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{B})$ und $P(A) + P(\overline{A}) = 1$
    $P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = 1$
  • Sind $A$ und $B$ unvereinbar, das heißt können niemals beide Ereignisse gleichzeitig eintreten, dann gilt
    $A\cap B = \emptyset \Rightarrow P(A\cap B) = 0$
    $A\cap B = 0$

Beispiel

Betrachte das Werfen eines gleichmäßigen sechsseitigen Würfels. $A:$ eine gerade Zahl wird gewürfelt
$B:$ eine $6$ oder eine $1$ wird gewürfelt
Dann ist $A = \{2,4,6 \}$, $B= \{1,6 \}$ und $A\cap B = \{ 6\}$.
Damit gilt $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow P(A\cup B) = P(A)+P(B)- P(A\cap B) \\= 3\cdot \frac{1}{6} + 2\cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 4\cdot\frac{1}{6} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow P(A\cup B) = \frac{2}{3}$
$B$$\overline{B}$
$A$$\frac{1}{6}$$\frac{2}{6}$ $\frac{3}{6}$
$\overline{A}$$\frac{1}{6}$$\frac{2}{6}$$\frac{3}{6}$
$\frac{2}{6}$$\frac{4}{6}$$1$
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