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Trigonometrische Gleichungen

Spickzettel
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Um trigonometrische Gleichungen lösen zu können, ist es wichtig die wichtigsten Werte der trigonometrischen Funktionen zu kennen. Ausgehend von diesen kannst du dann trigonometrische Gleichungen lösen.
Für alle $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,…$ gilt folgendes:
  • $\sin(k\cdot \pi) = 0 $
  • $\sin(2k \cdot \pi + \frac{1}{2}\cdot \pi) = 1 $
  • $\sin(2k \cdot \pi - \frac{1}{2}\cdot \pi) = -1 $
  • $\cos(k\cdot \pi + \frac{1}{2}\cdot \pi) = 0 $
  • $\cos(2k\pi) = 1 $
  • $\cos(2k \cdot \pi - \pi) = -1 $

Beispiel

$\cos(2x) +1 = 2$
Diese Gleichung formen wir zunächst um und nutzen dann obige Funktionswerte:
$\cos(2x) +1 = 2$ $\Leftrightarrow \cos(2x) = 1$
Da $\cos(y)$ den Wert $1$ annimmt, wenn $y = 2k\pi$ gilt, folgt nun:
$\cos(2x) = 1$ $\Leftrightarrow 2x = 2k\pi$ $\Leftrightarrow x = k\pi$ für alle $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,…$
$\Rightarrow \mathbb{L}$ = $\{k\cdot \pi\; \text{mit}\; k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,…\}$
Um trigonometrische Gleichungen lösen zu können, ist es wichtig die wichtigsten Werte der trigonometrischen Funktionen zu kennen. Ausgehend von diesen kannst du dann trigonometrische Gleichungen lösen.
Für alle $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,…$ gilt folgendes:
  • $\sin(k\cdot \pi) = 0 $
  • $\sin(2k \cdot \pi + \frac{1}{2}\cdot \pi) = 1 $
  • $\sin(2k \cdot \pi - \frac{1}{2}\cdot \pi) = -1 $
  • $\cos(k\cdot \pi + \frac{1}{2}\cdot \pi) = 0 $
  • $\cos(2k\pi) = 1 $
  • $\cos(2k \cdot \pi - \pi) = -1 $

Beispiel

$\cos(2x) +1 = 2$
Diese Gleichung formen wir zunächst um und nutzen dann obige Funktionswerte:
$\cos(2x) +1 = 2$ $\Leftrightarrow \cos(2x) = 1$
Da $\cos(y)$ den Wert $1$ annimmt, wenn $y = 2k\pi$ gilt, folgt nun:
$\cos(2x) = 1$ $\Leftrightarrow 2x = 2k\pi$ $\Leftrightarrow x = k\pi$ für alle $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,…$
$\Rightarrow \mathbb{L}$ = $\{k\cdot \pi\; \text{mit}\; k = 0, \pm1, \pm2, \pm3,…\}$
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1.
Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.
b)
$\cos(x)=0; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$
d)
$\sin(x)=1; \hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
f)
$\sin(x)=-1; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$
1.
Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.
b)
$\cos(x)=0; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$
d)
$\sin(x)=1; \hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
f)
$\sin(x)=-1; \hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$
2.
Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.
a)
$\sin(2x)=1; \hspace{2cm} I=\left[0;2\pi\right]$
b)
$\dfrac{1}{2}\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}; \hspace{1.cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
c)
$\cos(4x)=0; \hspace{2cm} I=\left[0;\pi\right]$
d)
$\sin^{2}(3x)=0; \hspace{2cm} I=\left[0;\pi\right]$
2.
Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.
a)
$\sin(2x)=1; \hspace{2cm} I=\left[0;2\pi\right]$
b)
$\dfrac{1}{2}\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}; \hspace{1.cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
c)
$\cos(4x)=0; \hspace{2cm} I=\left[0;\pi\right]$
d)
$\sin^{2}(3x)=0; \hspace{2cm} I=\left[0;\pi\right]$
3.
