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Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Spickzettel
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Bei einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen wird ein mehrstufiges Zufallsexperiment betrachtet, wie beispielsweise das Ziehen aus einer Urne, wobei die Kugeln nach dem Ziehen nicht wieder zurückgelegt werden. Dabei bedeutet „ungeordnet“, dass nicht beachtet wird welche Kugel in welchem Zug gezogen wurde, sondern nur die Anzahl der Kugeln der jeweiligen Farbe gezählt wird.
Es geht also darum $k$ Objekte ohne Beachtung der Reihenfolge auf $n$ Plätze zu verteilen. $n$ ist also die Anzahl der Stufen und $k$ die Anzahl der Objekte die verteilt werden sollen. Dann ergibt sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse ohne Beachtung der Reihenfolge wie folgt:
$\left|\Omega\right| = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$
$\left|\Omega\right| = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$

Beispiel

Betrachte das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen, in der 5 rote und 2 schwarze Kugeln liegen. Wir berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass in 3 Zügen genau zwei rote Kugeln gezogen werden. Dabei interessiert nicht in welchen Zügen die jeweiligen Kugeln gezogen wurden.
Es gilt: $k = 2$ und $n = 3 $, da $3$ Kugeln gezogen werden. Damit gibt es $\binom{n}{k} = \binom{3}{2} = 3$ Möglichkeiten. Durch Abzählen erhältst du dasselbe Ergebnis: $\color{#dc1400}{\text{rot-rot}}\text{-schwarz}$, $\color{#dc1400}{\text{rot}}\text{-schwarz-}\color{#dc1400}{\text{rot}}$ oder $\text{schwarz-}\color{#dc1400}{\text{rot-rot}}$
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1.
Berechne:
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {10} \\ 4 \\ \end{array}} \right)$, $\left( {\begin{array}{*{20}c} {30} \\ 12 \\ \end{array}} \right)$, $\left( {\begin{array}{*{20}c} {25} \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ und $\left( {\begin{array}{*{20}c} {66} \\ 66 \\ \end{array}} \right)$
2.
In einer Urne befinden sich $20$ nummerierte Kugeln (Zahlen $1$ bis $20$). Es werden gleichzeitig $4$ Kugeln aus der Urne gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
a)
A: Alle Zahlen sind durch $2$ teilbar.
b)
B: Alle Zahlen sind durch $5$ teilbar.
c)
C: Die Summe der vier Zahlen ist kleiner als $13$.
d)
D: Das Produkt der vier Zahlen ist genau $20$.
3.
In einer Urne sind $8$ schwarze, $6$ rote, und $4$ gelbe Kugeln. Es werden $3$ Kugeln gleichzeitig gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
a)
A: Alle Kugeln sind rot.
b)
B: Alle Kugeln haben dieselbe Farbe.
c)
C: $2$ Kugeln sind schwarz, eine ist gelb.
d)
D: Es ist keine schwarze Kugel dabei.
e)
E: Es ist mindestens eine Kugel gelb.
f)
F: Von jeder Farbe ist eine Kugel dabei.
4.
In einem Karton sind $25$ Weingläser. Davon haben fünf Stück durch den Transport einen Sprung im Glas bekommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse, wenn drei Weingläser ohne hinzusehen herausgegriffen werden?
a)
A: Alle drei Weingläser sind in Ordnung.
b)
B: Genau ein Weinglas hat einen Sprung.
c)
C: Genau zwei Weingläser haben einen Sprung.
5.
Martin hat im Urlaub die Schweizerin Anja kennengelernt. Aus dem Urlaub zurück, fällt ihm auf, dass er gar nicht weiß, wo sie wohnt. Er weiß nur, dass sie ihr Zuhause irgendwo in der Schweiz hat.
Fabian behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig an eine Tür in der Schweiz zu klopfen (es gibt ungefähr $3,3$ Millionen Haushalte in der Schweiz) und Anja wieder zu treffen größer ist als einen $6$er im Lotto ($6$ aus $49$) zu haben.
