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Mittelwert von Funktionen

Spickzettel
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Für den Mittelwert $\overline{m}$ der Funktionswerte einer Funktion $f$ über dem Intervall $[a; b]$ gilt die Formel:
$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
$\overline{m}$ bezeichnet somit den Durchschnitt aller Funktionswerte der Funktion $f$ in dem Intervall $[a;b].$
#mittelwertvonfunktionen
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1.
Berechne den Mittelwert der Funktion $f$ auf dem angegebenen Intervall $I.$
b)
$f(x)=12x^2+x-9$, $I=[-2; 2]$
d)
$f(x)=12x^3$, $I=[-2; 2]$
2.
Gib für die folgenden Graphen den Mittelwert auf dem gegebenen Intervall $I$ an.
a)
$I=[0; 2 \pi]$
Integralrechnung: Mittelwert von Funktionen
Abb. 1: Sinusfunktion
Integralrechnung: Mittelwert von Funktionen
Abb. 1: Sinusfunktion
b)
$I=[-1; 1]$
Integralrechnung: Mittelwert von Funktionen
Abb. 2: Graph
Integralrechnung: Mittelwert von Funktionen
Abb. 2: Graph
3.
Integralrechnung: Mittelwert von Funktionen
Abb. 3: Usain Bolt
Integralrechnung: Mittelwert von Funktionen
Abb. 3: Usain Bolt
4.
Berechne den Mittelwert der Funktion $f$ auf dem angegebenen Intervall $I.$
b)
$f(x)=\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}x^4 $, $I=[-2; 2]$
d)
$f(x)=\mathrm{e}^{x} + 4x^2$, $I=[-2; 2]$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
[2]
© – SchulLV.
[3]
https://goo.gl/6o5JzN – Richard Giles CC BY-SA 2.0.
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1.
a)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Aus dem gegebenen Intervall folgt $a=0$ und $b=4.$ Du hast hierbei die Funktion $f(x)=x^3+2x^2$ gegeben. Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4-0} \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} \left(x^3+2x^2 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left[\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{2}{3} \cdot x^3 \right]^4_0 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{4^4}{4} + \dfrac{2}{3} \cdot 4^3 -\left(\dfrac{0^4}{4} + \dfrac{2}{3} \cdot 0^3 \right)\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(64 + \dfrac{2}{3} \cdot 64 \right) \\[5pt] &=& 16 + \dfrac{32}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{80}{3} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{m}=\dfrac{80}{3} $
b)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Es gilt $a=-2$, $b=2$ und $f(x)=12x^2+x-9$. Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2-(-2)} \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(12x^2+x-9 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left[\dfrac{12}{3} \cdot x^3 + \dfrac{x^2}{2} -9 \cdot x \right]^2_{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left[4 \cdot x^3 + \dfrac{x^2}{2} -9 \cdot x \right]^2_{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(4 \cdot 2^3 + \dfrac{2^2}{2} -9 \cdot 2-\left(4 \cdot (-2)^3 + \dfrac{(-2)^2}{2} -9 \cdot (-2) \right)\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot (32 + 2 - 18 -(-32 + 2 + 18)) \\[5pt] &=& 7\\[5pt] \end{array}$
$\overline{m}=7$
c)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Du hast die Funktion $f(x)=x^{12}+9x^8$ gegeben. Mit $a=-1$ und $b=1$ folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1-(-1)} \cdot \displaystyle\int_{-1}^{1} \left(x^{12}+9x^8 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{x^{13}}{13} + \dfrac{9}{9} \cdot x^9 \right]^1_{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left[\dfrac{x^{13}}{13} + x^9 \right]^1_{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{1^{13}}{13} + 1^9-\left(\dfrac{(-1)^{13}}{13} + (-1)^9 \right)\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{14}{13} -\left(-\dfrac{14}{13} \right)\right) \\[5pt] &=& \dfrac{14}{13}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{m}=\dfrac{14}{13}$
d)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Es gilt $a=-2$, $b=2$ und $f(x)=12x^3$. Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2-(-2)} \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(12 \cdot x^{3} \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left[\dfrac{12}{4} \cdot x^4 \right]^2_{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left[3 \cdot x^4 \right]^2_{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(3 \cdot 2^4 -\left(3 \cdot (-2)^4 \right)\right) \\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
$\overline{m}=0 $
2.
