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Gerade - Gerade
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Signifikanztest
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Zweiseitiger Test

Relative und absolute Häufigkeit

Spickzettel
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Absolute Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit $\color{#87c800}{H_n(A)}$ gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei einem Zufallsexperiment eintritt. Als Anzahl ist sie eine natürliche Zahl zwischen Null und der Gesamtzahl der Versuche $n$.

Relative Häufigkeit

Um einzuschätzen, ob die absolute Häufigkeit groß oder klein ist, gibt es die relative Häufigkeit $\color{#87c800}{h_n(A)}$. Mit ihr wird die absolute Häufigkeit in Bezug (Relation) zur Versuchsgröße gesetzt:
$\small{\text{relative Häufigkeit}}$ $=$ $\dfrac{\small{\text{absolute Häufigkeit}}}{\small{\text{Anzahl der Versuche}}}$$\quad$ oder $\quad$$h_n(A)=\dfrac{H_n(A)}{n}$
$\small{\text{relative Häufigkeit}}$ $=$ $\dfrac{\small{\text{absolute Häufigkeit}}}{\small{\text{Anzahl der Versuche}}}$$\quad$ oder $\quad$$h_n(A)=\dfrac{H_n(A)}{n}$

Beispiel

Ein gewöhnlicher Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 wird 300 mal geworfen. Dabei fällt der Würfel 42 mal auf die 3.
$\Rightarrow$  Die absolute Häufigkeit beträgt $H_{300}(3)=42$.
$\Rightarrow$  Die relative Häufigkeit beträgt $h_{300}(3)=\dfrac{42}{300}=0,14=14\%$.
In 14% der Fälle ist der Würfel also auf die 3 gefallen.
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Aufgaben
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1.
Bei einer Umfrage in einer zwölften Jahrgangsstufe wurden 120 Schüler befragt. Die Ergebnisse der Umfrage sind in der folgenden Tabelle dargestellt. Bestimme die relativen Häufigkeiten.
Frage Anzahl der Schüler, die mit Ja geantwortet haben relative Häufigkeit
A: Besitzt du ein Handy? 115
B: Hast du den Führerschein? 66
C: Besitzt du ein Auto? 23
D: Besitzt du einen Internetanschluss? 110
E: Kennst du SchulLV? 120
$ ERGEBNIS- TABELLE $
2.
Das Zufallsexperiment „Würfeln“ wurde $300$-mal durchgeführt. Die Ergebnisse wurden von links nach rechts aufgeschrieben.
2616516225 6123326546 1115364452 6363236551 5266646654 3132332413
6461132642 1466256322 4116132654 2224121656 4442565431 3321442531
6261353246 3241115615 1622663626 4543354621 1434234554 3533252265
6624236435 2263532553 3345533125 6531411133 5456532231 2136364235
6523236126 1346536655 3326565323 6333645416 6223214236 4316151654
$ ERGEBNIS- TABELLE $
Trage in die Tabelle die relative Häufigkeit der Ergebnisse aus $\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$ ein.
Ergebnis Anzahl relative Häufigkeit
Augenzahl ist 1 42
Augenzahl ist 2 53
Augenzahl ist 3 60
Augenzahl ist 4 39
Augenzahl ist 5 46
Augenzahl ist 6 60
$ ERGEBNIS- TABELLE $
3.
Timo und David streiten sich, wer der bessere Elfmeterschütze sei.
Timo: „In der letzten Saison habe ich 8 von 11 Elfmetern versenkt.“
David: „Ach was, da war ich besser! Ich habe 5 von 7 Elfmetern verwandelt.“
Wer ist nun der sicherere Elfmeterschütze?
4.
Bei einer Klassenarbeit wurden folgende Noten geschrieben:
Note 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit 3 6 8 9 4 2
$ ERGEBNIS- TABELLE $
a)
Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses A: „Die Note ist schlechter als 4.“
b)
Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses B: „Die Note ist $2$ oder besser.“
c)
Beschreibe $\overline{A}$ und $\overline{B}$ und bestimme die relativen Häufigkeiten $h_{32}(\overline{A})$ und $h_{32}(\overline{B})$
5.
Auf dem Oktoberfest werden die Besucher für statistische Zwecke gezählt. In einem Festzelt befinden sich 325 männliche Besucher M, 244 weibliche Besucher F und 15 Bedienungen B. Würde man zufällig eine Person aus dem Zelt auswählen, so beschreibt die Ergebnismenge $\Omega=\left\{M;F;B\right\}$ dieses Zufallsexperiment.
a)
Welche Ereignisse, außer den Elementarereignissen sind denkbar? Gib alle Ereignisse in aufzählender und in verbaler Beschreibung an.
b)
Stelle eine Tabelle auf, in der jedem Ereignis (also nicht nur jedem Elementarereignis!) seine relative Häufigkeit zugewiesen wird.
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Lösungen
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1.
Relative Häufigkeiten bestimmen:
Frage Anzahl der Schüler die mit Ja geantwortet haben relative Häufigkeit
A: Besitzen Sie ein Handy? 115 $h_{120}(A)=\dfrac{115}{120}\approx0,958\mathrel{\widehat{=}}95,8\%$
B: Haben Sie den Führerschein? 66 $h_{120}(B)=\dfrac{66}{120}=0,55\mathrel{\widehat{=}}55\%$
C: Besitzen Sie ein Auto? 23 $h_{120}(C)=\dfrac{23}{120}\approx0,192\mathrel{\widehat{=}}19,2\%$
D: Besitzen Sie einen Internetanschluss? 110 $h_{120}(D)=\dfrac{110}{120}\approx0,917\mathrel{\widehat{=}}91,7\%$
E: Kennen sie MatheLV? 120 $h_{120}(E)=\dfrac{120}{120}=1\mathrel{\widehat{=}}100\%$
$ ERGEBNIS-TABELLE $
2.
Relative Häufigkeiten bestimmen:
Ergebnis Anzahl relative Häufigkeit
Augenzahl ist 1 42 $h_{300}(1)=\dfrac{42}{300}=0,14$
Augenzahl ist 2 53 $h_{300}(2)=\dfrac{53}{300}\approx0,177$
Augenzahl ist 3 60 $h_{300}(3)=\dfrac{60}{300}=0,20$
Augenzahl ist 4 39 $h_{300}(4)=\dfrac{39}{300}=0,13$
Augenzahl ist 5 46 $h_{300}(5)=\dfrac{46}{300}\approx0,153$
Augenzahl ist 6 60 $h_{300}(6)=\dfrac{60}{300}=0,20$
$ ERGEBNIS- TABELLE $
3.
Relative Häufigkeiten bestimmen:
Bestimmt man den Anteil der geschossenen Tore im Verhältnis zu den geschossene Elfmetern,
so kommt man bei Timo auf:
$h_{11}(\text{Timo})=\dfrac{8}{11}\approx0,727\mathrel{\widehat{=}}72,7\%$
und bei David auf:
$h_7(\text{David})=\dfrac{5}{7}\approx0,714\mathrel{\widehat{=}}71,4\%$
Somit ist Timo der bessere Schütze.
4.
Relative Häufigkeiten bestimmen:
Note 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit 3 6 8 9 4 2
$ ERGEBNIS- TABELLE $
a)
Es gilt: $h_{32}(A)=\dfrac{4+2}{32}=0,1875$
b)
Es gilt: $h_{32}(B)=\dfrac{3+6}{32}=0,28125$
c)
Das Gegenereignis $\overline{A}$ lässt sich beschreiben durch: „Die erzielte Note ist eine 4 oder besser.“, alternativ wäre auch „die erzielte Note ist besser als fünf.“ möglich. Nach dem Satz des Gegenereignisses gilt:
$h_{32}(\overline{A})=1-h_{32}(A)=1-0,1875=0,8125$
$h_{32}(\overline{A})=… $