Was meinst du dazu?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau $5$ Richtige im Lotto?
6.
$20$ Jugendliche treffen sich zum Fußball spielen. Unter ihnen auch Simon, Alex und Sven. Sie beschließen $4$ gleich große Mannschaften zu bilden.
Wie viele verschiedene Mannschaften sind möglich?
Die erste Mannschaft wurde bereits zusammengestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Simon, Alex und Sven in dieser Mannschaft sind?
7.
Ein Prüfling erhält $12$ Themen, aus denen er $5$ auswählen muss.
Wie viele Möglichkeiten hat er, die Themen auszuwählen?
Der Prüfling weiß nicht, dass $4$ der $12$ Themen überdurchschnittlich schwer sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den $5$ ausgewählten Themen genau $3$ schwierige Themen sind?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Themen kein schwieriges Thema ist?
8.
Ein neues EDV-Programm soll zunächst in $10$ Unternehmen getestet werden. $20$ Unternehmen wollen an dem Test teilnehmen, $7$ davon sind Speditionen.
Bestimme die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für die Unternehmen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Auswahl keine Spedition ist?
9.
Der Kader einer Fußballmannschaft besteht aus $8$ Abwehrspielern, $6$ Mittelfeldspielern, $5$ Angriffsspielern und $3$ Torhütern.
Der Trainer entscheidet sich für eine $4$-$3$-$3$ Aufstellung. Das bedeutet, dass $4$ Abwehrspieler, $3$ Mittelfeldspieler, $3$ Angriffsspieler und ein Torhüter auf dem Feld stehen.
Wie viele Möglichkeiten hat der Trainer, seine Mannschaft zusammenzustellen?
Der Trainer will beim heutigen Spiel seine Spieler zufällig zusammenstellen. Unter den Spielern sind auch Simon, Freddy, Martin, Matthias, Alex und Hakan.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
a)
A: Simon und Freddy (Abwehrspieler) sind auf dem Feld.
b)
B: Weder Martin noch Matthias stehen im Tor.
c)
C: Simon und Freddy (Abwehrspieler) und Alex und Hakan (Angriffsspieler) stehen auf dem Feld.
10.
Der Japanisch-Kurs des Albert-Ludwig-Gymnasiums will einen Austausch zwischen Deutschland und Japan vornehmen. Zuerst wollen die deutschen Schüler die japanischen Schüler besuchen. Allerdings können nur $12$ der $20$ Japanisch-Kurs Mitglieder in einer Gastfamilie untergebracht werden. Von den Gastfamilien wollen $8$ einen Jungen aufnehmen und nur $4$ ein Mädchen. Dreiviertel der Japanisch-Kurs-Teilnehmer sind männlich.
a)
Wie viele verschiedene Zusammenstellungen der $12$er-Gruppe sind möglich?
b)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die aus $20$ Kursmitgliedern zufällig ausgewählten $12$ Schüler auf die Gastfamilien in Japan zu verteilen?
c)
Aus bisher ungeklärten Gründen hat eine Familie, die einen Jungen aufnehmen wollte, ihre Einladung zurückgezogen. Dafür sind aber $2$ der Familien bereit, einen zweiten Jungen aufzunehmen. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, die 8 männlichen Gruppenmitglieder auf die für sie verbleibenden $7$ Gastfamilien zu verteilen?
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Lösungen
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1.
Binomialkoeffizienten berechnen
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {10} \\ 4 \\ \end{array}} \right)=\dfrac{10!}{(10-4)!\cdot4!}=210$
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {30} \\ 12 \\ \end{array}} \right)=\dfrac{30!}{(30-12)!\cdot12!}=86493225$
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {25} \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\dfrac{25!}{(25-1)!\cdot1!}=25$
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {66} \\ 66 \\ \end{array}} \right)=\dfrac{66!}{(66-66)!\cdot66!}=1$ (Beachte: $0!:=1$)
2.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Anzahl aller möglichen Fälle, wenn von 20 Kugeln 4 gezogen werden, ist:
$\left(\begin{array}{c} 20\\ 4\\ \end{array}\right)=4845$
a)
Wenn alle Zahlen durch $2$ teilbar sein sollen, dann gibt es 10 mögliche Zahlen $(2,4,6,…,18,20)$.
