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Trigonometrische Funktionen

Spickzettel
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Für trigonometrische Funktionen gibt es zwei mögliche Ansätze, von denen meist einer in der Aufgabenstellung vorgegeben ist:
$f(x) $=$ a\cdot \sin(b\cdot x-c)+d$
$f(x) $=$ a\cdot \sin(b\cdot x-c)+d$
$g(x) $=$ a\cdot \cos(b\cdot x-c)+d$
$g(x) $=$ a\cdot \cos(b\cdot x-c)+d$
Neben der Möglichkeit durch gegebene Koordinaten von Punkten ein Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen, gibt es auch noch weitere Randbedingungen, die dir die Belegung der Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ direkt liefern:
  • Die Amplitudenlänge liefert dir direkt $a$.
  • Aus der Periodenlänge $p$ erhältst du $b$ durch $b= \dfrac{2\pi}{p}$.
  • $d$ ist die Verschiebung entlang der $y$-Achse
  • $c$ ist die Phasenverschiebung, also die Verschiebung entlang der $x$-Achse
$c$ und $d$ kannst du, wenn die Verschiebungen nicht in der Aufgabenstellung gegeben ist, durch Punktproben bestimmen.
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Aufgaben
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1.
Die allgemeine Sinusfunktion hat die Gestalt
$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x+c))+d$.
Bestimme bei den folgenden Aufgaben jeweils die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$.
a)
Das Schaubild der Sinusfunktion ist um $2$ LE nach unten und um $1$ LE nach links verschoben, um den Faktor $1,5$ in y-Richtung gestreckt und hat die Periodenlänge $2\pi$.
b)
Das Schaubild der Sinusfunktion ist um $4$ LE nach rechts verschoben, um den Faktor $2$ in y-Richtung gestreckt und der Abstand zwischen zwei Nulldurchgängen beträgt $\frac{\pi}{4}$.
c)
Das Schaubild der Sinusfunktion ist um $1$ LE nach unten verschoben, um den Faktor $3$ in y-Richtung gestreckt, hat die Periodenlänge $\pi$ und geht durch den Punkt $P\left(\frac{\pi}{2}\middle|2\right)$.
d)
Das Schaubild der Sinusfunktion ist um $5$ LE nach oben und um $2$ LE nach rechts verschoben, um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung gestaucht und der Abstand zweier benachbarter Minima beträgt $3\pi$.
e)
Das Schaubild der Sinusfunktion hat bei $P(0|1)$ ein Minimum, ist um den Faktor $2$ in y-Richtung gestreckt und hat die Periodenlänge $2\pi$.
f)
Das Schaubild der Sinusfunktion ist um $4$ LE nach unten verschoben, hat die Periodenlänge $\pi$ und geht durch den Punkt $Q(1|-4)$. Der vertikale Abstand zwischen den Minima und den Maxima beträgt $2$.
g)
Das Schaubild der Sinusfunktion verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung, wobei die Steigung im Ursprung positiv ist, ist um den Faktor $1,3$ in y-Richtung gestreckt und der Abstand zwischen zwei benachbarten Wendepunkten beträgt $2\pi$.
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Lösungen
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1.
Die allgemeine Sinusfunktion hat die Gestalt
$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x+c))+d$.
Die Multiplikation der Sinusfunktion mit einem Faktor $a$ bedeutet anschaulich eine Streckung bzw. Stauchung in y-Richtung.
Der Faktor $b$ bewirkt eine Änderung der Periodenlänge, welche durch $p=\frac{2\pi}{b}$ gegeben ist. Anschaulich bedeutet dies eine Streckung bzw. Stauchung in x-Richtung.
Die Parameter $c$ bewirkt eine Phasenverschiebung, das heißt eine Verschiebung der Sinusfunktion entlang der x-Achse um $c$. $c>0$ bedeutet eine Verschiebung nach links, $c< 0$ eine Verschiebung nach rechts.
Die Variable $d$ bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse um $d$. Der um $d$ verschobene Graph der Sinusfunktion schwingt dann um die Gerade mit der Gleichung $y=d$.
