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Minimaler Abstand Punkt-Kurve

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Einführung

Um den minimalen Abstand zwischen einem Punkt $P(x_p,y_p)$ und einer Kurve $f(x)$ zu bestimmen, muss die Abstandsfunktion minimiert werden.
Gehe folgendermaßen vor:
  • Stelle die Abstandsfunktion
    $d(u) $=$ \sqrt{(u-x_p)^2 + (f(u)-y_p)^2}$
    auf. Diese gibt den Abstand zwischen dem Punkt $P$ und jedem beliebigen Punkt auf der Kurve an.
  • Bestimme die Minimalstelle der Abstandsfunktion mit Hilfe der ersten Ableitung und überprüfe anschließend mit der zweiten Ableitung ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.
  • Den minimalen Abstand erhältst du durch einsetzen der Minimalstelle in die Abstandsfunktion.

Beispiel mit Lösungsskizze

Bestimme den minimalen Abstand des Punktes $P(1 \mid 3,5)$ zum Schaubild der Funktion $f (x) = - x^2 + 4$.
  • Abstandsfunktion:
    $\begin{array}[t]{rll} d(u)&=&\sqrt{(u-x_p)^2 + (f(u)-y_p)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(u-1)^2 + (-u^2+4-3,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(u-1)^2 + (-u^2+0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{u^4-2u+1,25} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} d(u)&=&… \end{array}$
  • Minimalstelle der Abstandsfunktion:
    $d(u) $=$ \sqrt{u^4-2u+1,25}$
    $d'(u) = (2u^3-1)(u^4-2u+1,25)^{-0,5}$
    $d''(u) $=$ \dfrac{4(4u^6-16u^3+15u^2-2)}{(4u^4-8u+5)^{1,5}}$
    $\begin{array}[t]{rll} d'(u)&=&0 \\[5pt] 0&=&(2u^3-1)(u^4-2u+1,25)^{-0,5}\\[5pt] u&=&\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} u&=&\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{array}$
    $d''\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) $$ \approx $$ 15,5 > 0$ somit handelt es sich um ein Minimum.
  • $d\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) $=$ 0,24$
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