Es gibt damit insgesamt
$\left(\begin{array}{c} 10\\ 4\\ \end{array}\right)$ günstige Fälle.
Damit ist:
$P(A)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 10\\ 4\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 20\\ 4\\ \end{array}\right)}=\dfrac{210}{4845}\approx0,0433\mathrel{\widehat{=}}4,33\%$
$P(A)=4,33\%$
b)
Wenn alle Zahlen durch $5$ teilbar sein sollen, dann gibt es dafür 4 mögliche Zahlen $(5,10,15,20)$.
Es gibt damit insgesamt $\left(\begin{array}{c} 4\\ 4\\ \end{array}\right)=1$ günstigen Fall. Damit ist:
$P(B)=\dfrac{1}{4845}$
c)
Wenn die Summe der Zahlen kleiner als $13$ sein soll, gibt es dafür $4$ günstige Fälle, also
C=$\left\{(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5)\right\}$
$ C=… $
Damit ist:
$P(C)=\dfrac{4}{4845}$
d)
Das Produkt kann nie genau gleich 20 sein, da schon
$1\cdot2\cdot3\cdot4=24$ ergibt. Damit ist:
$P(D)=0$
3.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wenn von 18 Kugeln $3$ gezogen werden, ist die Anzahl aller möglichen Ausfälle
$\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)=816$
a)
Werden von $6$ roten Kugeln $3$ gezogen, ergibt das $\left(\begin{array}{c} 6\\ 3\\ \end{array}\right)=20$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(A)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 6\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)}=\dfrac{20}{816}\approx0,0245\mathrel{\widehat{=}}2,45\%$
$P(A)=2,45\%$
b)
Werden von $8$ schwarzen (s) Kugeln $3$ gezogen, ergibt das $\left(\begin{array}{c} 8\\ 3\\ \end{array}\right)=56$ günstige Ausfälle.
Werden von $6$ roten (r) Kugeln $3$ gezogen, ergibt das $\left(\begin{array}{c} 6\\ 3\\ \end{array}\right)=20$ günstige Ausfälle.
Werden von $4$ gelben (g) Kugeln $3$ gezogen, ergibt das $\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\\ \end{array}\right)=4$ günstige Ausfälle.
Damit ist:
$P(B)=P(\text{sss})+P(\text{rrr})+P(\text{ggg})=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 8\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)}+\dfrac{\left(\begin{array}{c} 6\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)}+\dfrac{\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)}$
$=\dfrac{56}{816}+\dfrac{20}{816}+\dfrac{4}{816}=\dfrac{80}{816}\approx0,098\mathrel{\widehat{=}}9,8\%$
$P(B)=9,8\% $
c)
Werden von $8$ schwarzen Kugeln $2$ gezogen, ergibt das $\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)=28$ günstige Ausfälle.
Von $4$ gelben Kugeln $1$ Kugel zu ziehen ergibt $\left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ \end{array}\right)=4$ günstige Ausfälle.