Alternativ kann man auch $h_{32}(\overline{A})=\dfrac{3+6+8+9}{32}=0,8125$ rechnen.
Das Gegenereignis $\overline{B}$ lässt sich beschreiben durch: „Die erzielte Note ist schlechter als zwei.“, alternativ wäre auch „die erzielte Note ist eine 3 oder schlechter.“ möglich. Nach dem Satz des Gegenereignisses gilt:
$h_{32}(\overline{B})=1-h_{32}(B)=1-0,28125=0,71875$
$h_{32}(\overline{B})= … $

Alternativ kann man auch $h_{32}(\overline{B})=\dfrac{8+9+4+2}{32}=0,71875$ rechnen.
5.
Ereignisse und relative Häufigkeiten bestimmen:
a)
Für die verbale Beschreibung gibt es mehrere Möglichkeiten, hier ist eine mögliche Lösung angegeben:
$F=\left\{ f \right\}$ Die Person ist eine weibliche Besucherin
$M=\left\{m\right\}$ Die Person ist ein männlicher Besucher
$B=\left\{b\right\}$ Die Person ist eine Bedienung
$FB=\left\{f;b\right\}$ Die Person ist kein männlicher Besucher
$FM=\left\{f;m\right\}$ Die Person ist keine Bedienung
$MB=\left\{m;b\right\}$ Die Person ist keine weibliche Besucherin
$\Omega=\left\{f;m;b\right\}$ Die Person ist ein Besucher oder eine Bedienung
$\emptyset$ Die Person ist weder ein Besucher noch eine Bedienung
b)
Die Häufigkeitsverteilung hat folgende Gestalt:
Ereignis Relative Wahrscheinlichkeit
F $\frac{244}{584}\approx0,418\mathrel{\widehat{=}}41,8\%$
M $\frac{325}{584}\approx0,557\mathrel{\widehat{=}}55,7\%$
B $\frac{15}{584}\approx0,026\mathrel{\widehat{=}}2,6\%$
FB $\frac{259}{584}\approx0,443\mathrel{\widehat{=}}44,3\%$
FM $\frac{569}{584}\approx0,974\mathrel{\widehat{=}}97,4\%$
MB $\frac{340}{584}\approx0,582\mathrel{\widehat{=}}58,2\%$
$\Omega$ $\frac{584}{584}=1\mathrel{\widehat{=}}100\%$
$\emptyset$ 0
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