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Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
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Tangente und Normale
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Flächeninhalt zwische...
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Allgemeine Fragen zu ...
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Geraden
Geraden
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Spurpunkte
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Vermischte Aufgaben
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Geordnete Stichprobe ...
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Mit Formel und Tasche...
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Zweiseitiger Test

Laplace-Experiment

Spickzettel
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Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse bzw. Elementarereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten:
$P(i)=\dfrac{1}{|\Omega|}$
$P(i)=\dfrac{1}{|\Omega|}$
Es gibt also $|\Omega|$ viele Ergebnisse und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse beträgt genau 1.
Die Wahrscheinlichkeit für ein allgemeines Ereignis $E$ in einem Laplace-Experiment kann wie folgt berechnet werden:
$P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}$
$P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}$

Beispiele

  • Werfen eines Würfels:  $P(i)=\frac{1}{6},\;i=1,…,6$
  • Werfen einer Münze:  $P(i)=\frac{1}{2},\;i=1,2$
Ein Fußballspiel ist hingegen kein Laplace-Experiment, da die Fähigkeiten beider Teams nie annähernd gleich sein können und der Spielausgang von weiteren Faktoren abhängig ist.
Eine Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit von
$E:$ „Es fällt genau zweimal Zahl“.
$P(E)=\{\scriptsize{ZZK;ZKZ;KZZ}\}$
oder
$|E|=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3$
$|\Omega|$$=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=$$8$
$\Rightarrow\;P(E)$$=\frac{3}{8}$$=0,375$$=37,5\,\%$
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Aufgaben
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1.
In einer Urne befinden sich 15 Kugeln. Diese sind nummeriert von 1 bis 15. Es wird zufällig eine Kugel entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
  • A:  „Die gezogene Zahl ist eine Primzahl.“
  • B:  „Die gezogene Zahl ist durch drei teilbar.“
  • C:  „Die gezogene Zahl ist weder eine Primzahl noch durch drei teilbar.“
2.
Ein Würfel wird zweimal nacheinander geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
  • A:  „Es wird zweimal hintereinander eine Eins geworfen.“
  • B:  „Die Summe der Augenzahlen ist sieben.“
  • C:  „Beide Augenzahlen sind ungerade.“
3.
Für die Halbfinalbegegnungen in einem Fußballturnier sollen die Spiele der letzten vier Mannschaften neu gelost werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der einzelnen möglichen Spielkonstellationen?
4.
Die Quadrate rechts zeigen das Spielfeld eines Bingospiels. Bei dieser Art von Bingo werden zwei Würfel geworfen. Die Augensumme der Würfel gibt jeweils die Bingozahl an und gewonnen hat derjenige, der als erstes sein komplettes Spielfeld gefüllt hat.
Martin hat folgende Zahlen eingetragen:
a)
Wie schätzt du Martins Gewinnchancen auf einen Bingo ein?
b)
Welche Zahlen würdest du in das Bingofeld eintragen?
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Lösungen
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1.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In der Urne befinden sich 15 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 15 beschriftet sind. Die Ergebnismenge ist daher
$\Omega=\left\{1;2;…14;15\right\}$
