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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
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Exponentialfunktionen
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Geraden
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Ebenen im Raum
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Spurpunkte
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Gerade - Gerade
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Ebene - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Geordnete Stichprobe ...
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Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
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Zweiseitiger Test

Ganzrationale Funktionen

Aufgaben
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1.
Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{4}x^2+x$ stellt im Bereich $-3\leq x\leq2,5$ den Querschnitt einer Achterbahn dar.
a)
Skizziere $f$ im angegebenen Intervall in einem Koordinatensystem.
b)
An der Stelle, an der die Kurve mit einer Steigung von $-1$ fällt, werden die Leute in der Achterbahn fotografiert. Bestimme die Stelle, an der das Foto geschossen wird.
c)
Die Leute kreischen immer dann am lautesten, wenn sie sich gerade an einem Punkt befinden, der sich genau zwischen Steigung und Gefälle befindet.
Sie werden also hochgezogen und schreien dann los, wenn es bergab geht.
Wo schreien die Leute am lautesten?
d)
Die Achterbahn wird am Punkt mit der größten Steigung am meisten beschleunigt. Bestimme diesen Punkt.
2.
Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=-x^3+2x$ stellt den Querschnitt eines Gebirges dar.
a)
Skizziere $f$ in einem Koordinatensystem.
b)
Bestimme, in welchen Bereichen das Gebirge steigt bzw. fällt.
c)
In der Kuhle, welche sich zwischen zwei Nullstellen befindet, fließt ein Bach, der das Gebirge ausspült.
Wie breit ist der Fluss? Wie tief ist er an der tiefsten Stelle?
3.
Eine Textilfirma hat einen neuen Hut entworfen. Die Krempe des Hutes lässt sich mit der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{1}{25}x^2$ beschreiben.
a)
Der Hut selbst lässt sich wie folgt skizzieren:
Bei $x_{1,2}=\pm2,5$ schneiden sich die beiden Funktionen. Die höchsten Stellen des Hutes befinden sich bei $H_{1,2}\left(\pm1,5\mid 4,25\right)$.
Die Form des Hutes kann mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades beschrieben werden, die achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
Gib eine Funktionsgleichung an, runde die Werte gegebenenfalls.
b)
Wie groß ist in diesem Querschnitt der Flächeninhalt des Hutes (also der eingeschlossenen Fläche)?
c)
Wo fällt der Hut am steilsten ab?
4.
Zwischen zwei dünnen Bäumen ist eine Schnur gespannt, auf die sich immer wieder gerne Vögel setzen. Mit jedem Vogel, der sich auf die Schnur setzt, biegt sie sich etwas weiter nach unten durch.
Unten sind die Kurven der Schnur gezeichnet; $f$ zeigt die Schnur, auf der 1 Vogel sitzt, $g$ zeigt die Schnur, auf der 2 Vögel sitzen und $h$ zeigt die Schnur, auf der 3 Vögel sitzen.
a)
Die Schnur lässt sich durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschreiben, die achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
$f$ geht durch die Punkte $P_f\left(0\mid -1\right)$ und $Q_f\left(1,5\mid -0,925\right)$.
$g$ geht durch die Punkte $P_g\left(0\mid -2\right)$ und $Q_g\left(1,5\mid -1,85\right)$.
$h$ geht durch die Punkte $P_h\left(0\mid -3\right)$ und $Q_h\left(1,5\mid -2,775\right)$.
Stelle für $f$, $g$, $h$ je eine Funktionsgleichung auf.
b)
Ausgehend von diesen drei Funktionsgleichungen lässt sich die Funktionsgleichung einer Kurvenschar formulieren. Diese enthält den Parameter $t$, wobei $t$ für die Anzahl der Vögel steht.
Stelle die Funktionsgleichung dieser Kurvenschar auf.
c)
Die Schnur ist auf Höhe der $x$-Achse an den Bäumen festgemacht.
Beugen sich die Bäume mit dem Gewicht der Vögel?
5.
Eine Autorennstrecke lässt sich durch die beiden Funktionen $f\left(x\right)=-x^4+4x^2+5$ und $g\left(x\right)=x^2+1$ beschreiben. Die Strecke wird dabei im Uhrzeigersinn durchfahren.
a)
Skizziere die beiden Funktionen in einem Koordinatensystem.
b)
Bestimme die Koordinaten der Punkte, die am weitesten links bzw. rechts außen liegen.
c)
Bestimme die Koordinaten der Punkte, die am weitesten oben bzw. unten liegen.
d)
Eines der Autos fliegt bei $x=1$ tangential aus der Bahn. Bei $y=10$ sind in einer geraden Linie Reifen aufgestellt.
