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Maximales Volumen

Spickzettel
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Einführung

Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung benötigst du eine Zielfunktion, die du minimieren bzw. maximieren kannst.
Gehe folgendermaßen vor:
  • Fertige eine Skizze an.
  • Suche die Größe, die minimal bzw. maximal werden soll. Das ist hier das Volumen, schreibe die geometrische Formel des Volumens auf.
  • Stelle die Nebenbedingung auf. Überlege dir wie die Variablen der gesuchten Größe zusammenhängen. Hier kann die Nebenbedingung beispielsweise der Umfang bzw. der Flächeninhalt der Grundfläche oder die Oberfläche des Körpers sein.
  • Bilde nun die Zielfunktion, indem du die Nebenbedingung nach einer der Variablen auflöst und in den Term für die extremale Größe einsetzt. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich und bestimme den Definitionsbereich der Zielfunktion.
  • Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion. Vergiss dabei nicht, zu überprüfen, ob diese Kandidaten auch relative Extremstellen sind.
  • Stelle nun die Verbindung zur Aufgabenstellung her, indem du die zweite Variable und den Extremwert berechnest.

Beispiel mit Lösungsskizze

Eine Schmuckdose soll eine Länge von 5 cm und ein Volumen von 25 cm3 haben. Wie müssen die anderen beiden Seiten gewählt werden, damit für die Herstellung am wenigsten Material benötigt wird.
  • Skizze
    Extremwertaufgaben: Maximales Volumen
    Extremwertaufgaben: Maximales Volumen
  • Größe, die minimal werden soll:
    $O=2\cdot a\cdot b + 2\cdot b\cdot c + 2\cdot a\cdot c = 10\cdot b + 2\cdot b\cdot c + 10\cdot c$
    $O = 10\cdot b + 2\cdot b\cdot c + 10\cdot c$
  • Nebenbedingung:
    $V=25 \text{ cm}^3 $=$ 5\cdot b \cdot c \quad$ $ \Rightarrow \quad b $=$ \dfrac{5}{c}$
  • Zielfunktion:
    $O(c) =10\cdot \dfrac{5}{c} + 2\cdot \dfrac{5}{c}\cdot c + 10\cdot c = \dfrac{50}{c} + 10c + 10$ mit Definitionsbereich $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+_0$
    $O(c) = \dfrac{50}{c} + 10c + 10$
  • Extremstellen der Zielfunktion:
    $O(c) $=$ \dfrac{50}{c} + 10c + 10$
    $O'(c) $=$ -\dfrac{50}{c^2} + 10$
    $O''(c) $=$ \dfrac{100}{c^3}$
    $\begin{array}[t]{rll} O'(c)&=&0 \\[5pt] 0&=&-\dfrac{50}{c^2} + 10\\[5pt] c&=&\pm \sqrt{5} \end{array}$
    Für diese Aufgabe ist nur $c$=$\sqrt{5}\text{ cm}$ interessant, da die andere Lösung nicht im Definitionsbereich liegt.
    $O''(\sqrt{5}) $=$ \dfrac{4}{\sqrt{5}}>0 $ es handelt sich also um ein Minimum.
    Der minimale Wert ist somit: $O(\sqrt{5}) $=$ 54,7 \text{ cm}^2$
  • Für die Seite $b$ gilt dann: $b $=$ \dfrac{5}{\sqrt{5}} $=$ \sqrt{5}\text{ cm}$.
    Die minimale Oberfläche ist somit $54,7 \text{ cm}^2$ groß.
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Aufgaben
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1.
Bestimme das maximale Volumen.
Die Oberfläche eines Zylinders beträgt $60\pi cm^2$. Wie groß kann das Volumen maximal werden?
2.
Bestimme das maximale Volumen.
Aus einem $36cm$ langem Draht soll das Modell einer quadratischen Säule hergestellt werden. Bestimme das maximale Volumen dieser Säule.
3.
Bestimme das maximale Volumen.
Ein Zylinder soll gebaut werden.
Die Materialien, die verwendet werden, sind unterschiedlich teuer.
Die Grundfläche und der Deckel kosten je $1 €$ pro $m^2$, die Mantelfläche kostet $2 €$ pro $m^2$. Da der Auftraggeber ein Mathematiker ist, hat er die maximalen Gesamtkosten auf $200\pi €$ angesetzt. Wie groß ist das maximale Volumen dieses Zylinders?
