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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
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Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
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Ganzrationale Funktio...
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Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
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Gleichungslehre
Gleichungen
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Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
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Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
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Angewandte Integrale
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Maximales Volumen
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Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
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Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
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Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
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Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
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Geraden im Raum
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Vermischte Aufgaben
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Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
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Interpretation von LG...
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Rechnen mit Matrizen
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Matrix invertieren
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Übergangsmatrix
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Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
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Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
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Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Ganzrationale Funktionen

Spickzettel
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Du kannst eine ganzrationale Funktion auf folgende Eigenschaften überprüfen:
EigenschaftMethode
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $(x_0\mid y_0)$x-Achse:
Nullstelle bestimmen, d.h. $y_0 = 0$, setze also $f(x_0)=0$ und löse nach $x_0$ auf
y-Achse:
Funktionswert an der Stelle $x_0 = 0$ berechnen, also $y_0 = f(0)$
Extrempunkt $(x_E\mid y_E)$
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Hochpunkt: $f''(x_E) < 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $+$ nach $-$
    • Tiefpunkt: $f''(x_E) > 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $-$ nach $+$
Wendepunkt $(x_W\mid y_W)$
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ in $x_W$
Graph skizzieren Verwende zum Skizzieren markante Stellen
z.B. Nullstellen, Hochpunkte, usw.
Symmetrie achsensymmetrisch: $f(x)=f(-x)$
punktsymmetrisch: $-f(x)=f(-x)$
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Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=6x^3-9x^2$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
b)
Bestimme die Extrem- und Wendepunkte von $f$.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Prüfe, ob $K_f$ zum Punkt $P\left(0\mid 1\right)$ symmetrisch ist.
e)
Gegeben ist die Gerade $g$ mit $g\left(x\right)=-3x$.
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit der Geraden $g$.
An welcher Stelle besitzt $f$ die gleiche Steigung wie die Gerade $g$? Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=5x^2+2x+3$ und $g(x)=5x^3-3x+8$.
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
b)
Bestimme die Extrema und Wendepunkte von $K_f$.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Prüfe, ob $K_f$ zur $y$-Achse symmetrisch ist.
e)
Bestimme die Gleichung der Tangente, die das Schaubild von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$-Achse berührt.
3.
Gegeben ist die Funktion $f_k$ mit $f_k\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2-3kx$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen.
b)
Bestimme die Extrema und Wendepunkte von $K_f$. Geben Sie die Ortskurve der Tiefpunkte an.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ für $k=1$ in einem Koordinatensystem.
d)
Beweise, dass $K_f$ achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=3k$ ist.
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Lösungen
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1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=6x^3-9x^2$.
a)
Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f\left(x\right)=0$ setzen und nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rll} 6x^3-9x^2&=&0&\scriptsize{\mid\;:6}\\[5pt] x^3-\dfrac{3}{2}x^2&=&0&\scriptsize{ x^2\; \text{ausklammern}}\\[5pt] x^2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)&=&0\\[5pt] \end{array}$
Nach dem Satz von Nullprodukt ist ein Produkt gleich Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist:
$x_{1,2}=0$
oder
$\begin{array}{rll} x-\dfrac{3}{2}&=&0&\scriptsize{\mid\;+\dfrac{3}{2}}\\[5pt] x_3&=&\dfrac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_{1,2}\left(0\mid\;0\right)$ und $N_3\left(\dfrac{3}{2}\mid\;0\right)$.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x=0$ setzen und ausrechnen
$\begin{array}{rll} 6\cdot0^3-9\cdot0^2&=&f\left(0\right)\\[5pt] 0&=&f\left(0\right)\\[5pt] \end{array}$
Daraus ergibt sich der Punkt $P\left(0\mid\;0\right)$.
b)
Extrem- und Wendepunkte von $K_f$ bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&6x^3-9x^2\\[5pt] f'\left(x\right)&=&18x^2-18x\\[5pt] f''\left(x\right)&=&36x-18\\[5pt] f'''\left(x\right)&=&36 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Extrempunkte bestimmen: $f'(x)=0$ setzen:
$\begin{array}{rll} 18x^2-18x&=&0&\scriptsize{\mid\;:18}\\[5pt] x^2-x&=&0&\scriptsize{x\;\text{ ausklammern}}\\[5pt] x\left(x-1\right)&=&0 \end{array}$
Nach dem Satz von Nullprodukt ist ein Produkt gleich Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
$x_1=0$
$\begin{array}{rll} x-1&=&0&\scriptsize{\mid\;+1}\\ x_2&=&1 \end{array}$
Hochpunkt oder Tiefpunkt? $x_1=0$ und $x_2=1$ in $f''(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rll} f''\left(0\right)&=&36\cdot0-18&< 0 \rightarrow \text{Hochpunkt}\\[5pt] f''\left(1\right)&=&36\cdot1-18& > 0 \rightarrow \text{Tiefpunkt} \end{array}$
Setze nun die Werte $x_1=0$ und $x_2=1$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein, um jeweils die vollständigen Koordinaten zu bestimmen.