An welcher Stelle trifft das Auto auf die Reifen?
e)
Ein weiteres Auto landet bei $P\left(0\mid 10\right)$ in der Reifenmauer.
Wo ist dieses Auto aus der Kurve geflogen?
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Lösungen
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1.
a)
b)
Wir müssen zunächst die Stelle bestimmen, an der $f$ die Steigung $-1$ besitzt. Dies tun wir, indem wir die erste Ableitung bilden, da uns die Ableitung immer die Steigung angibt. Wir setzen also $f'\left(x\right)=-1$ und lösen nach $x$ auf.
Stelle mit Steigung $-1$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion bilden
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f\left(x\right)=&-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{4}x^2+x& \\ f'\left(x\right)=&-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+\dfrac{1}{4}\cdot2x+1& \\ =&-x^2+\dfrac{1}{2}x+1& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f'\left(x\right) =&-x^2+\dfrac{1}{2}x+1& \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichsetzen
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} -x^2+\dfrac{1}{2}x+1=&-1& \mid\;+1 \\ -x^2+\dfrac{1}{2}x+2=&0& \mid\;\cdot\left(-1\right) \\ x^2-\dfrac{1}{2}x-2=&0& \\ \end{array}$
$p$-$q$-Formel anwenden:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+2}& \mid\;+1 \\ =&\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}+2}& \mid\;\cdot\left(-1\right) \\ =&\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\dfrac{33}{16}}& \\ x_1\approx&1,69& \\ x_2\approx&-1,19& \\ \end{array}$
Bei $x_1=1,69$ und bei $x_2=-1,19$ werden Fotos geschossen.
Bei $x_1=1,69$ und bei $x_2=-1,19$ werden Fotos geschossen.
c)
Ein Punkt, an dem eine Kurve nach einer Steigung wieder fällt, ist ein Hochpunkt. Um diesen zu berechnen, setzen wir $f'\left(x\right)=0$ und lösen nach $x$ auf.
Hochpunkt bestimmen
$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion bilden
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f'\left(x\right)=&-x^2+\dfrac{1}{2}x+1& \\ f''\left(x\right)=&-2x+\dfrac{1}{2}& \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Notwendige Bedingung: 1. Ableitung $=0$ setzen
$p$-$q$-Formel anwenden:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+1}& \\ =&\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}+1}& \\ =&\dfrac{1}{4}\pm\sqrt{\dfrac{17}{16}}& \\ x_1\approx&1,28& \\ x_2\approx&-0,78& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} x_1\approx&1,28& \\ x_2\approx&-0,78& \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Hinreichende Bedingung: auf echten Hochpunkt prüfen
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f''\left(1,28\right)=&-2\cdot1,28+\dfrac{1}{2}& \\ =&-2,56+\dfrac{1}{2}& \\ =&-2,06& < 0 \text{ : Hochpunkt}\\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f''\left(-0,78\right)=&-2\cdot\left(-0,78\right)+\dfrac{1}{2}& \\ =&1,56+\dfrac{1}{2}& \\ =&2,06& >0 \text{ : Tiefpunkt}\\ \end{array}$
Die Leute schreien an der Stelle $x=1,28$ am lautesten.
$x=1,28$
d)
Der Punkt mit der größten Steigung ist der Wendepunkt. Diesen bestimmen wir, indem wir $f''\left(x\right)=0$ setzen.
Wendepunkt bestimmen
$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion bilden
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f''\left(x\right)=&-2x+\dfrac{1}{2}& \\ f'''\left(x\right)=&-2& \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Notwendige Bedingung: 2. Ableitung $=0$ setzen
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} -2x+\dfrac{1}{2}=&0&\mid\;-\dfrac{1}{2} \\ -2x=&-\dfrac{1}{2}& \mid\;:\left(-2\right)\\ x=&\dfrac{1}{4}& \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Hinreichende Bedingung: auf echten Wendepunkt prüfen
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f'''\left(\dfrac{1}{4}\right)=&-2&\neq0 \text{ : Wendepunkt} \\ \end{array}$
Die Achterbahn wird am Punkt $x=\dfrac{1}{4}$ am stärksten beschleunigt.
$x=\dfrac{1}{4}$
2.
a)
b)
Wir sehen im Schaubild, dass die Funktion erst fällt (bis zum Tiefpunkt), dann kurz ansteigt (bis zum Hochpunkt) und dann wieder fällt (ab dem Hochpunkt). Wir bestimmen also die Koordinaten der Extrempunkte.
