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Erwartungswert und Standardabweichung

Spickzettel
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Erwartungswert

Unter dem Erwartungswert versteht man eine Kenngröße, die beschreibt, wie viele Treffer bei einem durchgeführten Zufallsexperiment erwartet werden können. Ist die betrachtete Zufallsvariable $X$ binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$, so kannst du den Erwartungswert $E(X)$ folgendermaßen berechnen:
$E(X)=n \cdot p$
$E(X)=n \cdot p$

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz $V$ und die Standardabweichung $\sigma$ einer Zufallsvariable $Z$ sind Maße für die Abweichung von ihrem Erwartungswert $E(Z)$. Sie sind größer oder gleich Null und können für binomialverteilte Zufallsvariablen wie folgt berechnet werden:
$V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)\quad$ $\sigma=\sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
$V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)\quad$ $\sigma=\sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Beispiel

Ein Bernoulli-Experiment wird 9-mal durchgeführt, mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{1}{3}$ wird ein Treffer erzielt. Sei $Z$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Treffer beschreibt. Wie viele Treffer können hier erwartet werden? Berechne die Standardabweichung $\sigma$.
Gesucht ist der Erwartungswert $E(Z)$. Setze die gegebenen Angaben $n=9$ und $p=\frac{1}{3}$ in die Formel ein:
$E(Z)=n \cdot p=9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$
Es können im Schnitt 3 Treffer erwartet werden.
Für die Standardabweichung ergibt sich mit der obigen Formel:
$\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}=\sqrt{9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{18}{9}} = \sqrt{2}$
$\sigma=\sqrt{2}$
Die Standardabweichung beträgt $\sigma=\sqrt{2}$.
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Aufgaben
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1.
Die Zufallsgröße $X$ sei binomialverteilt. Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.
a)
$n=20$ und $p=0,1$
b)
$n=500$ und $p=0,35$
c)
$n=38$ und $p=0,125$
2.
Erfahrungsgemäß hat man auf einer Fahrradtour zu $15\%$ eine Panne auf Grund eines geplatzten Reifens. Auf einer großen Fahrradtour durch die Alpen mit $80$ Radsportlern, haben zehn Radler einen Ersatzschlauch dabei.
Reichen diese für eventuelle Pannen aus?

Bestimme die zugehörige Standardabweichung.
3.
In einer Firma werden täglich über 50.000 Schrauben produziert. Davon sind $5\%$ fehlerhaft und müssen aussortiert werden. Wie viel Ausschuss an Schrauben kann man durchschnittlich erwarten? Bestimme die zugehörige Standardabweichung.
4.
An einem Flughafen beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Verspätung eines Fluges aufgrund des Wetters $3\%$. Es werden $200$ Flüge betrachtet.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Anzahl der Flüge mit wetterbedingter Verspätung höchstens um die Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheidet.
5.
In der Ecke eines Casinos schlägt Mr.X einem vorbeigehenden Casinospieler ein „gewinnbringendes Glücksspiel“ vor.
Der Spieler zahlt einen Einsatz von $10$ Euro und wirft drei (ideale) Würfel.
Erscheint genau eine Sechs, so erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von $10$ Euro.
Erscheint die Sechs genau zweimal, so erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von $20$ Euro. Erscheint dabei die Sechs genau dreimal, erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von $30$ Euro. Erscheint keine Sechs, so ist der Einsatz verloren.
Weise nach, dass das Spiel nicht fair ist.
Ändere den Einsatz so, dass das Spiel unter sonst gleichen Bedingungen fair wird.
6.
Paddy und Fabian machen ein „Drei-Punkte-Wurf-Contest“. Dabei versuchen sie mit einem Basketball aus verschiedenen Positionen von der Dreierlinie einen Korb zu erzielen. Es sind dabei $20$ Würfe für jeden angesetzt.
Erfahrungen haben gezeigt, dass Fabian mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{4}{5}$ und Patrick mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{7}$ den Ball im Korb versenkt.
Berechne die Anzahl der Körbe von Patrick und Fabian die im langfristigen Mittel zu erwarten sind.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, mit der Fabian mehr Körbe erzielt, als auf Dauer zu erwarten sind.
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Lösungen
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1.
Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen
Da man von einer Binomialverteilung ausgeht, kann man die Formel $E(Z)=n\cdot p$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ benutzen.
a)
$E(X)=20\cdot0,1=2$ und $\sigma=\sqrt{20\cdot0,1\cdot0,9}\approx1,34$
b)
$E(X)=500\cdot0,35=175$ und $\sigma=\sqrt{500\cdot0,35\cdot0,65}\approx10,67$
c)
$E(X)=38\cdot0,125=4,75$ und $\sigma=\sqrt{38\cdot0,125\cdot0,875}\approx2,04$
2.
Erwartungswert für Panne und Standardabweichung bestimmen
Sei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Fahrradpannen zählt. $X$ ist binomialverteilt mit $n=80$ und $p=0,15$. Der Erwartungswert für eine Panne ist:
$E(X)=n\cdot p=80\cdot0,15=12$

Das heißt, dass durchschnittlich mit zwölf Pannen zu rechnen ist, bei denen der Fahrradschlauch ausgetauscht werden muss.
Somit reichen die zehn Ersatzschläuche nicht aus.

