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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
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Gebrochene Funktionen
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Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
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Produktregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
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Vermischte Aufgaben
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Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
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Matrix invertieren
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Übergangsmatrix
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Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
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Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
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Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Funktion gegeben

Spickzettel
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Sei $f$ eine gegebene Funktion und $F$ eine zu $f$ gehörende Stammfunktion. Dann kannst mit Hilfe der Funktion $f$ Eigenschaften von $F$ bestimmen:
Steigung
Die Steigung von $F$ in einer Stelle $x$ entspricht dem Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$.
Extremstellen/Sattelpunkte
Die Nullstellen von $f$ sind Extremstellen/Sattelpunkte der Funktion $F$.
Wendepunkte
Hat $f$ an einer Stelle $x$ eine Extremstelle, so hat die Funktion $F$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.
Monotonie
  • $F$ monoton wachsend: $f(x)\geq0$ (strenge monoton, wenn $f(x)>0$)
  • $F$ monoton fallend: $f(x)\leq0$ (streng monoton $f(x)<0$).

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x(x+3)^2$. Bestimme Eigenschaften der Stammfunktion $F$ von $f$.
  • Extremstellen/Sattelpunkte:
    • Nullstelle bei $x=0$ $\rightarrow$ $F$ hat an der Stelle $x=0$ einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$)
    • Doppelte Nullstelle bei $x=-3$ $\rightarrow$ $F$ hat einen Sattelpunkt an der Stelle $x=-3$ (kein Vorzeichenwechsel)
  • Wendepunkte:
    • Tiefpunkt bei $x=-1 \rightarrow$ $F$ hat an der Stelle $x=-1$ einen Wendepunkt
    • Hochpunkt bei $x=-3 \rightarrow$ $F$ hat an der Stelle $x=-3$ einen Wendepunkt
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Aufgaben
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1.
Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion $f$.
$F$ ist eine Stammfunktion von $f$.
Eigenschaften von Kurven: Funktion gegeben
Eigenschaften von Kurven: Funktion gegeben
a)
Welche Aussagen über $F$ ergeben sich daraus im Bereich $-2<x<7$ hinsichtlich
  • Extremstellen
  • Wendestellen
  • Nullstellen?
Begründe deine Antworten.
b)
Begründe, dass $F\left(6\right)-F\left(2\right)>1$ gilt.
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Lösungen
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1.
Begründen der Aussagen
a)
Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, heißt das, dass $f$ die Ableitung der Funktion $F$ ist.
$F$ besitzt überall dort Extremstellen, wo die Ableitung $f$ Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) besitzt, also an den Stellen $x=-1$ und $x=2$.
$F$ besitzt überall dort Wendestellen, wo die Ableitung $f$ Extremstellen hat. Dies ist an der Stelle $x=0$ der Fall.
Wenn $G$ eine weitere Stammfunktion von $f$ ist, gilt allgemein $F(x)=G(x)+c$ (Unbestimmtheit der Stammfunktion). Für unsere Stammfunktion bedeutet das:
Wir können zwar Aussagen machen, an welchen Stellen die Stammfunktion Extremstellen bzw. Wendestellen hat, allerdings nicht über die $y$-Koordinaten dieser Punkte (der Wert $c$ verschiebt nämlich das Schaubild von $F$ beliebig in $y$-Richtung). Über mögliche Nullstellen von $F$ lassen sich daher keine Aussagen treffen.
b)
Die Differenz $F(6)-F(2)$ bezeichnet ein Integral über der Funktion $f$. Es gilt nämlich:
$F(6)-F(2)=\displaystyle\int\limits_{2}^{6}f(x)\,dx$.
Dieses Integral beschreibt den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse und zwar im Bereich von $x=2$ bis $x=6$. Wir können diesen Flächeninhalt durch Auszählen der Kästchen grob bestimmen, er umfasst etwa 2 Kästchen mit je 1 FE Flächeninhalt, insgesamt also etwa 2 FE.
Damit ist $F(6)-F(2)\approx2>1$ und die Aussage ist begründet.
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