Extrema bestimmen
$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(x\right)=&-x^3+2x& \\ f'\left(x\right)=&-3x^2+2& \\ f''\left(x\right)=&-6x& \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Notwendige Bedingung: 1. Ableitung $=0$ setzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -3x^2+2=&0&\mid\;-2 \\ -3x^2=&-2& \mid\;:\left(-3\right)\\ x^2=&\dfrac{2}{3}&\mid\;\sqrt{\;} \\ x_{1,2}=&\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}&\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Hinreichende Bedingung: auf echten Hoch- bzw. Teifpunkt prüfen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=&-6\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}&\neq0 \text{ : Wendepunkt} \\ \approx&-4,899&<0 \text{ : Hochpunkt} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=&-6\cdot\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&\neq0 \text{ : Wendepunkt} \\ \approx&4,899&>0 \text{ : Tiefpunkt} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=… \end{array}$
Daraus folgt:
$f$ ist monoton fallend für $-\infty < x <- \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$f$ ist monoton steigend für $-\sqrt{\dfrac{2}{3}}<x<\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
$f$ ist monoton fallend für $\sqrt{\dfrac{2}{3}}<x<\infty$
c)
Breite des Flusses berechnen
Die Breite des Flusses ist der Abstand, den die Nullstellen voneinander haben. Wir bestimmen diese also zunächst:
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 0=&f(x)& \\ 0=&-x^3+2x& x \text{ ausklammern} \\ 0=&x\left(-x^2+2\right)& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 0=&x\left(-x^2+2\right)& \\ \end{array}$
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist.
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x_1=&0& \text{oder} \\ -x^2+2=&0&\mid\; +2\\ -x^2=&-2&\mid\;\cdot\left(-1\right) \\ x^2=&2&\mid\;\sqrt{\;} \\ x_{2,3}=&\pm\sqrt{2}& \\ \end{array}$
$x_3=\sqrt{2}$ macht hier keinen Sinn, da es außerhalb der Kuhle liegt. Unsere zwei gesuchten Nullstellen sind also $x_1=0$ und $x_2=-\sqrt{2}$
$x_3=\sqrt{2}$
$\blacktriangleright$ Abstand $d$ zwischen den Nullstellen bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} d=&0-\left(-\sqrt{2}\right)& \\ =&0+\sqrt{2}&\mid\; +2\\ =&\sqrt{2} \\ \end{array}$
Der Fluss ist $\sqrt{2}$ LE breit.
Tiefe des Baches berechnen
Um die Tiefe des Baches zu errechnen, bestimmen wir die $y$-Koordinate des Tiefpunktes.
$\blacktriangleright$ $y$-Wert des Tiefpunktes bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)=&-\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^3+2\cdot\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)& \\ =&-\left(-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)-2\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}&\\ =&\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}}-2\sqrt{\dfrac{2}{3}} \\ =&-\dfrac{4}{3}\sqrt{\dfrac{2}{3}} \\ \approx&-1,09 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} y \approx&-1,09 \\ \end{array}$
An der tiefsten Stelle ist der Bach ca. 1,09 m tief.
3.
a)
Funktionsgleichung aufstellen
Wir wissen, dass es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades handelt, die achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Somit ergibt sich die allgemeine Gleichung:
$g\left(x\right)=ax^4+bx^2+c$
Sehen wir uns nun die Bedingungen an, die gegeben sind:
Wir haben vier Punkte gegeben, die auf der Kurve liegen. Da die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist und die beiden Punkte jeweils die gleichen $x$-Werte haben, nur mit anderen Vorzeichen, benutzen wir jeweils nur einen der beiden. Weiterhin wissen wir, dass einer dieser beiden Punkte ein Hochpunkt ist. Ein Hochpunkt besitzt die Steigung 0. Wir haben also 3 verschiedene Bedingungen gegeben, die wir nun nacheinander in diese allgemeine Gleichung einsetzen. Wir beginnen mit dem einsetzen der Steigung in die 1. Ableitung.
Schritt 1: 1. Ableitung bilden
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(x\right)=&ax^4+bx^2+c& \\ g'\left(x\right)=&4ax^3+2bx&\\ \end{array}$
Schritt 2: $\boldsymbol{g'\left(1,5\right)=0}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 0=&4\cdot a\cdot\left(1,5\right)^3+2\cdot b\cdot1,5& \\ 0=&4\cdot a\cdot3,375+3b&\\ 0=&13,5a+3b&\mid\;-13,5a\\ -13,5a=&3b&\\ -4,5a=&b&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -4,5a=&b&\\ \end{array}$
In diese Gleichung setzen wir nun den nächsten Punkt ein, den wir gegeben haben, nämlich den Schnittpunkt der beiden Kurven. Da wir hier nur den $x$-Wert gegeben haben, rechnen wir zunächst den $y$-Wert aus.
