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Erwartungswert und Standardabweichung

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Erwartungswert

Unter dem Erwartungswert versteht man eine Kenngröße, die beschreibt, wie viele Treffer bei einem durchgeführten Zufallsexperiment erwartet werden können. Ist die betrachtete Zufallsvariable $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$, so kannst du den Erwartungswert $E(X)$ folgendermaßen berechnen:
$E(X)=n \cdot p$
$E(X)=n \cdot p$

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz $V$ und die Standardabweichung $\sigma$ einer Zufallsvariable $Z$ sind Maße für die Abweichung von ihrem Erwartungswert $E(Z)$. Sie sind größer oder gleich Null und können für binomialverteilte Zufallsvariablen wie folgt berechnet werden:
$V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)\quad$ $\sigma=\sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)\quad$ $\sigma=\sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Beispiel

Ein Bernoulli-Experiment wird 9-mal durchgeführt, mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{1}{3}$ wird ein Treffer erzielt. Sei $Z$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Treffer beschreibt. Wie viele Treffer können hier erwartet werden? Berechne die Standardabweichung $\sigma$.
Gesucht ist der Erwartungswert $E(Z)$. Setze die gegebenen Angaben $n=9$ und $p=\frac{1}{3}$ in die Formel ein:
$E(Z)=n \cdot p=9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$
Es können im Schnitt 3 Treffer erwartet werden.
Für die Standardabweichung ergibt sich mit der obigen Formel:
$\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}=\sqrt{9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$
$\sigma=\sqrt{2}$
Die Standardabweichung beträgt $\sigma=\sqrt{2}$.
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