Löse die Gleichungen im angegebenen Intervall.
a)
$\cos(x)+\sin(x+\frac{\pi}{2})=2;$ $\hspace{2.2cm} I=\left[0;\pi\right]$
b)
$\sin^{2}(x)-\sin^{3}(x)=0;$ $\hspace{2.9cm} I=\left[0;2\pi\right]$
c)
$\sin^{2}(x)+\sin(x)-2=0;$ $\hspace{2.4cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
d)
$\cos^{2}(x)-5\sin(x)+5=0;$ $\hspace{1.9cm} I=\left[0;2\pi\right]$
e)
$\sin^{2}(x)+1$=$-\cos^{2}(x)+2\sin(x);$ $\hspace{1.9cm} I$=$\left[-\pi;\pi\right]$
f)
$\sin^{2}(x)-5\sin(x)+4=0;$ $\hspace{2.3cm} I=\left[0;2\pi\right]$
3.
Löse die Gleichungen im angegebenen Intervall.
a)
$\cos(x)+\sin(x+\frac{\pi}{2})=2;$ $\hspace{2.2cm} I=\left[0;\pi\right]$
b)
$\sin^{2}(x)-\sin^{3}(x)=0;$ $\hspace{2.9cm} I=\left[0;2\pi\right]$
c)
$\sin^{2}(x)+\sin(x)-2=0;$ $\hspace{2.4cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
d)
$\cos^{2}(x)-5\sin(x)+5=0;$ $\hspace{1.9cm} I=\left[0;2\pi\right]$
e)
$\sin^{2}(x)+1$=$-\cos^{2}(x)+2\sin(x);$ $\hspace{1.9cm} I$=$\left[-\pi;\pi\right]$
f)
$\sin^{2}(x)-5\sin(x)+4=0;$ $\hspace{2.3cm} I=\left[0;2\pi\right]$
4.
Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.
a)
$\cos^{2}(x)-2\cos(x)+1=0;$ $\hspace{2.3cm} I=\left[-\pi;2\pi\right]$
b)
$\sin^{2}(x)+\sin(x)-\cos(x)+1=0;$ $\hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$
Anmerkung: Die Gleichung in Teilaufgabe b) besitzt im betrachteten Intervall insgesamt drei Lösungen; rechnerisch sind aber nur zwei bestimmbar. Bestimme diese beiden.
c)
$\cos^{7}(x)-\cos^{5}(x)=0;$ $\hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
d)
$\sin^{2}(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+\dfrac{1}{2}\sin(x-\frac{\pi}{2})+\cos^{2}(x)=0; \hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
$\sin^{2}(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+…$
4.
Gib die Lösungsmenge im angegebenen Intervall an.
a)
$\cos^{2}(x)-2\cos(x)+1=0;$ $\hspace{2.3cm} I=\left[-\pi;2\pi\right]$
b)
$\sin^{2}(x)+\sin(x)-\cos(x)+1=0;$ $\hspace{1cm} I=\left[0;2\pi\right]$
Anmerkung: Die Gleichung in Teilaufgabe b) besitzt im betrachteten Intervall insgesamt drei Lösungen; rechnerisch sind aber nur zwei bestimmbar. Bestimme diese beiden.
c)
$\cos^{7}(x)-\cos^{5}(x)=0;$ $\hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
d)
$\sin^{2}(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+\dfrac{1}{2}\sin(x-\frac{\pi}{2})+\cos^{2}(x)=0; \hspace{1cm} I=\left[-\pi;\pi\right]$
$\sin^{2}(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)+…$
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Lösungen
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1.