Insgesamt damit $\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ \end{array}\right)=112$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(C)=\dfrac{112}{816}\approx0,1373\approx13,73\%$
d)
Es gibt insgesamt $10$ nicht-schwarze Kugeln, von denen 3 gezogen werden müssen. Es ergeben sich also
$\left(\begin{array}{c} 10\\ 3\\ \end{array}\right)=120$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(D)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 10\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)}=\dfrac{120}{816}\approx0,1471\approx14,71\%$
$P(D)\approx14,71\% $
e)
Das Gegenereignis von $E$ ist $\overline{E}:$ „keine gelbe Kugel wird gezogen“. Es bleiben damit noch
$\left(\begin{array}{c} 14\\ 3\\ \end{array}\right)=364$ günstige Ausfälle des Zufallsexperiments. Damit ist:
$P(E)=1-P(\overline{E})=1-\dfrac{\left(\begin{array}{c} 14\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 18\\ 3\\ \end{array}\right)}=1-\dfrac{364}{816}\approx1-0,4461=0,5539\mathrel{\widehat{=}}55,39\%$
$P(E)=55,39\%$
f)
Ähnlich wie bei Ereignis $C$ gibt es nun
$\left(\begin{array}{c} 8\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ \end{array}\right)=8\cdot6\cdot4=192$
$\left(\begin{array}{c} 8\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 6\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 4\\ 1\\ \end{array}\right)=192$
günstige Ausfälle.
Damit ist $P(F)=\dfrac{192}{816}\approx0,2353\mathrel{\widehat{=}}23,53\%$
4.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wenn von 25 Weingläsern 3 aus dem Karton herausgenommen werden, dann gibt es insgesamt $\left(\begin{array}{c} 25\\ 3\\ \end{array}\right)=2300$ mögliche Ausfälle des Zufallsexperiments.
a)
Es gibt $25-5=20$ Weingläser, die in Ordnung sind. Von $20$ Weingläsern, die in Ordnung sind, 3 herauszunehmen, ergibt $\left(\begin{array}{c} 20\\ 3\\ \end{array}\right)=1140$ günstige Ausfälle.
Damit ist:
$P(A)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 20\\ 3\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 25\\ 3\\ \end{array}\right)}=\dfrac{1140}{2300}\approx0,4957\mathrel{\widehat{=}}49,57\%$
$P(A)=49,57\%$
b)
Aus $20$ ganzen Weingläsern $2$ herauszunehmen, ergibt $\left(\begin{array}{c} 20\\ 2\\ \end{array}\right)=190$ günstige Ausfälle.
Aus $5$ kaputten Weingläsern $1$ herauszunehmen ergibt $\left(\begin{array}{c} 5\\ 1\\ \end{array}\right)=5$ günstige Ausfälle.
Insgesamt also $\left(\begin{array}{c} 20\\ 2\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5\\ 1\\ \end{array}\right)=950$.
Damit ist:
$P(B)=\dfrac{950}{2300}\approx0,413\mathrel{\widehat{=}}41,3\%$
c)
Aus $20$ Weingläsern, die in Ordnung sind, $1$ herauszunehmen ergibt $\left(\begin{array}{c} 20\\ 1\\ \end{array}\right)=20$ günstige Ausfälle.
Aus $5$ kaputten Weingläsern $2$ herauszunehmen ergibt $\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ \end{array}\right)=10$ günstige Ausfälle.
Insgesamt also $\left(\begin{array}{c} 20\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5\\ 2\\ \end{array}\right)=200$
Damit ist:
$P(C)=\dfrac{200}{2300}\approx0,087\mathrel{\widehat{=}}8,7\%$
5.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, zufällig das Haus/die Wohnung von Anja zu erwischen, ist $P(\text{„Anjas Haus“})=\dfrac{1}{3\,300\,000}$.
Beim Lotto $6$ aus $49$ gibt es insgesamt $\left(\begin{array}{c} 49\\ 6\\ \end{array}\right)=13\,983\,816$ mögliche Ausfälle des Zufallsexperiments.
Die Wahrscheinlichkeit für $6$ Richtige ist dann
$P(\text{„6 Richtige“})=\dfrac{1}{13\,983\,816}$.
Damit hat Fabian mit seiner Aussage recht, denn:
$P(\text{„Anjas Haus“})=\dfrac{1}{3\,300\,000}>\dfrac{1}{13\,983\,816}=P(\text{„6 Richtige“})$
$P(\text{„Anjas Haus“})=… $
Für $5$ Richtige müssen $5$ der getippten Zahlen richtig sein, die anderen sind beliebig.