Schritt 3: $\boldsymbol{g\left(2,5\right)}$ bestimmen; entspricht $\boldsymbol{f(2,5)}$
$\dfrac{1}{25}\cdot\left(2,5\right)^2=0,25$
Schritt 4: $\boldsymbol{x=2,5}$ und $\boldsymbol{g\left(2,5\right)=0,25}$ einsetzen in $\boldsymbol{g(x)}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 0,25=&a\cdot\left(2,5\right)^4-4,5\cdot a\cdot\left(2,5\right)^2+c& \\ 0,25=&a\cdot39,0625-4,5a\cdot6,25+c&\\ 0,25=&39,0625a-28,125a+c&\\ 0,25=&10,9375a+c&\\ 0,25-10,9375a=&c&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 0,25-10,9375a=&c&\\ \end{array}$
Als neue allgemeine Gleichung gilt nun also:
$g\left(x\right)=ax^4-4,5ax^2+0,25-10,9375a$
$g\left(x\right)=…$
Wir setzen nun den letzten Punkt ein, den wir gegeben haben:
Schritt 5: $\boldsymbol{x=1,5}$ und $\boldsymbol{g\left(1,5\right)=4,25}$ einsetzen in $\boldsymbol{g(x)}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 4,25=&a\cdot\left(1,5\right)^4-4,5a\cdot\left(1,5\right)^2+0,25-10,9375a&\mid\;-0,25 \\ 4=&5,0625a-4,5a\cdot2,25-10,9375a&\\ 4=&5,0625a-10,125a-10,9375a&\\ 4=&-16a&\\ -\dfrac{1}{4}=&a&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -\dfrac{1}{4}=&a&\\ \end{array}$
Wir lösen nun nach den restlichen Unbekannten auf.
Schritt 6: $\boldsymbol{a=-\dfrac{1}{4}}$ einsetzen in $\boldsymbol{c}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 0,25-10,9375\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)=&c& \\ 0,25+2,73438=&c&\\ 2,98438=&c&\\ 3\approx&c&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 3\approx&c&\\ \end{array}$
Schritt 7: $\boldsymbol{a=-\dfrac{1}{4}}$ einsetzen in $\boldsymbol{b}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -4,5\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)=&b& \\ 1,125=&b&\\ \end{array}$
Daraus folgt die Funktionsgleichung
$g\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x^4+1,125x^2+3$
b)
Flächeninhalt bestimmen
Wir müssen hier den Flächeninhalt der Fläche bestimmen, die von $f$ und $g$ eingeschlossen wird. Die Schnittpunkte, die als obere bzw. untere Grenze dienen, sind uns bereits bekannt.
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} A=&\displaystyle\int_{-2,5}^{2,5}{(g\left(x\right)-f\left(x\right))}dx& \\ =&\displaystyle\int_{-2,5}^{2,5}{\left(-\dfrac{1}{4}x^4+1,125x^2+3-\dfrac{1}{25}x^2\right)} dx&\\ =&\displaystyle\int_{-2,5}^{2,5}{\left(-\dfrac{1}{4}x^4+1,085x^2+3\right)} dx&\\ =&\left[-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{5}x^5+1,085\cdot\dfrac{1}{3}x^3+3x\right]_{-2,5}^{2,5}&\\ =&\left[-\dfrac{1}{20}x^5+\dfrac{1,085}{3}x^3+3x\right]_{-2,5}^{2,5}&\\ =&\scriptsize \left(-\dfrac{1}{20}\cdot\left(2,5\right)^5+\dfrac{1,085}{3}\cdot\left(2,5\right)^3+3\cdot2,5\right)-\left(-\dfrac{1}{20}\cdot\left(-2,5\right)^5+\dfrac{1,085}{3}\cdot\left(-2,5\right)^3+3\cdot\left(-2,5\right)\right)&\\ =&-\dfrac{97,6563}{20}+\dfrac{1,085\cdot15,625}{3}+7,5-\left(-\dfrac{-97,6563}{20}+\dfrac{1,085\cdot\left(-15,625\right)}{3}-7,5\right)&\\ =&-\dfrac{97,6563}{20}+\dfrac{16,9531}{3}+7,5-\left(\dfrac{97,6563}{20}-\dfrac{16,9531}{3}-7,5\right)&\\ =&-\dfrac{97,6563}{20}+\dfrac{16,9531}{3}+7,5-\dfrac{97,6563}{20}+\dfrac{16,9531}{3}+7,5&\\ A\approx&16,5&\\ \end{array}$
Die Fläche des Hutes beträgt etwa 16,5 FE.
