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Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Spurpunkte

Die Spurpunkte einer Ebene $E$ sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und haben folgende Form:

Schnittpunkt mit der $x_1$ -Achse: $S_{x_1}(s_1\mid 0 \mid 0)$

Schnittpunkt mit der $x_2$ -Achse: $S_{x_2}(0\mid s_2 \mid 0)$

Schnittpunkt mit der $x_3$ -Achse: $S_{x_3}(0\mid 0 \mid s_3)$ .

Graph mit drei Linien und Achsenbeschriftungen x1, x2 und x3. Linien S1, S2 und S3 schneiden sich.

Vorgehen für Koordinatenform

Setze jweils die beiden Koordinaten wie oben dargestellt $=0$ in die Ebenengleichung ein und löse nach der fehlenden Koordinate auf.

Um die Spurpunkte zu erhalten, bestimmt man zunächst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_1$ -Achse:

$x_2=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_1=6$

$S_1(6\mid0\mid0)$ .

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_2$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_2=-3$

$S_2(0\mid-3\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_3$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_2=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_3=6$

$S_3(0\mid0\mid6)$

Die Punkte werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_1$ -Achse:

$x_2=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_1=6$

$S_1(6\mid0\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_2$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_2=4$

$S_2(0\mid4\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_3$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_2=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_3=-6$

$S_3(0\mid0\mid-6)$

Die Punkte werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_1$ -Achse:

$x_2=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_1=3$

$S_1(3\mid0\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_2$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_2=-9$

$S_2(0\mid-9\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_3$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_2=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_3=-9$

$S_3(0\mid0\mid-9)$

Die Punkte werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_1$ -Achse:

$x_2=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_1=4$

$S_1(4\mid0\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_2$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_3=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_2=-8$

$S_2(0\mid-8\mid0)$

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt der Ebene mit der $x_3$ -Achse:

$x_1=0$ , $x_2=0$ werden gleich Null gesetzt:

$x_3=2$

$S_3(0\mid0\mid2)$

Die Punkte werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

Zunächst liest man die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ab. Die Punkte kann man nun in die allgemeine Koordinatengleichung einsetzen und ein LGS aufstellen.

$E:\;ax_1+bx_2+cx_3=d$

Die Schnittpunkte sind $S_1(4\mid0\mid0)$ , $S_2(0\mid3\mid0)$ , $S_3(0\mid0\mid6)$

1.Schritt: Schnittpunkte in die Gleichung einsetzen

$\begin{array}{lrll} Ⅰ&4a&+&...\\ Ⅱ&0\cdot a&+&...\\ Ⅲ&0\cdot a&+&...\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2.Schritt: Ebenengleichung berechnen

$\dfrac{d}{4}x_1+\dfrac{d}{3}x_2+\dfrac{d}{6}x_3=d \qquad \mid:d\quad\quad \\ d\neq0$

$\dfrac{1}{4}x_1+\dfrac{1}{3}x_2+\dfrac{1}{6}x_3=1$

Damit erhält man folgende Ebenengleichung $\,E:\; \dfrac{1}{4}x_1+\dfrac{1}{3}x_2+\dfrac{1}{6}x_3=1$

$E:\;ax_1+bx_2+cx_3=d$

Die Schnittpunkte sind $S_1(6\mid0\mid0)$ , $S_2(0\mid6\mid0)$ , $S_3(0\mid0\mid2)$

1.Schritt: Schnittpunkte in die Gleichung einsetzen

$\begin{array}{lrll} Ⅰ&6a&+&...\\[5pt] Ⅱ&0\cdot a&+&...\\[5pt] Ⅲ&0\cdot a&+&...\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2.Schritt: Ebenengleichung berechnen

$\begin{array}{rll} \dfrac{d}{6}x_1+\dfrac{d}{6}x_2+\dfrac{d}{2}x_3=&d \qquad &\mid:d\;\quad \\ d\neq0\\[5pt] \dfrac{1}{6}x_1+\dfrac{1}{6}x_2+\dfrac{1}{2}x_3=&1 \qquad &\mid\cdot 6 \\[5pt] x_1+x_2+3x_3=&6 \end{array}$

Damit erhält man folgende Ebenengleichung $\,E:\; x_1+x_2+3x_3=6$

$E:\;ax_1+bx_2+cx_3=d$

Die Schnittpunkte sind $S_1(7\mid0\mid0)$ , $S_2(0\mid1\mid0)$ , $S_3(0\mid0\mid -3)$

1.Schritt: Schnittpunkte in die Gleichung einsetzen

$\begin{array}{lrll} Ⅰ&7a&+&...\\[5pt] Ⅱ&0\cdot a&+&...\\[5pt] Ⅲ&0\cdot a&+&...\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2.Schritt: Ebenengleichung berechnen

$\begin{array}{rll} \dfrac{d}{7}x_1+dx_2-\dfrac{d}{3}x_3=&d \qquad \mid:d\;\quad \\ d\neq0\\[5pt] \dfrac{1}{7}x_1+x_2-\dfrac{1}{3}x_3=&1 \end{array}$

Damit erhält man folgende Ebenengleichung $\,E:\; \dfrac{1}{7}x_1+x_2-\dfrac{1}{3}x_3=1$

$E:\;ax_1+bx_2+cx_3=d$

Die Schnittpunkte sind $S_1(-4\mid0\mid0)$ , $S_2(0\mid-2\mid0)$ , $S_3(0\mid0\mid7)$

1.Schritt: Schnittpunkte in die Gleichung einsetzen

$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-4a&+&...\\[5pt] Ⅱ&0\cdot a&+&...\\[5pt] Ⅲ&0\cdot a&+&...\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2.Schritt: Ebenengleichung berechnen

$\begin{array}{rll} -\dfrac{d}{4}x_1-\dfrac{d}{2}x_2+\dfrac{d}{7}x_3=&d \qquad \mid:d\;\quad \\ d\neq0\\[5pt] -\dfrac{1}{4}x_1-\dfrac{1}{2}x_2+\dfrac{1}{7}x_3=&1 \end{array}$

Damit erhält man folgende Ebenengleichung $\,E:\; -\dfrac{1}{4}x_1-\dfrac{1}{2}x_2+\dfrac{1}{7}x_3=1$

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