$x_1=0$:
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&6x^3-9x^2\\[5pt] f\left(0\right)&=&6\cdot0^3-9\cdot0^2\\[5pt] f\left(0\right)&=&0 \end{array}$
$x_2=1$:
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&6x^3-9x^2\\[5pt] f\left(1\right)&=&6\cdot1^3-9\cdot1^2\\[5pt] f\left(1\right)&=&-3 \end{array}$
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H(0\mid\;0)$ und der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(1\mid\;-3)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen: $f''(x)=0$ setzen:
$\begin{array}{rll} 36x-18&=&0&\scriptsize{\mid\;+18}\\[5pt] 36x&=&18&\scriptsize{\mid\;:36}\\[5pt] x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$
Echter Wendepunkt?
$x=\dfrac{1}{2}$ in $f'''(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rll} f'''\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&36&\neq 0 \rightarrow \text{echter Wendepunkt} \end{array}$
Setze nun den Wert $x=\dfrac{1}{2}$ in $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&6x^3-9x^2\\[5pt] f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&6\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-9\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\[5pt] f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&\dfrac{6}{8}-\dfrac{9}{4}\\[5pt] f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&-\dfrac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&6x^3-\; … \end{array}$
Der Wendepunkt hat die Koordinaten $W\left(\dfrac{1}{2}\mid\;-\dfrac{3}{2}\right)$.
c)
Anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem skizzieren
d)
Prüfen, ob $K_f$ zum Punkt $P\left(0\mid\;1\right)$ symmetrisch ist
Behauptung: $K_f$ ist punktsymmetrisch zu $P\left(0\mid\;1\right)$
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f\left(x+h\right)+f\left(x-h\right)&=&2y&\\\rightarrow\scriptsize{P(0|1)\;\text{einsetzen}}\\ \Rightarrow\left(h\right)+f\left(-h\right)&=&2\cdot1\\ \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} 6\cdot h^3-9h^2+6\left(-h\right)^3-9\left(-h\right)^2&=&2\\ 6h^3-9h^2-6h^3-9h^2&=&2\\ -18h^2&=&2\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} 6\cdot h^3-9h^2+ … \end{array}$
Dies ist eine falsche Aussage. $h^2$ ergibt immer eine positive Zahl, deshalb ergibt $-18h^2$ immer eine negative Zahl. $-18h^2$ kann also niemals 2 ergeben! Daher ist $K_f$ nicht symmetrisch zum Punkt $P(0|1)$.
e)
Schnittpunkte von $K_f$ mit der Geraden $g$ bestimmen
$\begin{array}{rll} 6x^3-9x^2&=&-3x&\scriptsize{\mid\;+3x}\\[5pt] 6x^3-9x^2+3x&=&0&\scriptsize{x\; \text{ausklammern}}\\[5pt] x\left(6x^2-9x+3\right)&=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 6x^3-9x^2&=\;… \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt gleich Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist:
$x_1=0$
$\begin{array}{rll} 6x^2-9x+3&=&0&\scriptsize{\mid\;:6}\\[5pt] x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}&=&0 \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{2,3}&=&\dfrac{3}{4}\pm\sqrt{\dfrac{9}{16}-\dfrac{1}{2}}\\[5pt] &=&\dfrac{3}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}\\[5pt] &=&\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{1}{4}\\[5pt] x_2&=&\dfrac{1}{2}\\[5pt] x_3&=&1 \end{array}$
$y$-Koordinaten der Schnittpunkte bestimmen:
$\begin{array}{rll} g\left(0\right)&=&0\\[5pt] g\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&-\dfrac{3}{2}\\[5pt] g\left(1\right)&=&-3 \end{array}$
Daraus ergeben sich die drei Punkte $S_1\left(0\mid\;0\right)$, $S_2\left(\dfrac{1}{2}\mid\;-\dfrac{3}{2}\right)$ und $S_3\left(1\mid\;-3\right)$.
