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Funktion gegeben

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Sei $f$ eine gegebene Funktion und $F$ eine zu $f$ gehörende Stammfunktion. Dann kannst mit Hilfe der Funktion $f$ Eigenschaften von $F$ bestimmen:
Steigung
Die Steigung von $F$ in einer Stelle $x$ entspricht dem Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$.
Extremstellen/Sattelpunkte
Die Nullstellen von $f$ sind Extremstellen/Sattelpunkte der Funktion $F$.
Wendepunkte
Hat $f$ an einer Stelle $x$ eine Extremstelle, so hat die Funktion $F$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.
Monotonie
  • $F$ monoton wachsend: $f(x)\geq0$ (strenge monoton, wenn $f(x)>0$)
  • $F$ monoton fallend: $f(x)\leq0$ (streng monoton $f(x)<0$).

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x(x+3)^2$. Bestimme Eigenschaften der Stammfunktion $F$ von $f$.
  • Extremstellen/Sattelpunkte:
    • NS bei $x=0$ $\rightarrow$ $F$ hat an der Stelle $x=0$ einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$)
    • Doppelte NS bei $x=-3$ $\rightarrow$ $F$ hat einen Sattelpunkt an der Stelle $x=-3$ (kein Vorzeichenwechsel)
  • Wendepunkte:
    • Tiefpunkt bei $x=-1 \rightarrow$ $F$ hat an der Stelle $x=-1$ einen Wendepunkt
    • Hochpunkt bei $x=-3 \rightarrow$ $F$ hat an der Stelle $x=-3$ einen Wendepunkt
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