$ A \approx 16,5 $
c)
Hier ist nach dem Punkt mit der größten Steigung gefragt. Dies ist immer der Wendepunkt einer Funktion.
Wendepunkt bestimmen
Schritt 1: Ableitungen bilden
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(x\right)=&-\dfrac{1}{4}x^4+1,125x^2+3& \\ g'\left(x\right)=&-\dfrac{1}{4}\cdot4x^3+1,125\cdot2x&\\ =&-x^3+2,25x&\\ g''\left(x\right)=&-3x^2+2,25&\\ g'''\left(x\right)=&-6x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g'''\left(x\right)=&-6x&\\ \end{array}$
Schritt 2: $\boldsymbol{f''\left(x\right)=0}$ setzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -3x^2+2,25=&0&\mid\;-2,25 \\ -3x^2=&-2,25&\mid\;:\left(-3\right)\\ x^2=&0,75&\mid\;\sqrt{\left(\;\right)}\\ x_{1,2}=&\pm\sqrt{0,75}&\\ x_{1,2}\approx&\pm0,866&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}\approx&\pm0,866&\\ \end{array}$
Da nur nach der Stelle gefragt ist, wo das Schaubild am stärksten fällt, ist für uns nur die Lösung $x_2=-0,866$ relevant. Bei $x_1$ steigt das Schaubild.
Schritt 3: $\boldsymbol{x_2=-0,866}$ auf echten Wendepunkt prüfen
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} g'''\left(-0,866\right)=&-6\cdot\left(-0,866\right)& \\ =&5,196&\neq0 \text{ : Echter Wendepunkt}\\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} &5,196&\neq0 \end{array}$
An der Stelle $x=-0,866$ fällt der Hut am steilsten ab.
4.
a)
Funktionsgleichungen bestimmen
Wir wissen, dass es sich bei allen drei Funktionen um ganzrationale Funktionen zweiten Grades handelt, die achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind. Deshalb lautet die allgemeine Funktionsgleichung:
$f\left(x\right)=ax^2+b$.
Wir können nun die jeweilige Funktionsgleichung bestimmen, indem wir die Koordinaten der gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach den Unbekannten lösen. Beginnen wir nun mit der Funktionsgleichung von $f$
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von $f$ bestimmen
Schritt 1: $\boldsymbol{P_f\left(0\middle|-1\right)}$ verwenden: $\boldsymbol{x=0}$ und $\boldsymbol{f\left(0\right)=-1}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -1=&a\cdot 0^2+b& \\ -1=&b&\\ \end{array}$
Daraus folgt die neue allgemeine Gleichung
$f\left(x\right)=ax^2-1$
Schritt 2: $\boldsymbol{Q_f\left(1,5\middle|-0,925\right)}$ verwenden: $\boldsymbol{x=1,5}$ und $\boldsymbol{f\left(1,5\right)=-0,925}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -0,925=&a\cdot\left(1,5\right)^2-1& \\ -0,925=&a\cdot2,25-1&\mid\;+1\\ 0,075=&2,25a&\mid\;:2,25 \\ \dfrac{0,075}{2,25}=&a&\\ \dfrac{1}{30}=&a& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{30}=&a& \\ \end{array}$
Daraus folgt die Funktionsgleichung
$f\left(x\right)=\dfrac{1}{30}x^2-1$
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von $g$ bestimmen
Schritt 1: $\boldsymbol{P_g\left(0\middle|-2\right)}$ verwenden: $\boldsymbol{x=0}$ und $\boldsymbol{g\left(0\right)=-2}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -2=&a\cdot0^2+b& \\ -2=&b& \\ \end{array}$
Daraus folgt die neue allgemeine Gleichung
$g\left(x\right)=ax^2-2$
Schritt 2: $\boldsymbol{Q_g\left(1,5\middle|-1,85\right)}$ verwenden: $\boldsymbol{x=1,5}$ und $\boldsymbol{g\left(1,5\right)=-1,85}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -1,85=&a\cdot\left(1,5\right)^2-2& \\ -1,85=&a\cdot2,25-2& \mid\;+2\\ 0,15=&2,25a&\mid\;:2,25 \\ \dfrac{0,15}{2,25}=&a\\ \dfrac{1}{15}=&a& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{15}=&a& \\ \end{array}$
Daraus folgt die Funktionsgleichung
$g\left(x\right)=\dfrac{1}{15}x^2-2$
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung von $h$ bestimmen
Schritt 1: $\boldsymbol{P_h\left(0\middle|-3\right)}$ verwenden: $\boldsymbol{x=0}$ und $\boldsymbol{h\left(0\right)=-3}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -3=&a\cdot0^2+b& \\ -3=&b&\\ \end{array}$
Daraus folgt die neue allgemeine Gleichung
$h\left(x\right)=ax^2-3$
Schritt 2: $\boldsymbol{Q_h\left(1,5\middle|-2,775\right)}$ verwenden: $\boldsymbol{x=1,5}$ und $\boldsymbol{h\left(1,5\right)=-2,775}$ einsetzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -2,775=&a\cdot\left(1,5\right)^2-3& \\ -2,775=&a\cdot2,25-3& \mid\;+3\\ 0,225=&2,25a&\mid\;:2,25 \\ \dfrac{0,225}{2,25}=&a\\ \dfrac{1}{10}=&a& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{10}=&a& \\ \end{array}$
Daraus folgt die Funktionsgleichung
$h\left(x\right)=\dfrac{1}{10}x^2-3$
b)
Vergleichen wir zunächst die drei Funktionsgleichungen.:
Es fällt auf, dass $b$ immer die Anzahl der Vögel selbst ist:
Bei $f$ sitzt 1 Vogel auf der Schnur und $b=-1$.
Bei $g$ sitzen 2 Vögel auf der Schnur und $b=-2$.
Bei $h$ sitzen 3 Vögel auf der Schnur und $b=-3$.
Wir können also davon ausgehen, dass $b=-t$ sein muss.
Sehen wir uns nun das $a$ an:
Bei $f$ ist $a=\dfrac{1}{30}$.
Bei $g$ ist $a=\dfrac{1}{15}$.
Bei $h$ ist $a=\dfrac{1}{10}$.
Es fällt auf, dass wir die Brüche so erweitern können, dass sie als Hauptnenner alle $30$ haben:
Bei $f$ ist $a=\dfrac{1}{30}$.
Bei $g$ ist $a=\dfrac{2}{30}$.
Bei $h$ ist $a=\dfrac{3}{30}$.
Der Wert im Zähler des Bruchs entspricht wieder genau der Anzahl der Vögel, wir können für $a$ also $a=\dfrac{t}{30}$ schreiben.
Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung der Kurvenschar:
$f_t\left(x\right)=\dfrac{t}{30}x^2-t$
$ f_t\left(x\right)=\dfrac{t}{30}x^2-t $
c)
Die Position der Befestigungen an den Bäumen ist "sozusagen" der Schnittpunkt der Kurven mit der $x$-Achse. Wir bestimmen also die Nullstellen von $f_t$. Wenn diese Nullstellen unabhängig von $t$ immer gleich sind, beugen sich die Bäume nicht mit.
Nullstellen bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} \dfrac{t}{30}x^2-t=&0& \mid\;+t \\ \dfrac{t}{30}x^2=&t& \mid\;\cdot\dfrac{30}{t}\\ x^2=&t\cdot\dfrac{30}{t}& \\ x^2=&30\\ x_{1,2}=&\pm\sqrt{30}& \\ \end{array}$
Nein, die Bäume beugen sich nicht mit, die Position, an der die Schnur am Baum festgemacht ist, ändert sich nicht.
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\pm\sqrt{30}& \\ \end{array}$
5.
a)
b)
Die Skizze verrät uns, dass die Punkte links bzw. rechts außen die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen sind. Diese bestimmen wir, indem wir die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
Schnittpunkte bestimmen
Schritt 1: Schnittstellen bestimmen $\boldsymbol{f(x) = g(x)}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -x^4+4x^2+5=&x^2+1& \mid\;-x^2-1 \\ -x^4+3x^2+4=&0& \mid\;\small{\text{ Substitution: }} z=x^2\\ -z^2+3z+4=&0& \mid\;\cdot\left(-1\right) \\ z^2-3z-4=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} z^2-3z-4=&0&\\ \end{array}$
$p$-$q$-Formel anwenden
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} z_{1,2}=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+4}& \\ =&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{16}{4}}& \\ =&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}& \\ =&\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{5}{2}&\\ z_1=&4&\\ z_2=&-1&\\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} z_1=&4&\\ z_2=&-1&\\ \end{array}$
Resubstitution durchführen
$\begin{array}{rll\hspace{1cm}rll{\hspace{1cm}}l} z_1=&4&\mid\;z=x^2& z_2=&-1 &\mid\;z=x^2 \\ x^2=&4&\mid\;\sqrt{\;}& x^2=&-1& \\ x_{1,2}=&\pm 2& & \small{\text{keine Lösung}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll\hspace{1cm}rll{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\pm 2& & \\ \end{array}$
Schritt 2: $\boldsymbol{y}$-Werte bestimmen
$\blacktriangleright$$y$-Wert für $x=-2$ bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(-2\right)=&\left(-2\right)^2+1& \\ =&4+1& \\ g\left(-2\right)=&5&\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$$y$-Wert für $x=2$ bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(2\right)=&2^2+1& \\ =&4+1& \\ g\left(2\right)=&5&\\ \end{array}$
Daraus ergeben sie die Punkte $P_1\left(-2\middle|5\right)$ und $P_2\left(2\middle|5\right)$.