a)
$\blacktriangleright$  Mittelwert angeben
Die Formel für den Mittelwert von einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lautet:
$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
Mit dem Integral wird somit zuerst der Flächeninhalt der Fläche berechnet, welche die $x$-Achse und der Graph der gegebenen Funktion einschließen. An dem gegebenen Graphen kann man erkennen, dass die Fläche oberhalb der $x$-Achse in dem Intervall $[0; \pi]$ genauso groß ist wie die Fläche unterhalb der Achse im Intervall $[\pi; 2\pi].$
Da Flächen unterhalb der $x$-Achse mit negativem Vorzeichen gezählt werden folgt daraus, dass das Integral über dem Intervall $[0; 2 \pi]$ der dargestellten Funktion gleich Null ist. Somit gilt entsprechend nach der gegebenen Formel $\overline{m}=0.$
b)
$\blacktriangleright$  Mittelwert angeben
Die Formel für den Mittelwert von einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lautet:
$\overline{m}=\dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
An dem gegebenen Graphen kannst du erkennen, dass die zugehörige Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Somit folgt, dass die Fläche oberhalb der $x$-Achse in dem Intervall $[0; 1]$ genauso groß ist wie die Fläche unterhalb der Achse im Intervall $[-1; 0].$
Da Flächen unterhalb der $x$-Achse mit negativem Vorzeichen gezählt werden folgt daraus, dass das Integral über dem Intervall $[-1; 1]$ der dargestellten Funktion gleich Null ist. Somit gilt entsprechend nach der gegebenen Formel $\overline{m}=0.$
3.
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmen
Gesucht ist der durchschnittliche Mittelwert der Funktion $f(x)=-0,009 \cdot x^2 +1,25 \cdot x$ im Intervall $[0; 100].$
Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{100-0} \cdot \displaystyle\int_{0}^{100} \left(-0,009 \cdot x^2 +1,25 \cdot x \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{100} \cdot \left[-\dfrac{0,009}{3} \cdot x^3 +\dfrac{1,25}{2} \cdot x^2 \right]^{100}_0 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{100} \cdot \left[-0,003 \cdot t^3 +0,625 \cdot t^2 \right]^{100}_0 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{100} \cdot \left(-0,003 \cdot 100^3 +0,625 \cdot 100^2 -\left(-0,003 \cdot 0^3 +0,625 \cdot 0^2 \right) \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{100} \cdot \left(-0,003 \cdot 100^3 +0,625 \cdot 100^2 \right) \\[5pt] &=& 32,5 \\[5pt] \end{array}$
$\overline{m}=32,5 $
Die durchschnittliche Geschwindigkeit von Usain Bolt bei seinem Weltrekordlauf betrug somit $32,5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.$
4.
a)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Hierbei gilt $a=1$, $b=2$ und $f(x)=\dfrac{1}{x}.$ Somit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2-1} \cdot \displaystyle\int_{1}^{2} \left(\dfrac{1}{x} \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ \ln(x) \right]^2_1 \\[5pt] &=& \ln(2) - \ln(1) \\[5pt] &=& \ln(2) \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Mit dem angegebenen Intervall folgt $a=-2$ und $b=2$. Außerdem ist $f(x)=\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}x^4$ gegeben. Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2-(-2)} \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(\mathrm{e}^{2x}+ \dfrac{1}{2}x^4 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2x}+ \dfrac{1}{10} x^5 \right]^2_{-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot 2}+ \dfrac{1}{10} \cdot 2^5 - \left(\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot (-2)}+ \dfrac{1}{10} \cdot (-2)^5 \right) \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{4}+ \dfrac{1}{10} \cdot 32 - \left(\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4}+ \dfrac{1}{10} \cdot (-32) \right) \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{4}+ \dfrac{32}{10} - \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4}+ \dfrac{32}{10} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{4}+ \dfrac{64}{10} - \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{-4} \right) \\[5pt] &\approx& 8,42 \\[5pt] \end{array}$
$\overline{m} \approx 8,42 $
c)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Mit $a=1$, $b=4$ und $f(x)=\sqrt{x^3}+9x^2$ folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4-1} \cdot \displaystyle\int_{1}^{4} \left(\sqrt{x^3}+9x^2 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{1}^{4} \left(x^{\frac{3}{2}}+9x^2 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \left[\dfrac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{9}{3} \cdot x^3 \right]^4_1 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \left[\dfrac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}} + \dfrac{9}{3} \cdot x^3 \right]^4_1 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{2}{5}\cdot 4^{\frac{5}{2}} + 3 \cdot 4^3-\left(\dfrac{2}{5}\cdot 1^{\frac{5}{2}} + 3 \cdot 1^3 \right)\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{1024}{5} - \dfrac{17}{5} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1007}{15} \\[5pt] \end{array}$
$\overline{m}=\dfrac{1007}{15}$
d)
$\blacktriangleright$  Mittelwert berechnen
Es gilt $a=-2$, $b=-1$ und $f(x)=\mathrm{e}^{x} + 4x^2$. Damit folgt mit der Formel für den Mittelwert von Funktionen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m}&=& \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{-1-(-2)} \cdot \displaystyle\int_{-2}^{-1} \left(\mathrm{e}^x +4x^2 \right) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1} \cdot \left[\mathrm{e}^x +\dfrac{4}{3}x^3 \right]^{-1}_{-2} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{-1} +\dfrac{4}{3} \cdot (-1)^3 - \left(\mathrm{e}^{-2} +\dfrac{4}{3} \cdot (-2)^3 \right) \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{-1} -\dfrac{4}{3} - \mathrm{e}^{-2} +\dfrac{32}{3} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{-1} +\dfrac{28}{3} - \mathrm{e}^{-2}\\[5pt] &\approx& 9,57\\[5pt] \end{array}$
$\overline{m} \approx 9,57$
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