Damit gibt es insgesamt $\left(\begin{array}{c} 6\\ 5\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 43\\ 1\\ \end{array}\right)=258$ günstige Fälle.
Es ist:
$P(\text{„5 Richtige“})=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 6\\ 5\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 43\\ 1\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} 49\\ 6\\ \end{array}\right)}=\dfrac{43}{2330636}$
$P(\text{„5 Richtige“})=\dfrac{43}{2330636}$
Damit ist:
$P(\text{„5 Richtige“})\\>P(\text{„Anjas Haus“})\\>P(\text{„6 Richtige“}).$
6.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Die Mannschaften sollen gleich groß sein, also aus je 5 Spielern bestehen. Gesucht ist die Anzahl der verschiedenen Mannschaften.
Betrachte dazu: Wie viele Möglichkeiten gibt es, zufällig 5 aus 20 Spielern auszuwählen:
$\left( {\begin{array}{*{20}c} {20} \\ 5 \\ \end{array}} \right)=15504$ verschiedene Mannschaften sind denkbar.
Wenn Simon, Alex und Sven in der Mannschaft sein sollen, gibt es dafür$\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ \end{array}\right)=1$ günstigen Ausfall.
Für die $2$ weiteren Spieler der Mannschaft gibt es noch $\left(\begin{array}{c} 17\\ 2\\ \end{array}\right)=136$ günstige Ausfälle. Damit ergeben sich insgesamt
$\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 17\\ 2\\ \end{array}\right)=136$ günstige Ausfälle.
Das Ereignis, dass Simon, Alex und Sven in einer Mannschaft sind, sei $A$. Dann ist:
$P(A)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 3\\ 3\\ \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 17\\ 2\\ \end{array}\right)}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {20} \\ 5 \\ \end{array}} \right)}=\dfrac{136}{15504}\approx0,0088$
$P(A)\approx0,0088$
7.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Es gibt $\left( {\begin{array}{*{20}c} {12} \\ 5 \\ \end{array}} \right)=792$ Möglichkeiten, sich die Themen zusammenzustellen.
Aus den $12$ Themen gibt es $8$ einfache Themen und $4$ schwere. Die Wahrscheinlichkeit, genau 3 schwere Themen auszuwählen sei $A$.
Es gibt $\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\\ \end{array}\right)=4$ günstige Ausfälle, die schweren Themen auszuwählen und $\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)=28$ günstige Ausfälle für die leichteren Themen.
Insgesamt also $\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)=112$ günstige Ausfälle für $A$. Damit ist:
$P(A)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {12} \\ 5 \\ \end{array}} \right)}=\dfrac{112}{792}\approx0,1414\mathrel{\widehat{=}}14,14\%$
$P(A)=14,14\% $
Das Ereignis, dass keines der schweren Themen ausgewählt wird sei $B$. Für $B$ gibt es $\left(\begin{array}{c} 8\\ 5\\ \end{array}\right)=56$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(B)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 8\\ 5\\ \end{array}\right)}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {12} \\ 5 \\ \end{array}} \right)}=\dfrac{56}{792}\approx0,0707\mathrel{\widehat{=}}7,07\%$
$P(B)=7,07\%$
8.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Es gibt insgesamt $\left( {\begin{array}{*{20}c} {20} \\ {10} \\ \end{array}} \right)=184\,756$ Möglichkeiten, die Unternehmen auszuwählen.
Es gibt $20-7=13$ Unternehmen,die keine Speditionen sind. $A$ sei das Ereignis, dass keine Spedition in der Auswahl ist.
Für $A$ gibt es $\left(\begin{array}{c} 13\\ 10\\ \end{array}\right)=286$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(A)=\dfrac{\left(\begin{array}{c} 13\\ 10\\ \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{*{20}c} {20} \\ {10} \\ \end{array} \right)}=\dfrac{286}{184756}\approx0,0015$
9.
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Der Trainer wählt $4$ der $8$ Abwehrspieler, $3$ der $6$ Mittelfeldspieler, $3$ der $5$ Angriffsspieler und einen der $3$ Torhüter aus.