c)
Die Punkte, die am weitesten oben bzw. unten liegen sind die Hochpunkte von $f$ und der Tiefpunkt von $g$.
$\blacktriangleright$ Hochpunkte von $f$ bestimmen
Schritt 1: Ableitungen bilden
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(x\right)=&-x^4+4x^2+5& \\ f'\left(x\right)=&-4x^3+8x& \\ f''\left(x\right)=&-12x^2+8&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(x\right)=&-12x^2+8&\\ \end{array}$
Schritt 2: Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{f'(x) = 0}$ setzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} -4x^3+8x=&0& \mid\;x \small{\text{ ausklammern}}\\ x\left(-4x^2+8\right)=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x\left(-4x^2+8\right)=&0& \\ \end{array}$
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist $0$, wenn einer seiner Faktoren $0$ ist.
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x_1=&0& \\ -4x^2+8=&0&\mid\;-8 \\ -4x^2=&-8&\mid\;:\left(-4\right)\\ x^2=&2&\mid\;\sqrt{\;}\\ x_{1,2}=&\pm\sqrt{2}&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}=&\pm\sqrt{2}&\\ \end{array}$
Schritt 3: Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{x}$-Werte auf echte Hochpunkte überprüfen
$x=-\sqrt{2}$ auf echten Hochpunkt überprüfen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(-\sqrt{2}\right)=&-12\cdot\left(-\sqrt{2}\right)^2+8& \\ =&-12\cdot2+8& \\ =&-24+8& \\ =&-16& <0 \small{\text{ : Hochpunkt}} \\ \end{array}$
$x=0$ auf echten Hochpunkt überprüfen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(0\right)=&-12\cdot0^2+8& \\ =&8& >0 \small{\text{ : Tiefpunkt}}\\ \end{array}$
$x=\sqrt{2}$ auf echten Hochpunkt überprüfen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f''\left(\sqrt{2}\right)=&-12\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2+8& \\ =&-12\cdot2+8& \\ =&-24+8& \\ =&-16& <0 \small{\text{ : Hochpunkt}} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} =&-16& <0 \end{array}$
Schritt 4: $\boldsymbol{y}$-Werte bestimmen
$y$-Wert für $x=-\sqrt{2}$ bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(-\sqrt{2}\right)=&-\left(-\sqrt{2}\right)^4+4\cdot\left(-\sqrt{2}\right)^2+5& \\ =&-4+4\cdot2+5& \\ =&-4+8+5& \\ f\left(-\sqrt{2}\right)=&9& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(-\sqrt{2}\right)=&9& \\ \end{array}$
$y$-Wert für $x=\sqrt{2}$ bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(\sqrt{2}\right)=&-\left(\sqrt{2}\right)^4+4\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2+5& \\ =&-4+4\cdot2+5& \\ =&-4+8+5& \\ f\left(\sqrt{2}\right)=&9& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} f\left(\sqrt{2}\right)=&9& \\ \end{array}$
Daraus folgen die Hochpunkte $H_1\left(-\sqrt{2}\middle|9\right)$ und $H_2\left(\sqrt{2}\middle|9\right)$.
$\blacktriangleright$ Tiefpunkt von $g$ bestimmen
Schritt 1: Ableitungen bilden
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(x\right)=&x^2+1& \\ g'\left(x\right)=&2x& \\ g''\left(x\right)=&2& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g''\left(x\right)=&2& \\ \end{array}$
Schritt 2: Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{g'\left(x\right)=0}$ setzen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 2x=&0& \\ x=&0& \\ \end{array}$
Schritt 3: Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{x=0}$ auf echten Tiefpunkt überprüfen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g''\left(0\right)=&2& >0 \small{\text{: Tiefpunkt}} \\ \end{array}$
Schritt 4: $\boldsymbol{y}$-Wert von $\boldsymbol{x=0}$ bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(0\right)=&0^2+1& \\ g\left(0\right)=&1& \\ \end{array}$
Daraus ergibt sich der Tiefpunkt $T\left(0\middle|1\right)$.