a)
Verschiebung um $2$ LE nach unten
$\Longrightarrow d=-2$
Verschiebung um $1$ LE nach links
$\Longrightarrow c=1$
Streckung um den Faktor $1,5$ in y-Richtung
$\Longrightarrow a=1,5$
Periodenlänge $p=2\pi$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=1$
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=1,5\cdot\sin(x+1)-2$
b)
Keine Verschiebung entlang der y-Achse
$\Longrightarrow d=0$
Verschiebung um $4$ LE nach rechts
$\Longrightarrow c=-4$
Streckung um den Faktor $2$ in y-Richtung
$\Longrightarrow a=2$
Der Abstand zweier Nulldurchgänge entspricht der halben Periodenlängen
$\frac{p}{2}=\frac{\pi}{4}$
$\Longrightarrow p=\frac{\pi}{2}$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=4$
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=2\cdot\sin(4\cdot(x-4))$
c)
Verschiebung um $1$ LE nach unten
$\Longrightarrow d=-1$
Streckung um den Faktor $3$ in y-Richtung
$\Longrightarrow a=3$
Periodenlänge $p=\pi$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=2$
Die Funktion läuft durch den Punkt $P\left(\frac{\pi}{2}\middle|2\right)$
$\Longrightarrow 3\cdot\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2}+c\right)\right)-1=2$
Addieren der $1$ und anschließende Division durch $3$ ergibt:
$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2}+c\right)\right)=1$
Dies ist erfüllt, wenn
$2\cdot\left(\frac{\pi}{2}+c\right)=\frac{\pi}{2}$
$\Longrightarrow \frac{\pi}{2}+c=\frac{\pi}{4}$
$\Longrightarrow c=-\frac{\pi}{4}$
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=3\cdot\sin\left(2\cdot\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$
d)
Verschiebung um $5$ LE nach oben
$\Longrightarrow d=5$
Verschiebung um $2$ LE nach rechts
$\Longrightarrow c=-2$
Stauchung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $y$-Richtung
$\Longrightarrow a=\frac{1}{2}$
Periodenlänge $p=3\pi$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2}{3}$
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=\frac{1}{2}\cdot\sin\left(\frac{2}{3}\left(x-2\right)\right)+5$
e)
Streckung um den Faktor $2$ in $y$-Richtung
$\Longrightarrow a=2$
Periodenlänge $p=2\pi$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=1$
Bei $P(0|1)$ befindet sich ein Minimum. Ohne Phasenverschiebung läge beim Sinus ein Minimum bei $x=-\frac{\pi}{2}$. Die modifizierte Sinusfunktion ist also um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben
$\Longrightarrow c=-\frac{\pi}{2}$
(Die um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschobene Sinusfunktion entspricht gerade einem negativen Cosinus)
Der Streckungsfaktor in $y$-Richtung ist zwei, das heißt der vertikale Abstand zwischen Minima und Maxima beträgt $4$ LE. Alle Minima liegen bei $y=1$, alle Maxima bei $y=5$. Der Graph der Funktion schwingt folglich um die Gerade mit der Gleichung $y=3$
$\Longrightarrow d=3$
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=2\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3=-2\cdot\cos(x)+3$
$\begin{array}[ccc] f(x)&=&2\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+3\\ &=&-2\cdot\cos(x)+3\\ \end{array}$
f)
Verschiebung um $4$ LE nach unten
$\Longrightarrow d=-4$
Der Vertikale Abstand zwischen den Minima und Maxima beträgt $2$
$\Longrightarrow$ keine Streckung in $y$-Richtung
$\Longrightarrow a=1$
Periodenlänge $p=\pi$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=2$
Geht durch den Punkt $Q(1|-4)$
$\Longrightarrow \sin(2(1+c))-4=-4 \Longrightarrow \sin(2(1+c))=0$
$\begin{array}[lllll] \\\Longrightarrow &\sin(2(1+c))-4&=-4 \\ \Longrightarrow &\sin(2(1+c))&=0\\ \end{array}$
Dies ist z.B. dann erfüllt, wenn $2(1+c)=0$, also $c=-1$. (Es gibt aber auch andere Lösungen, z.B. wenn man $2(1+c)=\pi$ löst)
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=\sin\left(2\left(x-1\right)\right)-4$
g)
Das Schaubild verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung, also schwingt es um die Gerade mit der Gleichung $y=0$
$\Longrightarrow d=0$
Es ist $f(0)=0$ und $f'(0)>0$, das heißt es handelt sich um eine Sinusfunktion ohne Phasenverschiebung
$\Longrightarrow c=0$
Streckung um den Faktor $1,3$ in $y$-Richtung
$\Longrightarrow a=1,3$
Abstand benachbarter Wendepunkte entspricht der halben Periodenlänge:
$\frac{p}{2}=2\pi$
$\Longrightarrow p=4\pi$
$\Longrightarrow b=\frac{2\pi}{p}=\frac{1}{2}$
Einsetzen der Koeffizienten liefert die Gleichung der modifizierten Sinusfunktion:
$f(x)=1,3\cdot\sin(\frac{1}{2}x)$
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