a)
$\sin(x)$ ist für alle ganzzahlige Vielfache von $\pi$ Null (z.B. $2\pi=0$, $-3\pi=0$). Allgemein also: $x=k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=0$, $x=\pi$ und $x=2\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{0;\pi;2\pi\right\}$
b)
$\cos(x)$ ist Null für z.B. $\frac{3}{2}\pi$, $-\frac{5}{2}\pi$, allgemein also für $x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ und $x=\dfrac{3\pi}{2}$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right\}$
c)
$\cos(x)=1$, falls $x=2k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ und $x=2\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$
d)
$\sin(x)=1$, falls $x=\dfrac{4k-3}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
e)
$\cos(x)=-1$, falls $x=(2k+1)\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=-\pi$ und $x=\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{-\pi;\pi\right\}$
f)
$\sin(x)=-1$, falls $x=\dfrac{4k-1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{3\pi}{2}$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{3\pi}{2}\right\}$
1.
a)
$\sin(x)$ ist für alle ganzzahlige Vielfache von $\pi$ Null (z.B. $2\pi=0$, $-3\pi=0$). Allgemein also: $x=k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=0$, $x=\pi$ und $x=2\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{0;\pi;2\pi\right\}$
b)
$\cos(x)$ ist Null für z.B. $\frac{3}{2}\pi$, $-\frac{5}{2}\pi$, allgemein also für $x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ und $x=\dfrac{3\pi}{2}$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right\}$
c)
$\cos(x)=1$, falls $x=2k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ und $x=2\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$
d)
$\sin(x)=1$, falls $x=\dfrac{4k-3}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
e)
$\cos(x)=-1$, falls $x=(2k+1)\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=-\pi$ und $x=\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{-\pi;\pi\right\}$
f)
$\sin(x)=-1$, falls $x=\dfrac{4k-1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$.
Im angegebenen Intervall ist dies für $x=\dfrac{3\pi}{2}$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{3\pi}{2}\right\}$
2.
a)
$\sin(2x)=1$, falls $2x=\dfrac{4k-3}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{4k-3}{4}\pi$.
Da $x$ im angegebenen Intervall liegen soll, liefern nur $k=1$ und $k=2$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$x=\dfrac{1}{4}\pi$ und $x=\dfrac{5}{4}\pi$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{4}\pi;\dfrac{5}{4}\pi\right\}$
b)
$\dfrac{1}{2}\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}$ ergibt multipliziert mit $2$:
$\cos(2x)=-1$
Dies ist der Fall, wenn $2x=(2k+1)\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$.
Da $x$ im angegebenen Intervall liegen soll, liefern nur $k=0$ und $k=-1$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$x=\dfrac{1}{2}\pi$ und $x=-\dfrac{1}{2}\pi$.
$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{2}\pi;\dfrac{1}{2}\pi\right\}$
c)
$\cos(4x)=0$, falls $4x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{2k+1}{8}\pi$.
Da $x$ im angegebenen Intervall sein soll, liefern nur $k=0$, $k=1$, $k=2$ und $k=3$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{8}\pi;\dfrac{3}{8}\pi;\dfrac{5}{8}\pi;\dfrac{7}{8}\pi\right\}$
d)
$\sin^{2}(3x)=0$ liefert durch beidseitiges Wurzelziehen die folgende Gleichung:
$\sin(3x)=0$
Die Gleichung ist erfüllt, wenn $3x=k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{k}{3}\pi$.
Da $x$ aus dem angegebenen Intervall sein soll, liefern nur $k=0$, $k=1$, $k=2$ und $k=3$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$\mathbb{L}=\left\{0;\dfrac{1}{3}\pi;\dfrac{2}{3}\pi;\pi\right\}$
2.
a)
$\sin(2x)=1$, falls $2x=\dfrac{4k-3}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{4k-3}{4}\pi$.
Da $x$ im angegebenen Intervall liegen soll, liefern nur $k=1$ und $k=2$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$x=\dfrac{1}{4}\pi$ und $x=\dfrac{5}{4}\pi$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{4}\pi;\dfrac{5}{4}\pi\right\}$
b)
$\dfrac{1}{2}\cos(2x)=-\dfrac{1}{2}$ ergibt multipliziert mit $2$:
$\cos(2x)=-1$
Dies ist der Fall, wenn $2x=(2k+1)\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$.