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Lösungen
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1.
Das maximale Volumen bestimmen
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
  • Über die Oberfläche können wir eine Beziehung zwischen $r$ und $h$ herstellen
  • Diese neue Gleichung lösen wir nach $h$ auf.
  • Der Wert für $h$ (von $r$ abhängig) wird in die Volumenformel eingesetzt.
  • Es ergibt sich eine Gleichung für $V$, die nur von $r$ abhängig ist.
  • Die Maximalstelle dieser Gleichung wird bestimmt, er gibt uns das $r$ an, für welches das Volumen maximal wird.
Beziehung zwischen $r$ und $h$ herstellen:
$\begin{array}[t]{rll} O_{Zyl}=&2\left(\pi r^2\right)+2\pi r\cdot h\\ =&2\pi r^2+2\pi rh&\quad O=60\pi\;\small{\text{einsetzen}}\\ 60\pi=&2\pi r^2 +2\pi rh&\quad\mid\;-2\pi r^2\\ 60\pi-2\pi r^2=&2\pi rh&\quad\mid\;:2\pi r\\ \dfrac{60\pi}{2\pi r}-\dfrac{2\pi r^2}{2\pi r}=&h\\ \dfrac{30}{r}-r=&h \end{array}$
$ \dfrac{30}{r}-r=h$
$h$ in Volumenformel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Zyl}=&\pi r^2\cdot h&\quad h=\dfrac{30}{r}-r\;\small{\text{einsetzen}} \\ =&\pi r^2\cdot\left(\dfrac{30}{r}-r\right)\\ =&\dfrac{30\pi r^2}{r}-\pi r^3\\ =&30\pi r-\pi r^3\\ V_{Zyl}\left(r\right)=&-\pi r^3+30\pi r \end{array}$
$ V_{Zyl}\left(r\right)=-\pi r^3+30\pi r$
Maximalstelle bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Zyl}\left(r\right)=&-\pi r^3+30\pi r\\ V'_{Zyl}\left(r\right)=&-3\pi r^2+30\pi\\ V''_{Zyl}\left(r\right)=&-6\pi r \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V'_{Zyl}\left(r\right)=&0\\ -3\pi r^2+30\pi=&0&\quad\mid\;-30\pi\\ -3\pi r^2=&-30\pi&\quad\mid\;:\left(-3\pi\right)\\ r^2=&10&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ r_{1,2}=&\pm\sqrt{10} \end{array}$
$r_{1,2}=\pm\sqrt{10}$
Hochpunkt oder Tiefpunkt? In $V''$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V''\left(-\sqrt{10}\right)=&-6\pi\left(-\sqrt{10}\right) & >0:\;\small{\text{Minimum}}\\ V''\left(\sqrt{10}\right)=&-6\pi\left(\sqrt{10}\right)& <0:\;\small{\text{Maximum}} \end{array}$
Für $r=\sqrt{10}$ wird das Volumen maximal.
Für $r=\sqrt{10}$ wird das Volumen maximal.
Höhe $h$ eindeutig bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{30}{r}-r=&h&\quad r=\sqrt{10}\;\small{\text{einsetzen}}\\ \dfrac{30}{\sqrt{10}}-\sqrt{10}=&h \end{array}$
$ \dfrac{30}{\sqrt{10}}-\sqrt{10}=h$
Volumen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{Zyl}=&\pi r^2\cdot h&\quad r\; \small{\text{und}}\; h\; \small{\text{einsetzen}}\\ =&\pi\left(\sqrt{10}\right)^2\cdot\left(\dfrac{30}{\sqrt{10}}-\sqrt{10}\right)\\ =&\dfrac{\pi\left(\sqrt{10}\right)^2\cdot30}{\sqrt{10}}-\pi\left(\sqrt{10}\right)^3\\ =&30\pi\sqrt{10}-\pi\left(\sqrt{10}\right)^3\\ V_{Zyl}\approx&198,7 \end{array}$
$V_{Zyl}\approx198,7 $
Das maximale Volumen des Zylinders beträgt $198,7\,\text{cm}^3$.
2.
Das maximale Volumen bestimmen
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
  • Über die Gesamtlänge der Kanten (Umfang) eine Beziehung zwischen $a$ und $h$ herstellen
  • Diese neue Gleichung lösen wir nach $a$ auf.
