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Lineare Substitution

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Die Integration durch lineare Substitution kann dir dabei helfen über verkettete Funktionen zu integrieren. Es geht vor allem dann, wenn die innere Funktion linear ist. In anderen Fällen funktioniert die Substitution eventuell nicht. Die Formel dafür lautet wie folgt:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(u(x))\cdot u'(x)\;\mathrm dx = \displaystyle\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\;\mathrm dt$
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(u(x))\cdot u'(x)\;\mathrm dx $=$ \displaystyle\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\;\mathrm dt$
Man kann die Formel auch umstellen, für viele ist diese Art leichter anzuwenden:
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(u(x))\;\mathrm dx = \displaystyle\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\cdot \dfrac{1}{u'(x)}\;\mathrm dt$
$\displaystyle\int_{a}^{b} f(u(x))\;\mathrm dx $=$ \displaystyle\int_{u(a)}^{u(b)} f(t)\cdot \dfrac{1}{u'(x)}\;\mathrm dt$
Substitution bedeutet Ersetzen, das heißt du ersetzt hier $u(x)$ durch $t$. So erhältst du oft eine einfachere Funktion, die du leichter integrieren kannst. Nach dem du eine Stammfunktion gefunden hast, kannst du das endgültige Ergebnis bestimmen, indem du entweder die Grenzen wie in der Formel angegeben einsetzt oder zunächst resubstituierst, also für $t$ wieder $u(x)$ einsetzt und anschließend die ursprünglichen Grenzen verwendest.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^3\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(u(x))^3\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \text{mit } u(x)= 2x+1\quad u'(x)= 2 \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{u(0)}^{u(1)}(t)^3\cdot \dfrac{1}{u'(x)}\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \text{Substitution mit } t=u(x)=2x+1 \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{1}^{3}t^3\cdot \dfrac{1}{2}\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left[\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4}\cdot t^4\right]_{1}^{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left[\dfrac{1}{8}\cdot t^4\right]_{1}^{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{8}\cdot 3^4-\dfrac{1}{8}\cdot 1^4&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^3\;\mathrm dx&= \end{array}$
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