Die zugehörige Standardabweichung beträgt $\sigma=\sqrt{80\cdot0,15\cdot0,85}=3,19$.
3.
Erwartungswert für defekte Schrauben und Standardabweichung berechnen
Sei $X$ die Zufallsvariable, die die defekten Schrauben zählt. $X$ ist binomialverteilt mit $n=50.000$ und $p=0,05$.
Der Erwartungswert für die fehlerhaften Schrauben ist:
$E(X)=50.000\cdot0,05=2.500$

Damit ist durchschnittlich mit einem Ausschuss von 2.500 Schrauben zu rechnen.

Die zugehörige Standardabweichung beträgt $\sigma=\sqrt{50.000\cdot0,05\cdot0,95}\approx48,73$.
4.
Erwartungswert für Verspätungen und Standardabweichung bestimmen
Sei $Z$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der verspäteten Flugzeuge zählt. $Z$ ist binomialverteilt mit $n=200$ und$p=0,03$.
Bestimme zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung
$E(Z)=n\cdot p=200\cdot0,03=6$; $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\approx2,41$.

Wahrscheinlichkeit berechnen
Auf die Fragestellung bezogen, soll nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass sich höchstens $E(Z)\pm \sigma=6\pm2,41$ Flugzeuge verspäten. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit $P(6-2,41\leq Z\leq6+2,41)=$
$P(3,59\leq Z\leq8,41)=$
$P(4\leq Z\leq8)$.
Lies die benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p=0,03$ ab:

${\begin{array}[t]{rll} P(4\leq Z\leq8)=&P(Z\leq8)-P(Z\leq3)=0,85-0,147=0,703 \end{array}}$
$P(4\leq Z\leq8)=0,703$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Anzahl der Verspätungen aufgrund des Wetters höchstens um die Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheidet, beträgt somit $70,3\%$.
5.
Spiel auf Fairness überprüfen
Ein Spiel ist fair, wenn der zu erwartende Gewinn für jeden der Teilnehmer gleich ist. Damit wir den Erwartungswert berechnen können, müssen wir uns zunächst einmal über die Wahrscheinlichkeiten der Möglichen Ergebnisse im klaren sein.
Das Spiel könnte man auch als Bernoulli-Experiment (zwei Mögliche Ergebnisse: $6$, keine $6$) interpretieren mit $n=3$ (es wird dreimal gewürfelt) und $p=\frac{1}{6}$ (Wahrscheinlichkeit eine $6$ zu Würfeln ist konstant $\frac{1}{6}$). Sei $Z$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der geworfenen Sechsen zählt.
\begin{array}[t]{rll} P(Z=1)=&\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 1 \\ \end{array}}\right)\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{1}\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{3-1}\approx0,3472\\ P(Z=2)=&\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{1}\approx0,0694\\ P(Z=3)=&\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{3-3}\approx0,0046\\ P(Z=0)=&\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 0 \\ \end{array}} \right)\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^{0}\cdot\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^{3}\approx0,5787 \end{array}
\begin{array}[t]{rll} P(Z=1)\approx0,5787 \end{array}
Ereignis genau eine 6 genau zweimal 6 genau dreimal 6 keine 6
Gewinn Zi 10 Euro 20 Euro 30 Euro -10 Euro
P(Zi) 0,3472 0,0694 0,0046 0,5787
Der Erwartungswert beträgt $-0,79$ Euro. Der Spieler wird also langfristig um $80$ Cent benachteiligt. Das Spiel ist also nicht fair.

Damit es ich um ein faires Spiel handelt, muss der zu erwartende Gewinn $0$ Euro betragen.
Da die Gewinne gleich bleiben sollen, kann man nur etwas am Einsatz und somit dem möglichen Verlust $x$ ändern.
\begin{array}[t]{rll} 10\cdot0,3472+20\cdot0,0694+30\cdot0,0046-x\cdot0,5787=&0&\quad\scriptsize\\ 4,998-0,5787\cdot x=&0&\\ -0,5787\cdot x=&-4,998&\\ x\approx&8,64&\\ \end{array}
$x\approx&8,64&\\$
Der faire Einsatz beträgt somit $8,64$ Euro.
6.
Erwartungswerte berechnen
Die Zufallsgröße $Z$ beschreibe die Anzahl der Körbe (Treffer) unter $20$ Würfen.
Wir gehen davon aus, dass die Zufallsgröße $Z$ binomialverteilt ist mit $n=20$ und $p=0,8$ bei Fabian und $n=20$ und $p=\frac{5}{7}$ bei Paddy.
Erwartungswert Fabian:
$E(Z)=n\cdot p=20\cdot0,8=16$; Damit $16$ Treffer im Mittel.

Erwartungswert Paddy:
$E(Z)=n\cdot p=20\cdot\frac{5}{7}\approx14,3$; Damit $14,3$ Treffer im Mittel.
Wahrscheinlichkeit für mehr Treffer ermitteln
Fabian wird erwartungsgemäß $16$ der $20$ Treffer versenken. Nun ist die Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, dass er mehr als $16$ Treffer macht:
\begin{array}[t]{rll} P(Z>16)=&P(Z\geq17)=1-P(Z\leq16)=1-0,58855=0,41145 \end{array}
$P(Z>16)=0,41145$
Die benötigte Wahrscheinlichkeit liest du aus einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=20$ und $p=0,8$ ab.
Mit der Wahrscheinlichkeit $P(Z>16)\approx41,1\%$ erzielt Fabian mehr Körbe, als im langfristigen Mittel zu erwarten wäre.
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