  • Der Wert für $a$ (von $h$ abhängig) wird in die Volumenformel eingesetzt.
  • Es ergibt sich eine Gleichung für $V$, die nur von $h$ abhängig ist.
  • Der Maximalstelle dieser Gleichung wird bestimmt, er gibt uns das $h$ an, für welches das Volumen maximal wird.
Beziehung zwischen $a$ und $h$ herstellen:
Da es sich um eine quadratische Säule handelt, gibt es nur eine Grundkante $a$ und eine Höhe $h$.
$\begin{array}[t]{rll} U=&8a+4h&\quad U=36\;\small{\text{einsetzen}}\\ 36=&8a+4h&\quad\mid\;-4h\\ 36-4h=&8a&\quad\mid\;:8\\ \dfrac{36-4h}{8}=&a&\quad\mid\;4\;\small{\text{ausklammern}}\\ \dfrac{4\left(9-h\right)}{8}=&a\\ \dfrac{9-h}{2}=&a \end{array}$
$ \dfrac{9-h}{2}=a$
$a$ in Volumenformel einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} V=&a^2\cdot h&\quad a=\dfrac{9-h}{2}\;\small{\text{einsetzen}}\\ =&\left(\dfrac{9-h}{2}\right)^2\cdot h&\quad \small{\text{Achtung: binomische Formel!}}\\ =&\dfrac{81-18h+h^2}{4}\cdot h\\ =&\dfrac{81h-18h^2+h^3}{4}\\ V\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(h^3-18h^2+81h\right) \end{array}$
$V\left(h\right)=\dfrac{1}{4}\left(h^3-18h^2+81h\right) $
Extremstelle bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(h^3-18h^2+81h\right)\\ V'\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(3h^2-36h+81\right)\\ V''\left(h\right)=&\dfrac{1}{4}\left(6h-36\right) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V'\left(h\right)=&0\\ \dfrac{1}{4}\left(3h^2-36h+81\right)=&0\\ \dfrac{3}{4}h^2-9h+\dfrac{81}{4}=&0\quad\mid\;\cdot\dfrac{4}{3}\\ h^2-12h+27=&0 \end{array}$
$ V'\left(h\right)=h^2-12h+27=0 $
$p$-$q$-Formel anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} h_{1,2}=&6\pm\sqrt{36-27}\\ =&6\pm\sqrt{9}\\ =&6\pm3\\ h_1=&3\\ h_2=&9 \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung
$\begin{array}[t]{rll} V''\left(3\right)=&\dfrac{1}{4}\left(18-36\right)&<0:\,\small{\text{Maximum}}\\ V''\left(9\right)=&\dfrac{1}{4}\left(54-36\right)&>0:\,\small{\text{Minimum}} \end{array}$
Für $h=3$ wird das Volumen maximal.
Für $h=3$ wird das Volumen maximal.
Grundkante $a$ eindeutig bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9-h}{2}=&a&\quad h=3\;\small{\text{einsetzen}}\\ \dfrac{9-3}{2}=&a\\ \dfrac{6}{2}=&a\\ 3=&a \end{array}$
Volumen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V=&a^2\cdot h&\quad a\; \small{\text{und}}\; h\;\small{\text{einsetzen}}\\ =&9\cdot3\\ V=&27 \end{array}$
Das maximale Volumen der Säule beträgt $27\;\text{cm}^3$.
3.
Das maximale Volumen bestimmen
Überlege dir zunächst den Lösungsweg:
  • Über den Maximalpreis der Oberfläche eine Beziehung zwischen $r$ und $h$ herstellen
  • Diese neue Gleichung lösen wir nach $h$ auf.
  • Der Wert für $h$ (von $r$ abhängig) wird in die Volumenformel eingesetzt.
  • Es ergibt sich eine Gleichung für $V$, die nur von $r$ abhängig ist.
  • Die Maximalstelle dieser Gleichung wird bestimmt, er gibt uns das $r$ an, für welches das Volumen maximal wird..
Beziehung zwischen $r$ und $h$ herstellen:
Da es sich um eine quadratische Säule handelt, gibt es nur eine Grundkante $a$ und eine Höhe $h$.
$P$ soll für "Preis" stehen.