d)
Da das Auto bei $x=1$ tangential aus der Bahn fliegt, wird die Flugbahn idurch die Gleichung der Tangente beschrieben, die das Schaubild an der Stelle $x=1$ berührt. Da ein Auto nur in den Reifen landen kann, wenn es in dem Teil der Bahn aus der Bahn fliegt, der von dem Graphen von $f$ beschrieben wird, ist hier eine Tangente an den Graphen von $f$ gesucht. Dies kannst du dir anhand der Skizze der beiden Graphen klarmachen. Der Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden zu $y = 10$ ist dann die Stelle, an der das Auto auf die Reifen trifft.
Die gesuchte Tangente lässt sich mit der allgemeinen Tangentengleichung bestimmen:
Schritt 1: Tangente an $\boldsymbol{f}$ in $\boldsymbol{x=1}$ anlegen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} t:y=&f'\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right)& \\ t:y=&f'\left(1\right)\cdot\left(x-1\right)+f\left(1\right)& \\ t:y=&\left(-4\cdot1^3+8\cdot1\right)\cdot\left(x-1\right)-1^4+4\cdot1^2+5& \\ =&4\left(x-1\right)+8& \\ =&4x-4+8& \\ t:y=&4x+4& \\ \end{array}$
Schritt 2: Schnittpunkt von $\boldsymbol{y=4x+4}$ und $\boldsymbol{y=10}$ bestimmen
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 4x+4=&10& \mid\;-4 \\ 4x=&6&\mid\;:4 \\ x=&1,5& \\ \end{array}$
Das Auto landet im Punkt $Q\left(1,5\middle|10\right)$ in den Reifen.
$Q\left(1,5\middle|10\right)$
e)
Auch hier ist eine Tangente verlangt, die $f$ berührt und durch den Punkt $P\left(0\middle|10\right)$ geht, der nicht auf $f$ liegt. Diese Tangentengleichung lässt sich ebenfalls mit der allgemeinen Tangentengleichung bestimmen. Dazu werden die Koordinaten von $P$ für $x$ und $y$ eingesetzt.
Schritt 1: Tangente durch $\boldsymbol{P\left(0\middle|10\right)}$ ermitteln
$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} t:y=&f'\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+f\left(u\right)\\ 10=&\left(-4u^3+8u\right)\left(0-u\right)+\left(-u^4+4u^2+5\right)\\ 10=&4u^4-8u^2-u^4+4u^2+5\\ 10=&3u^4-4u^2+5&\;\mid\;-10\\ 0=&3u^4-4u^2-5&\;\mid\;:3\\ =&u^4-\dfrac{4}{3}u^2-\dfrac{5}{3}&\;\mid\;\small{\text{Substitution:}} z=u^2\\ =&z^2-\dfrac{4}{3}z-\dfrac{5}{3} \end{array}$
Schritt 2: $\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden
$\begin{array}{rll} z_{1,2}=&\dfrac{4}{6}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{6}\right)^2+\dfrac{5}{3}}\\ =&\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{15}{9}}\\ =&\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\dfrac{19}{9}}\\ =&\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{19}}{3}\\ z_1\approx&2,12\\ z_2\approx&-0,79 \end{array}$
Resubstitution:
$\begin{array}{rllrll} z_1=&2,12&\mid\;z=u^2\hspace{50pt}&z_2=&-0,79&\mid\;z=u^2\\ u^2=&2,12&\mid\;\sqrt{\;}&u^2=&-0,79&\mid\;\sqrt{\;}\\ u_{1,2}=&\pm\sqrt{2,12}&&&{\small{\text{keine Lösung}}} \end{array}$
Da das Auto nur in Fahrtrichtung aus der Bahn fliegen kann, kommt nur $u_1=-\sqrt{2,12}$ in Frage. Dies kannst du dir anhand der Skizze klarmachen.
Schritt 3: $\boldsymbol{y}$-Wert von $\boldsymbol{u_1=-\sqrt{2,12}}$ bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(-\sqrt{2,12}\right)=&-\left(-\sqrt{2,12}\right)^4+4\cdot\left(-\sqrt{2,12}\right)^2+5\\ =&-2,12^2+4\cdot2,12+5\\ =&8,98 \end{array}$
Das Auto ist im Punkt $S\left(-\sqrt{2,12}\middle|8,98\right)$ aus der Bahn geflogen.
$S\left(-\sqrt{2,12}\middle|8,98\right)$
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