Es gibt $\left( {\begin{array}{*{20}c} {8} \\ {4} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {5} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)=42000$ verschiedene Möglichkeiten der Mannschaftsverteilung.
A:   Wenn Simon und Freddy auf dem Spielfeld sind, bleiben dem Trainer für die weiteren $2$ Abwehrspieler nur noch $\left(\begin{array}{c} 6\\ 2\\ \end{array}\right)=15$ günstige Ausfälle.
Damit ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von:
$P(A)=\dfrac{\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {2} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {5} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {8} \\ {4} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {5} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)}=\dfrac{9000}{42000}\approx0,2143\mathrel{\widehat{=}}21,43\%$
$P(A)=21,43\%$
B:   Wenn weder Martin noch Matthias im Tor stehen, bleibt nur noch $1$ Torwart übrig. Damit ergibt sich:
$P(B)=\dfrac{\left( {\begin{array}{*{20}c} {8} \\ {4} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {5} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {1} \\ {1} \\ \end{array}} \right)}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {8} \\ {4} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {5} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)}=\dfrac{14000}{42000}\approx0,3333\mathrel{\widehat{=}}33,33\%$
$P(B)=33,33\% $
C:   Wenn Simon und Freddy (Abwehrspieler) und Alex und Hakan (Angriffspieler) auf dem Feld stehen sollen, gibt es für die Verteilung der anderen $3$ Angriffsspieler nur noch
$\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ \end{array}\right)=3$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(C)=\dfrac{\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {2} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)}{\left( {\begin{array}{*{20}c} {8} \\ {4} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {6} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {5} \\ {3} \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}c} {3} \\ {1} \\ \end{array}} \right)}=\dfrac{27000}{42000}\approx0,0643\mathrel{\widehat{=}}6,43\%$
$P(C)=6,43\%$
10.
Kombinationen berechnen
a)
Die $12$ Teilnehmer des Austausches werden aus $20$ Kursmitgliedern ausgewählt. Da Dreiviertel männlich sind, gibt es also $15$ Jungen und $5$ Mädchen.
Demnach müssen $15$ Jungen auf $8$ Gastfamilien und $5$ Mädchen auf $4$ Gastfamilien verteilt werden. Für die Zusammenstellung der Gruppe gibt es also
$\left(\begin{array}{c} 15\\ 8\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 5\\ 4\\ \end{array}\right)=32175$ Möglichkeiten, die $12$er-Gruppe zusammenzustellen.
b)
Da es $8$ Familien gibt, die einen Jungen aufnehmen würden, können alle $8$ Jungen in der $12$er-Gruppe auf die $8$ Familien aufgeteilt werden. Es ergeben sich für die Familien mit Jungen $8!=40320$ Möglichkeiten.
Da es $4$ Familien gibt, die ein Mädchen aufnehmen würden, können auch hier alle $4$ Mädchen in der $12$er-Gruppe auf die $4$ Familien verteilt werden. Es ergeben sich für die Familien mit Mädchen $4!=24$ Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es also $8!\cdot4!=40320\cdot24=967680$ Möglichkeiten der Verteilung.
c)
Da eine Familie abspringt, gibt es jetzt nur noch $7$ Familien für $8$ Jungen. Allerdings sind nur $2$ der Familien bereit, einen weiteren Jungen aufzunehmen. Dafür gibt es also $2$ Möglichkeiten.
Es gibt außerdem $\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)=28$ Möglichkeiten, $2$ Jungen aus den $8$ auszuwählen, die zusammen in eine Familie gehen.
Die restlichen $6$ Jungen können dann noch auf die restlichen $6$ Familien aufgeteilt werden. Also nochmal $6!$ Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es $2\cdot\left(\begin{array}{c} 8\\ 2\\ \end{array}\right)\cdot6!$=$40320$ Möglichkeiten für die Aufteilung der $8$ männlichen Gruppenteilnehmer auf die verbleibenden $7$ Gastfamilien.
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