$\blacktriangleright$  Stelle von $f$ mit gleicher Steigung suchen
$f'\left(x\right)=-3$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rll} 18x^2-18x&=&-3&\scriptsize{\mid\;+3}\\[5pt] 18x^2-18x+3&=&0&\scriptsize{\mid\;:18}\\[5pt] x^2-x+\dfrac{1}{6}&=&0 \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{12}}\\[5pt] x_1&\approx&0,21\\[5pt] x_2&\approx&0,79 \end{array}$
An den Stellen $x=0,21$ und $x=0,79$ besitzt $K_f$ die Steigung $-3.$
$\blacktriangleright$  Berührpunkte bestimmen
Die Graphen von $f$ und $g$ berühren sich in den Punkten, in denen sie sowohl den gleichen Funktionswert, als auch die gleiche Steigung besitzen.
Für die 1. Ableitungsfunktion gilt jeweils:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 10x+2 \\[5pt] g'(x)&=& 15x^2-3 \end{array}$
Gleichsetzen liefert die Stellen, an denen beide Graphen die gleiche Steigung haben:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&g'(x) \\[5pt] 10x+2&=& 15x^2-3&\quad \scriptsize \mid\;-10x; -2 \\[5pt] 0&=&15x^2-10x-5 &\quad \scriptsize \mid\; :15 \\[5pt] 0&=& x^2-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-\frac{2}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{2}{3}}{2} \right)^2 +\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{1}{9} +\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\pm \sqrt{\frac{4}{9}} \\[5pt] x_1&=& \frac{1}{3}- \frac{2}{3} \\[5pt] &=& -\frac{1}{3}\\[10pt] x_2&=& \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&g'(x) \\[5pt] x_1&=& \frac{1}{3}- \frac{2}{3} \\[5pt] &=& -\frac{1}{3}\\[10pt] x_2&=& \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Überprüfe nun die Funktionswerte an diesen Stellen:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(-\frac{1}{3}\right)&=& 5\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2+2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+3 \\[5pt] &=& \frac{26}{9} \\[10pt] g\left(-\frac{1}{3}\right)&=& 5\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3-3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+8 \\[5pt] &=& \frac{238}{27}\\[10pt] f(1)&=& 5\cdot 1+2\cdot 1+3 \\[5pt] &=& 10 \\[10pt] g(1)&=& 5\cdot 1^3-3\cdot 1+8 \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(-\frac{1}{3}\right)&=& \frac{26}{9} \\[10pt] g\left(-\frac{1}{3}\right)&=& \frac{238}{27}\\[10pt] f(1)&=& 10 \\[10pt] g(1)&=& 10 \end{array}$
Die Graphen von $f$ und $g$ berühren sich im Punkt $P(1\mid 10).$
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8$.
a)
Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f\left(x\right)=0$ setzen und nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8&=&0&\scriptsize{\mid\;\cdot2}\\[5pt] x^3-4x^2-4x+16&=&0\\ \end{array}$
Nullstelle erraten: $x_1=4$
$\begin{array}{rll} f\left(4\right)&=&4^3-4\cdot4^2-4\cdot4+16\\[5pt] &=&64-64-16+16\\[5pt] f\left(4\right)&=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rll} f\left(4\right)&=&4^3-4\cdot4^2-\;… \end{array}$
Polynomdivision:
$\begin{array}{rll} (x^3-4x^2&-4x+16)&:&(x-4)&=&x^2-4\\ -x^3+4x^2\\[5pt] &-4x+16\\ &\;\;4x-16\\[5pt] &\quad\quad\;\;0 \end{array}$
$\begin{array}{rll} (x^3-4x^2-4x+16):\;… \end{array}$
$\begin{array}{rll} x^2-4&=&0&\scriptsize{\mid\;+4}\\[5pt] x^2&=&4&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\[5pt] x_{2,3}&=&\pm2 \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_1\left(4\mid\;0\right)$, $N_2\left(-2\mid\;0\right)$ und $N_3\left(2\mid\;0\right)$.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$x=0$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}\cdot0^3-2\cdot0^2-2\cdot0+8&=&f\left(0\right)\\[5pt] 8&=&f\left(0\right) \end{array}$
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}\cdot0^3-2\cdot0^2-\;… \end{array}$
Daraus ergibt sich der Punkt $P\left(0\mid\;8\right)$.
b)
Extrema und Wendepunkte von $K_f$ bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8\\[5pt] f'\left(x\right)&=&\dfrac{3}{2}x^2-4x-2\\[5pt] f''\left(x\right)&=&3x-4\\[5pt] f'''\left(x\right)&=&3 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Extrema bestimmen: $f'(x)=0$ setzen
$\begin{array}{rll} \dfrac{3}{2}x^2-4x-2&=&0&\scriptsize{\mid\;\cdot\dfrac{2}{3}}\\[5pt] x^2-\dfrac{8}{3}x-\dfrac{4}{3}&=&0\\[5pt] \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{8}{6}\pm\sqrt{\dfrac{64}{36}+\dfrac{4}{3}}\\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\pm\sqrt{\dfrac{28}{9}}\\[5pt] x_1&\approx&-0,43\\[5pt] x_2&\approx&3,1\\[5pt] \end{array}$
Hochpunkt oder Tiefpunkt? $x_1=-0,43$ und $x_2=3,1$ in $f''(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rll} f''\left(-0,43\right)&=&3\cdot\left(-0,43\right)-4&\\\scriptsize{ < 0: \text{Hochpunkt}}\\[5pt] f''\left(3,1\right)&=&3\cdot3,1-4&\\\scriptsize{ > 0: \text{Tiefpunkt}} \end{array}$
Setze nun die Wert von $x$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein, um die vollständigen Koordinaten zu bestimmen.
$x_1=-0,43$:
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8\\[5pt] f\left(-0,43\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot(-0,43)^3-2\cdot(-0,43)^2-2\cdot(-0,43)+8\\[5pt] f\left(-0,43\right)&=&8,5\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-\;… \end{array}$
$x_2=3,1$:
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8\\[5pt] f\left(3,1\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot3,1^3-2\cdot3,1^2-2\cdot3,1+8\\[5pt] f\left(3,1\right)&=&-2,5\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-\;… \end{array}$
Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H(-0,43\mid\;8,5)$. Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(3,1\mid\;-2,5)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen:
$f''(x)=0$ setzen
$\begin{array}{rll} 3x-4&=&0&\scriptsize{\mid\;+4}\\[5pt] 3x&=&4&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] x&=&\dfrac{4}{3} \end{array}$
Echter Wendepunkt?
$x=\dfrac{4}{3}$ in $f'''(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rll} f'''\left(\frac{4}{3}\right)&=3&\scriptsize{\neq0\;\;\\\Rightarrow\;\;\text{Wendepunkt}} \end{array}$
Setze nun $x=\dfrac{4}{3}$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein.
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8\\[5pt] f\left(\dfrac{4}{3}\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{4}{3}\right)^3-2\cdot\left(\dfrac{4}{3}\right)^2-2\cdot\dfrac{4}{3}+8\\[5pt] f\left(\dfrac{4}{3}\right)&=&2,96 \end{array}$
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^3-\;… \end{array}$
Der Wendepunkt hat die Koordinaten $W\left(\dfrac{4}{3}\mid\;2,96\right)$.
c)
Anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem skizzieren
d)
Prüfen, ob $K_f$ zur $y$-Achse symmetrisch ist
Behauptung: $K_f$ ist achsensymmetrisch zu $x=0$
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&f\left(-x\right) \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8&=&\dfrac{1}{2}\left(-x\right)^3-2\left(-x\right)^2-2\left(-x\right)+8\\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8&=&-\dfrac{1}{2}x^3-2x^2+2x+8\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}x^3-2x^2-2x+8=\;… \end{array}$
Dies ist eine falsche Aussage. Die Achsensymmetrie zur $y$-Achse ist also widerlegt.
e)
Gleichung der Tangente bestimmen, die das Schaubild von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$-Achse berührt
Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $P\left(0\mid\;8\right)$
Steigung im Schnittpunkt bestimmen: $f'(0)$ berechnen:
$\begin{array}{rll} f'\left(0\right)&=&\dfrac{3}{2}\cdot0^2-4\cdot0-2\\[5pt] &=&-2 \end{array}$
Allgemeine Tangentengleichung anwenden:
Setze die Koordinaten von $P$ für $u$ und $f(u)$ und die eben berechnete Steigung für $f'(u)$ ein:
$\begin{array}{rll} t:y&=&f'\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right)\\[5pt] &=&-2\left(x+0\right)+8\\[5pt] &=&-2x+8\\[5pt] t:y&=&-2x+8 \end{array}$
Die Tangentengleichung lautet: $t:y=-2x+8$
3.
Gegeben ist die Funktion $f_k$ mit $f_k\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^2-3kx$.
a)
Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f_k\left(x\right)=0$ setzen und nach $x$ auflösen
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}x^2-3kx&=&0&\scriptsize{\mid\;\cdot2}\\[5pt] x^2-6kx&=&0&\scriptsize{\mid\;x}\\[5pt] x\left(x-6k\right)&=&0 \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt gleich 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist:
$\begin{array}{rll} x_1&=&0\\[5pt] x_2&=&6k \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_1\left(0\mid\;0\right)$ und $N_2\left(6k\mid\;0\right)$.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:
$x=0$ setzen und ausrechnen
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}\cdot0^2-3k\cdot0&=&f\left(0\right)\\[5pt] 0&=&f\left(0\right) \end{array}$
Daraus ergibt sich der Punkt
$P\left(0\mid\;0\right)$.
b)
Extrema und Wendepunkte von $K_f$ bestimmen und Ortskurve der Tiefpunkte angeben
$\begin{array}{rll} f_k\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^2-3kx\\[5pt] f_k'\left(x\right)&=&x-3k\\[5pt] f_k''\left(x\right)&=&1 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Extrema bestimmen: $f_k'(x)=0$ setzen
$\begin{array}{rll} x-3k&=&0&\scriptsize{\mid\;+3k}\\[5pt] x&=&3k \end{array}$
Hochpunkt oder Tiefpunkt? $x=3k$ in $f_k''(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rll} f_k''\left(3k\right)&=&1&\scriptsize{>0: \text{Tiefpunkt}} \end{array}$
Setze den Wert $x=3k$ in die Funktionsgleichung von $f_k$ ein, um die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes $T$ zu erhalten.
$\begin{array}{rll} f_k\left(x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^2-3kx\\[5pt] f_k\left(3k\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot(3k)^2-3k\cdot 3k\\[5pt] f_k\left(3k\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot9k^2-9k^2\\[5pt] f_k\left(3k\right)&=&-\dfrac{9}{2}k^2 \end{array}$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T\left(3k\mid\;-\dfrac{9}{2}k^2\right)$.
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen: $f_k''(x)=0$ setzen
$\begin{array}{rll} 1&=&0 \end{array}$
Dies ist eine falsche Aussage. $f_k''(x)$ kann nicht 0 werden, es gibt also auch keinen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$  Ortskurve der Tiefpunkte bestimmen
$y$-Koordinate des Tiefpunktes bestimmen:
$\begin{array}{rll} f_k\left(3k\right)&=&\dfrac{1}{2}\cdot\left(3k\right)^2-3k\cdot3k\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot9k^2-9k^2\\[5pt] f_k\left(3k\right)&=&-\dfrac{1}{2}\cdot9k^2 \end{array}$
Tiefpunkt aufteilen:
$\begin{array}{rll} x&=&3k\\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{2}\cdot9k^2\\ \end{array}$
$x$-Koordinate nach $k$ auflösen:
$\begin{array}{rll} x&=&3k&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] \dfrac{1}{3}x&=&k \end{array}$
$k$ einsetzen in $y$-Koordinate:
$\begin{array}{rll} y&=&-\dfrac{1}{2}\cdot9\left(\dfrac{1}{3}x\right)^2\\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{2}\cdot9\cdot\dfrac{1}{9}x^2\\[5pt] y&=&-\dfrac{1}{2}x^2 \end{array}$
Daraus folgt die Gleichung der Ortskurve:
$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
c)
Anhand der bisherigen Ergebnisse Verlauf von $K_f$ für $k=1$ in Koordinatensystem skizzieren
d)
Beweisen, dass $K_f$ achsensymmetrisch zu $x=3k$ ist
Behauptung: $K_f$ ist achsensymmetrisch zu $x=3k$
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f_k\left(x+h\right)&=&f_k\left(x-h\right)\\[5pt] f_k\left(3k+h\right)&=&f_k\left(3k-h\right) \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}\left(3k+h\right)^2-3k\left(3k+h\right)&=&\dfrac{1}{2}\left(3k-h\right)^2-3k\left(3k-h\right)\\[5pt] \dfrac{1}{2}\left(9k^2+6kh+h^2\right)-9k^2-3kh&=&\dfrac{1}{2}\left(9k^2-6kh+h^2\right)-9k^2+3kh\\[5pt] 4,5k^2+3kh+0,5h^2-9k^2-3kh&=&4,5k^2-3kh+0,5h^2-9k^2+3kh\\[5pt] 4,5k^2+0,5h^2-9k^2&=&4,5k^2+0,5h^2-9k^2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}\left(3k+h\right)^2-\;… \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage. Die Achsensymmetrie zu $x=3k$ ist also bewiesen.
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