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Baden-WürttembergGymnasium (G8)

Klassenstufe

Lerninhalte in Mathe

Mittelwert einer Funktion berechnen

Für den Mittelwert $\overline{m}$ der Funktionswerte einer Funktion $f$ über dem Intervall $[a; b]$ gilt die Formel:

$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

$\overline{m}$ bezeichnet somit den Durchschnitt aller Funktionswerte der Funktion $f$ in dem Intervall $[a;b].$

Berechne den Mittelwert der Funktion $f$ auf dem angegebenen Intervall $I.$

$f(x)=x^3+2x^2$ , $I=[0; 4]$

$f(x)=12x^2+x-9$ , $I=[-2; 2]$

$f(x)=x^{12}+9x^8$ , $I=[-1; 1]$

$f(x)=12x^3$ , $I=[-2; 2]$

Gib für die folgenden Graphen den Mittelwert auf dem gegebenen Intervall $I$ an.

$I=[0; 2 \pi]$

Grafik einer sinusförmigen Funktion auf einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Abb. 1: Sinusfunktion

$I=[-1; 1]$

Graph einer Funktion mit grüner Linie auf einem koordinierten Gitter.

Abb. 2: Graph

Im Jahr 2008 stellte Usain Bolt mit einer Zeit von $9,69\,\text{s}$ einen neuen Weltrekord über eine Strecke von $100\,\text{m}$ auf.

Die Funktion $f(x)=-0,009 \cdot x^2 +1,25 \cdot x$ beschreibt näherungsweise die Geschwindigkeit von Usian Bolt in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ nach $x$ Metern.

Bestimme die durchschnittliche Geschwindigkeit seines Weltrekordlaufes.

Ein Athlet in sportlicher Kleidung läuft auf einer Laufbahn, umgeben von Fotografen.

Abb. 3: Usain Bolt

Berechne den Mittelwert der Funktion $f$ auf dem angegebenen Intervall $I.$

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ , $I=[1; 2]$

$f(x)=\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}x^4$ , $I=[-2; 2]$

$f(x)=\sqrt{x^3}+9x^2$ , $I=[1; 4]$

$f(x)=\mathrm{e}^{x} + 4x^2$ , $I=[-2; -1]$

Bildnachweise [nach oben]

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https://goo.gl/6o5JzN - Richard Giles CC BY-SA 2.0.

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$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Aus dem gegebenen Intervall folgt $a=0$ und $b=4.$ Du hast hierbei die Funktion $f(x)=x^3+2x^2$ gegeben. Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=\dfrac{80}{3}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Es gilt $a=-2$ , $b=2$ und $f(x)=12x^2+x-9$ . Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=7$

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$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Du hast die Funktion $f(x)=x^{12}+9x^8$ gegeben. Mit $a=-1$ und $b=1$ folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=\dfrac{14}{13}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Es gilt $a=-2$ , $b=2$ und $f(x)=12x^3$ . Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=0$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Mittelwert angeben

Die Formel für den Mittelwert von einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lautet:

$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

Mit dem Integral wird somit zuerst der Flächeninhalt der Fläche berechnet, welche die $x$ -Achse und der Graph der gegebenen Funktion einschließen. An dem gegebenen Graphen kann man erkennen, dass die Fläche oberhalb der $x$ -Achse in dem Intervall $[0; \pi]$ genauso groß ist wie die Fläche unterhalb der Achse im Intervall $[\pi; 2\pi].$

Da Flächen unterhalb der $x$ -Achse mit negativem Vorzeichen gezählt werden folgt daraus, dass das Integral über dem Intervall $[0; 2 \pi]$ der dargestellten Funktion gleich Null ist. Somit gilt entsprechend nach der gegebenen Formel $\overline{m}=0.$

$\blacktriangleright$ Mittelwert angeben

Die Formel für den Mittelwert von einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lautet:

$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

An dem gegebenen Graphen kannst du erkennen, dass die zugehörige Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Somit folgt, dass die Fläche oberhalb der $x$ -Achse in dem Intervall $[0; 1]$ genauso groß ist wie die Fläche unterhalb der Achse im Intervall $[-1; 0].$

Da Flächen unterhalb der $x$ -Achse mit negativem Vorzeichen gezählt werden folgt daraus, dass das Integral über dem Intervall $[-1; 1]$ der dargestellten Funktion gleich Null ist. Somit gilt entsprechend nach der gegebenen Formel $\overline{m}=0.$

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmen

Gesucht ist der durchschnittliche Mittelwert der Funktion $f(x)=-0,009 \cdot x^2 +1,25 \cdot x$ im Intervall $[0; 100].$

Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\overline{m}=32,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Die durchschnittliche Geschwindigkeit von Usain Bolt bei seinem Weltrekordlauf betrug somit $32,5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Hierbei gilt $a=1$ , $b=2$ und $f(x)=\dfrac{1}{x}.$ Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2-1} \cdot \displaystyle\int_{1}^{2} \left(\dfrac{1}{x} \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ \ln(x) \right]^2_1 \\[5pt] &=& \ln(2) - \ln(1) \\[5pt] &=& \ln(2) \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen

Mit dem angegebenen Intervall folgt $a=-2$ und $b=2$ . Außerdem ist $f(x)=\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}x^4$ gegeben. Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen: