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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Geraden
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Spurpunkte
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Gerade - Gerade
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Gerade - Gerade
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Geordnete Stichprobe ...
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Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Einstufige Zufallsexperimente

Spickzettel
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Zufallsexperiment

Ein Experiment kann dann als Zufallsexperiment bezeichnet werden, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt:
  • Die Durchführung ist genau festgelegt
  • Die möglichen Ergebnisse sind vor der Durchführung bekannt
  • Das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden
Die Menge aller möglichen Ergebnisse des Versuchs wird Ergebnismenge genannt und mit $ Ω$ bezeichnet. Dementsprechend ist $\left|Ω\right|$ die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

Beispiele

Folgende sind Zufallsexperimente:
  • Einmaliges oder Mehrmaliges Werfen einer Münze
  • Einmaliges oder Mehrfaches Drehen eines Glücksrads
  • Einmaliges oder Mehrfaches Werfen eines Würfels
Die Ergebnismenge für das einmalige Werfen eines Würfels ergibt sich wie folgt:
$Ω = \{1,2,3,4,5,6\} \quad \Rightarrow \left| Ω \right| = 6$

Einstufiges Zufallsexperiment

Zufallsexperimente können mehrere Stufen aufweisen. In aller Regel sind diese Stufen die einzelnen Durchführungen. Dabei sind die einzelnen Stufen für sich genommen auch wieder Zufallsexperimente.
Besteht das Zufallsexperiment beispielsweise aus dem fünfmaligen Werfen einer Münze, so stellt jeder einzelne Münzwurf eine Stufe dar. Dieses Zufallsexperiment ist also fünfstufig.
Demnach handelt es sich bei einem einstufigen Zufallsexperiment um ein Zufallsexperiment mit nur einer Durchführung. Das zugehörige Baumdiagramm besteht dann aus nur einer Ebene.
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Aufgaben
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1.
Auf einem Glücksrad befinden sich Zahlen von 1 bis 16. Dreht man das Rad, so zeigt ein Zeiger genau auf eine Zahl. Gib die Ergebnismenge an.
2.
Gib ein Zufallsexperiment an mit
a)
$\left| \Omega \right|=6$
b)
$\left| \Omega \right|=2$
c)
$\left| \Omega \right|=10$
d)
Erkläre, warum es keine Zufallsexperimente mit $\left| \Omega \right|=1$ gibt.
3.
Eine Konditorei hat fünf verschiedene Kuchen zur Auswahl (Käsekuchen, Schwarzwälder Kirschtorte, Marmorkuchen, Donauwelle, Bienenstich), von denen sich Martin zufällig zwei verschiedene aussucht.
Gib die Ergebnismenge an.
4.
Der Sportler Herr H. hat fünf Fußbälle. Er wählt zufällig drei davon aus. Gib die Ergebnismenge an.
5.
Sven wählt aus sechs Spielern vier für seine fünfköpfige Basketballmannschaft aus. Freddy und David spielen auf jeden Fall zusammen.
Gib eine Ergebnismenge für die möglichen Mannschafts-Konstellationen an.
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Lösungen
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1.
Ergebnismenge angeben
Die Ergebnismenge ist
$\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16\right\}$
$\Omega= $
(Oder etwas kürzer: $\Omega=\left\{1;2;3;…16\right\}$)
2.
Zufallsexperimente angeben
Mit $\left|\Omega\right|$ bezeichnest du die Anzahl der Elemente der Menge $\Omega$. In unserem Fall entspricht $\left|\Omega\right|$ also der Anzahl der möglichen Ausgänge des Experiments.
a)
z. B. Werfen eines idealen Würfels
b)
z. B. Werfen einer idealen Münze, Tipp für das Finale der Fußball-Weltmeisterschaft (Gewinner, Verlierer)
c)
Aussuchen von einem Gericht von zehn Gerichten auf einer Speisekarte
d)
Ein Zufallsexperiment muss folgende Eigenschaften besitzen:
(1)
Es muss beliebig oft wiederholbar sein
(2)
Es darf nicht vorhersagbar sein
(3)
Es muss mindestens zwei Ausgänge besitzen
Ein Zufallsexperiment mit $\left|\Omega\right|=1$ hätte nur genau einen möglichen Ausgang. Dieser wäre vorhersagbar, weil es sonst keine weiteren Möglichkeiten gibt. Deshalb sind die Eigenschaften (2) und (3) von oben nicht erfüllt.
Es kann daher kein Zufallsexperiment mit $\left|\Omega\right|=1$ geben.
3.
Ergebnismenge angeben
Die Ergebnismenge ist (Käsekuchen $\mathrel{\widehat{=}}$ K, Schwarzwälder Kirschtorte $\mathrel{\widehat{=}}$ S, Marmorkuchen $\mathrel{\widehat{=}}$ M, Donauwelle $\mathrel{\widehat{=}}$ D, Bienenstich $\mathrel{\widehat{=}}$ B)
$\Omega=\left\{KS;KM;KD;KB;SM;SD;SB;MD;MB;DB\right\}$
$\Omega= $
(Beachte: $KS=SK$ usw.)
4.
Ergebnismenge angeben
Du erhältst die Ergebnismenge durch systematisches Aufschreiben der Möglichkeiten. Dabei werden die fünf Fußbälle mit den Zahlen $1$,$2$,$3$,$4$ und $5$ bezeichnet. Da die Reihenfolge der Bälle keine Rolle spielt, wird jede Dreiergruppe in aufsteigender Reihenfolge geordnet:
$\Omega=\left\{123;124;125;134;135;145;234;235;245;345\right\}$
$\Omega=$
5.
Ergebnismenge angeben
Sven wird mit S, die übrigen Spieler mit den Buchstaben A, B, C, D, E und F abgekürzt, wobei D für David und F für Freddy steht. Es gibt sechs Möglichkeiten, bei denen David und Freddy in Svens Mannschaft sind. Zu D und F treten zwei der vier übrigen Spieler hinzu:
SDFAB, SDFAC, SDFAE, SDFBC, SDFBE, SDFCE.
Zudem gibt es die Möglichkeiten, dass beide in der gegnerischen Mannschaft sind: SABCE.
$\Omega=\left\{SDFAB; SDFAC; SDFAE; SDFBC; SDFBE; SDFCE; SABCE\right\}$
$\Omega=$
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