Da $x$ im angegebenen Intervall liegen soll, liefern nur $k=0$ und $k=-1$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$x=\dfrac{1}{2}\pi$ und $x=-\dfrac{1}{2}\pi$.
$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{2}\pi;\dfrac{1}{2}\pi\right\}$
c)
$\cos(4x)=0$, falls $4x=\dfrac{2k+1}{2}\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{2k+1}{8}\pi$.
Da $x$ im angegebenen Intervall sein soll, liefern nur $k=0$, $k=1$, $k=2$ und $k=3$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{8}\pi;\dfrac{3}{8}\pi;\dfrac{5}{8}\pi;\dfrac{7}{8}\pi\right\}$
d)
$\sin^{2}(3x)=0$ liefert durch beidseitiges Wurzelziehen die folgende Gleichung:
$\sin(3x)=0$
Die Gleichung ist erfüllt, wenn $3x=k\cdot\pi$ für $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,…$, also
$x=\dfrac{k}{3}\pi$.
Da $x$ aus dem angegebenen Intervall sein soll, liefern nur $k=0$, $k=1$, $k=2$ und $k=3$ eine Lösung.
Die Lösungen ergeben sich durch Einsetzen von k:
$\mathbb{L}=\left\{0;\dfrac{1}{3}\pi;\dfrac{2}{3}\pi;\pi\right\}$
3.
a)
Der Kosinus ist ein um $\dfrac{\pi}{2}$ phasenverschobener Sinus, d.h.
$\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$.
Einsetzen in die Gleichung ergibt:
$\begin{array}{rllllllll} 2\cos(x)&=2&\mid :2\\ \cos(x)&=1 \end{array}$
In angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ erfüllt.
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
b)
Ausklammern von $\sin^{2}(x)$ liefert die Gleichung:
Die Polynomdivision durch ($x-1$) ergibt:
$\sin^{2}(x)(1-\sin(x))=0$
Dies ist erfüllt, wenn entweder $\sin^{2}(x)=0$ oder $1-\sin(x)=0$ ist.
$\sin^{2}(x)$ ist null, wenn $\sin(x)=0$. Im angegebenen Intervall ist dies bei $x=0$, $x=\pi$, und $x=2\pi$ der Fall.
$1-\sin(x)$ ist null, wenn $\sin(x)=1$. Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=\dfrac{1}{2}\pi$.
$\mathbb{L}=\left\{0;\dfrac{1}{2}\pi;\pi;2\pi\right\}$
c)
1. Schritt: Substitution
$\sin(x)=z$
$z^2+z-2=0$.
2. Schritt: Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+2}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}=1$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rllllllll} 1) &z_{1}&=\sin(x_{1})\\[5pt] &-2&=\sin(x_{1}) \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $\sin(x)$ nicht -2 werden kann.
$\begin{array}{rllllllll} 2)&z_{2}&=\sin(x_{2})\\[5pt] &1&=\sin(x_{2})\\[5pt] &x_{2}&=\dfrac{\pi}{2}& \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
d)
Die Gleichung ist erfüllt, wenn $\cos^{2}(x)=0$ und $\sin(x)=1$.
$\cos^{2}(x)=0$ gilt im angegebenen Intervall für $x=\dfrac{1}{2}\pi$ und für $x=\dfrac{3}{2}\pi$.
Aber nur bei $x=\dfrac{1}{2}\pi$ gilt zusätzlich $\sin(x)=1$.
$x=\dfrac{1}{2}\pi$ ist daher die einzige Lösung.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{2}\pi\right\}$
e)
Umformen:
$\begin{array}{rllllllll} \sin^{2}(x)+1&=-\cos^{2}(x)+2\sin(x)\\[5pt] \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)+1&=2\sin(x)&\mid\text{es gilt: }\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\\[5pt] 1+1&=2\sin(x)\\[5pt] 1&=\sin(x) \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} 1=\sin(x) \end{array}$
Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
f)
1. Schritt: Substitution:
$\sin(x)=z$
$z^{2}-5z+4=0$.