Hinweis: Im Folgenden bezeichnet $\left|M\right|$ die Mächtigkeit einer Menge $M$, d. h. die Anzahl der Elemente, die die Menge $M$ besitzt.
a)
Betrachte die Zahlen von 1 bis 15 und suche die Primzahlen. Es ergibt sich die Menge
$A=\left\{2;3;5;7;11;13\right\}$
Sie hat 6 Elemente. Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ gilt nun nach der Abzählregel:
$P(A)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{6}{15}=0{,}4\mathrel{\widehat{=}}40\,\%$
b)
Suche dieses Mal nach den Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Du erhältst die Menge
$B=\left\{3;6;9;12;15\right\}$
Sie hat 5 Elemente. Damit gilt:
$P(B)=\dfrac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{5}{15}\mathrel{\widehat{=}}33{,}\overline{3}\,\%$
c)
Nun werden die Zahlen betrachtet, die weder Primzahl noch durch 3 teilbar sind. Dies sind genau die Zahlen, die in den Mengen $A$ und $B$ nicht enthalten sind, d. h.:
$C=\left\{1;4;8;10;14\right\}$
Dafür kannst du auch schreiben: $C=\overline{A\cap B}$ oder $C=\Omega\setminus\left\{A\cap B\right\}$
Die Menge $C$ hat 5 Elemente. Also gilt für die Wahrscheinlichkeit:
$P(C)=\dfrac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{5}{15}\mathrel{\widehat{=}}33{,}\overline{3}\,\%$
Hinweis: Die Zahl 1 ist keine Primzahl.
2.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Der Würfel wird zwei Mal nacheinander geworfen. Die Ergebnismenge ist dann:
$\scriptsize{\Omega=\left\{(1;1);(1;2);…(1;6);(2;1);…(2;6);(3;1);…(3;6);(4;1);…(4;6);(5;1);…(5;6);(6;1);…(6;6)\right\}}$
$\Omega$= …
$\Omega$ hat 36 Elemente.
a)
Es gibt genau eine Kombination, in der zwei Mal die Eins geworfen wird:
$A=\left\{(1;1)\right\}$
$A$ hat 1 Element Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ gilt dann nach der Abzählregel:
$P(A)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{1}{36}\approx0,0278\\\mathrel{\widehat{=}}2,78\,\%$
b)
Betrachte alle Paare, deren Summe gerade 7 ergibt. Du erhältst die Menge
$B=\left\{(1;6);(6;1);(2;5);(5;2);(3;4);(4;3)\right\}$
$B=… $
$B$ hat 6 Elemente. Damit ist die Wahrscheinlichkeit:
$P(B)=\dfrac{\left|B\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{6}{36}\approx0,1667\\\mathrel{\widehat{=}}16,67\,\%$
c)
Suche dieses Mal alle Paare, die aus zwei ungeraden Zahlen bestehen:
$C=\left\{(1;1);(1;3);(1;5);(3;1);(3;3);(3;5);(5;1);(5;3);(5;5)\right\}$
$C=… $
$C$ hat 9 Elemente. Es folgt die Wahrscheinlichkeit:
$P(C)=\dfrac{\left|C\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{9}{36}=0{,}25\mathrel{\widehat{=}}25\,\%$
3.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Wir wollen die vier Mannschaften mit 1, 2, 3 und 4 durchnummerieren. Es werden nacheinander zwei Mannschaften ausgewählt; dabei interessiert nur, wer gegen wen spielt. Es handelt sich damit um ein Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Die Ergebnismenge lautet dabei:
$\Omega=\left\{(1;2);(1,3);(1;4);(2;3);(2;4);(3;4)\right\}$
$\Omega=… $
$\Omega$ hat 6 Elemente.
Die einzelnen Konstellationen tauchen je einmal in der Ergebnismenge auf. Für jede einzelne Konstellation ist die Wahrscheinlichkeit daher $\frac{1}{6}$.
4.
Gewinnchance optimieren
a)
Martins Wahrscheinlichkeit für einen Bingo ist gleich Null, da die Zahl 1 nicht in der Ergebnismenge liegt. Außerdem hat er mit den Zahlen 4, 11 und 12 eine ungünstige Wahl getroffen, weil die Wahrscheinlichkeit für diese Zahlen relativ gering ist.
b)
Ideale Zahlen für das Bingofeld sind Zahlen, die mit einer großen Wahrscheinlichkeit bei der Augensumme zweier Würfel auftreten. Solche Zahlen sind z. B. 6 mit $P(6)=\frac{5}{36}$, 7 mit $P(7)=\frac{6}{36}$, 8 mit $P(8)=\frac{5}{36}$ und 9 mit $P(9)=\frac{4}{36}$.
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