$\begin{array}[t]{rll} P=&2\pi r^2\cdot 1+2\pi rh\cdot2&\quad \small{\text{mit}}\;P=200\\ 200\pi=&2\pi r^2+4\pi rh&\quad \mid\;-2\pi r^2\\ 200\pi-2\pi r^2=&4\pi rh&\quad \mid\;:4\pi r\\ \dfrac{200\pi}{4\pi r}-\dfrac{2\pi r^2}{4\pi r}=&h\\ \dfrac{50}{r}-\dfrac{1}{2}r=&h \end{array}$
$\dfrac{50}{r}-\dfrac{1}{2}r=h$
$h$ in Volumenformel einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V=&\pi r^2\cdot h&\quad h=\dfrac{50}{r}-\dfrac{1}{2}r\;\small{\text{einsetzen}}\\ =&\pi r^2\cdot\left(\dfrac{50}{r}-\dfrac{1}{2}r\right)\\ =&\dfrac{50\pi r^2}{r}-\dfrac{\pi r^2}{2}r\\ =&50\pi r-\dfrac{1}{2}\pi r^3 V\left(r\right)=&-\dfrac{1}{2}\pi r^3+50\pi r \end{array}$
$V\left(r\right)=-\dfrac{1}{2}\pi r^3+50\pi r$
Extremstelle bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V\left(r\right)=&-\dfrac{1}{2}\pi r^3+50\pi r\\ V'\left(h\right)=&-\dfrac{3}{2}\pi r^2+50\pi\\ V''\left(h\right)=&-3\pi r \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V'\left(h\right)=&0\\ -\dfrac{3}{2}\pi r^2+50\pi =&0&\quad\mid\;-50\pi\\ -\dfrac{3}{2}\pi r^2&=-50\pi &\quad\mid\;\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\ \pi r^2=&\dfrac{100}{3}\pi&\quad\mid\;:\pi\\ r^2=&\dfrac{100}{3}&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ r=&\pm\sqrt{\dfrac{100}{3}} \end{array}$
$ r=\pm\sqrt{\dfrac{100}{3}} $
Überprüfen der hinreichenden Bedingung
$\begin{array}[t]{rll} V''\left(-\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)=&-3\pi\cdot\left(-\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)&>0:\;\small{\text{Minimum}}\\ V''\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)=&-3\pi\cdot\sqrt{\dfrac{100}{3}}&<0:\;\small{\text{Maximum}} \end{array}$
Für $r=\sqrt{\dfrac{100}{3}}$ wird das Volumen maximal.
Für $r=\sqrt{\dfrac{100}{3}}$ wird das Volumen maximal.
Höhe $h$ eindeutig bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{50}{r}-\dfrac{1}{2}r&=&h&\quad r\;\small{\text{einsetzen}}\\ \dfrac{50}{\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)}-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)&=&h\\ \dfrac{50\cdot2}{\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)\cdot2}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{100}{3}}\cdot\sqrt{\dfrac{100}{3}}}{2\sqrt{\dfrac{100}{3}}}&=&h\\ \dfrac{100-\dfrac{100}{3}}{2\sqrt{\dfrac{100}{3}}}&=&h\\ \dfrac{2\left(50-\dfrac{50}{3}\right)}{2\sqrt{\dfrac{100}{3}}}&=&h\\ \dfrac{50-\dfrac{50}{3}}{\sqrt{\dfrac{100}{3}}}&=&h \end{array}$
$ \dfrac{50-\dfrac{50}{3}}{\sqrt{\dfrac{100}{3}}}=h $
Volumen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi r^2\cdot h&\quad r\; \small{\text{und}}\; h\;\small{\text{einsetzen}}\\ &=&\pi \left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)^2\cdot\dfrac{50-\dfrac{50}{3}}{\sqrt{\dfrac{100}{3}}}\\ &=&\pi\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)\cdot\left(50-\dfrac{50}{3}\right)\\ &=&\pi\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)\cdot\left(\dfrac{150}{3}-\dfrac{50}{3}\right)\\ &=&\pi\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)\cdot\dfrac{100}{3}\\ V&=&\pi\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)^3 \end{array}$
$ V=\pi\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)^3 $
Das maximale Volumen der Säule beträgt $\pi\left(\sqrt{\dfrac{100}{3}}\right)^3 \text{m}^3$.
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