2. Schritt: Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-4}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\[5pt] z_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
Also $z_1=4$ und $z_2=1$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
1) $\sin(x)=4 \to$ keine Lösung
2) $\sin(x)=1 \to x=\dfrac{1}{2}\pi$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{2}\pi\right\}$
3.
a)
Der Kosinus ist ein um $\dfrac{\pi}{2}$ phasenverschobener Sinus, d.h.
$\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$.
Einsetzen in die Gleichung ergibt:
$\begin{array}{rllllllll} 2\cos(x)&=2&\mid :2\\ \cos(x)&=1 \end{array}$
In angegebenen Intervall ist dies für $x=0$ erfüllt.
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
b)
Ausklammern von $\sin^{2}(x)$ liefert die Gleichung:
Die Polynomdivision durch ($x-1$) ergibt:
$\sin^{2}(x)(1-\sin(x))=0$
Dies ist erfüllt, wenn entweder $\sin^{2}(x)=0$ oder $1-\sin(x)=0$ ist.
$\sin^{2}(x)$ ist null, wenn $\sin(x)=0$. Im angegebenen Intervall ist dies bei $x=0$, $x=\pi$, und $x=2\pi$ der Fall.
$1-\sin(x)$ ist null, wenn $\sin(x)=1$. Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=\dfrac{1}{2}\pi$.
$\mathbb{L}=\left\{0;\dfrac{1}{2}\pi;\pi;2\pi\right\}$
c)
1. Schritt: Substitution
$\sin(x)=z$
$z^2+z-2=0$.
2. Schritt: Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+2}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}=1$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rllllllll} 1) &z_{1}&=\sin(x_{1})\\[5pt] &-2&=\sin(x_{1}) \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $\sin(x)$ nicht -2 werden kann.
$\begin{array}{rllllllll} 2)&z_{2}&=\sin(x_{2})\\[5pt] &1&=\sin(x_{2})\\[5pt] &x_{2}&=\dfrac{\pi}{2}& \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
d)
Die Gleichung ist erfüllt, wenn $\cos^{2}(x)=0$ und $\sin(x)=1$.
$\cos^{2}(x)=0$ gilt im angegebenen Intervall für $x=\dfrac{1}{2}\pi$ und für $x=\dfrac{3}{2}\pi$.
Aber nur bei $x=\dfrac{1}{2}\pi$ gilt zusätzlich $\sin(x)=1$.
$x=\dfrac{1}{2}\pi$ ist daher die einzige Lösung.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{2}\pi\right\}$
e)
Umformen:
$\begin{array}{rllllllll} \sin^{2}(x)+1&=-\cos^{2}(x)+2\sin(x)\\[5pt] \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)+1&=2\sin(x)&\mid\text{es gilt: }\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\\[5pt] 1+1&=2\sin(x)\\[5pt] 1&=\sin(x) \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} 1=\sin(x) \end{array}$
Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=\dfrac{\pi}{2}$.
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
f)
1. Schritt: Substitution:
$\sin(x)=z$
$z^{2}-5z+4=0$.
2. Schritt: Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-4}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\[5pt] z_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
Also $z_1=4$ und $z_2=1$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
1) $\sin(x)=4 \to$ keine Lösung
2) $\sin(x)=1 \to x=\dfrac{1}{2}\pi$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{2}\pi\right\}$
4.
a)
1. Schritt: Substitution:
$\cos(x)=z$
$z^2-2z+1=0$
2. Schritt: Lösen mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}-1}\\ &=1\pm0 \end{array}$
Also ist $z=1$ die einzige Lösung.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rllllllll} 1)&z&=\cos(x)&\\ &1&=\cos(x) \end{array}$
Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=0$ und $x=2\pi$.
$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$
b)
Die Gleichung ist erfüllt, wenn $\sin^{2}(x)+\sin(x)=0$ und $\cos(x)=1$.
