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Ebene - Ebene

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Um den Abstand zwischen einer Ebene $E$ und einer Ebene $F$ zu berechnen, musst du als erstes die Hessesche Normalform der Ebene $E$ bilden.
1. Schritt: HNF bilden
Bilde die HNF von einer der beiden Ebenen, z.B. der Ebene $E: n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=c$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ lautet:
HNF: $\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c} {\left|\vec{n}\right|}=0$
HNF: $\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c} {\left|\vec{n}\right|}$=$0$
2. Schritt: Punkt in HNF einsetzen
Die Koordinaten eines beliebigen Punktes $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ der Ebene $F$ setzt du in die linke Seite der HNF ein:
$d=\dfrac{n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c}{\left|\vec{n}\right|}$

Beispiel

$E: 2x_1+4x_2+8x_3=1$, $F: 2x_1+4x_2+8x_3=10 $
1. Schritt: Normalenvektor berechnen
$\left|\vec{n}\right|= \sqrt{2^2+4^2+8^2} = \sqrt{4+16+64}$$ = \sqrt{84}$
2. Schritt: HNF bilden
HNF: $\dfrac{2x_1+4x_2+8x_3-1}{\sqrt{84}} =0$
3. Schritt: Punkt einsetzen
$P_F(-3 \mid 0 \mid 2)$ einsetzen
$d=\dfrac{2\cdot (-3)+4\cdot 0+8\cdot 2-1}{\sqrt{84}} $$= \dfrac{9}{\sqrt{84}} \approx 0,982$
Der Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P_F$, der in der Ebene $F$ liegt, beträgt ca. $0,982$LE. Damit beträgt der Abstand zwischen den beiden Ebenen $E$ und $F$ ebenfalls ca. $0,982$ LE.
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