$\cos(x)=1$ gilt im angegebenen Intervall für $x=0$ und $x=2\pi$.
In beiden Fällen gilt auch $\sin^{2}(x)+\sin(x)=0$.
$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$
c)
Ausklammern von $\cos^{5}(x)$ ergibt:
$\cos^{5}(x)(\cos^{2}(x)-1)=0$.
Die Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $\cos^{5}(x)=0$ oder $\cos^{2}(x)-1=0$ ist.
$\cos^{5}(x)$ ist Null, wenn $\cos(x)=0$ ist, also für $x=\pm\dfrac{1}{2}\pi$ im angegebenen Intervall.
$\cos^{2}(x)-1=0$ gilt, wenn $\cos(x)=\pm1$ ist.
Dies ist für $x=0$ und $x=\pm\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{-\pi;-\dfrac{1}{2}\pi;0;\dfrac{1}{2}\pi;\pi\right\}$
d)
Der Kosinus ist ein um $\dfrac{\pi}{2}$ phasenverschobener Sinus, d.h.
$\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$.
Da außerdem $\sin(x)=-\sin(x-\pi)$ gilt, folgt:
$\sin(x+\frac{\pi}{2}-\pi)$= $\sin(x-\frac{\pi}{2})$= $-\cos(x)$
Außerdem gilt:
$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$
Setzt man nun beides in die GLeichung der Aufgabenstellung ein, erhält man folgende Gleichung:
$1-\dfrac{1}{2}\cos(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)=0$
oder umgeformt:
$\cos(x)=1$
Im angegebenen Intervall hat die Gleichung die Lösung $x=0$.
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
4.
a)
1. Schritt: Substitution:
$\cos(x)=z$
$z^2-2z+1=0$
2. Schritt: Lösen mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rllllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}-1}\\ &=1\pm0 \end{array}$
Also ist $z=1$ die einzige Lösung.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rllllllll} 1)&z&=\cos(x)&\\ &1&=\cos(x) \end{array}$
Im angegebenen Intervall gilt dies für $x=0$ und $x=2\pi$.
$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$
b)
Die Gleichung ist erfüllt, wenn $\sin^{2}(x)+\sin(x)=0$ und $\cos(x)=1$.
$\cos(x)=1$ gilt im angegebenen Intervall für $x=0$ und $x=2\pi$.
In beiden Fällen gilt auch $\sin^{2}(x)+\sin(x)=0$.
$\mathbb{L}=\left\{0;2\pi\right\}$
c)
Ausklammern von $\cos^{5}(x)$ ergibt:
$\cos^{5}(x)(\cos^{2}(x)-1)=0$.
Die Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $\cos^{5}(x)=0$ oder $\cos^{2}(x)-1=0$ ist.
$\cos^{5}(x)$ ist Null, wenn $\cos(x)=0$ ist, also für $x=\pm\dfrac{1}{2}\pi$ im angegebenen Intervall.
$\cos^{2}(x)-1=0$ gilt, wenn $\cos(x)=\pm1$ ist.
Dies ist für $x=0$ und $x=\pm\pi$ der Fall.
$\mathbb{L}=\left\{-\pi;-\dfrac{1}{2}\pi;0;\dfrac{1}{2}\pi;\pi\right\}$
d)
Der Kosinus ist ein um $\dfrac{\pi}{2}$ phasenverschobener Sinus, d.h.
$\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$.
Da außerdem $\sin(x)=-\sin(x-\pi)$ gilt, folgt:
$\sin(x+\frac{\pi}{2}-\pi)$= $\sin(x-\frac{\pi}{2})$= $-\cos(x)$
Außerdem gilt:
$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$
Setzt man nun beides in die GLeichung der Aufgabenstellung ein, erhält man folgende Gleichung:
$1-\dfrac{1}{2}\cos(x)-\dfrac{1}{2}\cos(x)=0$
oder umgeformt:
$\cos(x)=1$
Im angegebenen Intervall hat die Gleichung die Lösung $x=0$.
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
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