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Extrem- und Wendepunkte

Spickzettel
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Extrempunkte

Stellst du dir den Graphen einer Funktion $f$ als Gebirge vor, dann sind die Hochpunkte gerade die Spitzen der Berge. Sie sind die Punkte eines Graphen, in denen sich die Steigung von positiv zu negativ ändert. Analog dazu kannst du dir die Tiefpunkte als die tiefsten Stellen in den Tälern vorstellen. Dort ändert sich die Steigung von negativ zu positiv. Daher nimmt die Funktion in diesen Punkten ihr lokales Maximum bzw. Minimum an, global betrachtet, muss dies aber nicht zwangsweise der größte bzw. kleinste Funktionswert sein.
Damit es sich bei der Stelle $x_E$ um eine Extremstelle handelt, müssen zwei Kriterien erfüllt sein:
  1. Notwendiges Kriterium: $f'(x_E) = 0$
  2. Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
    • Wert der zweiten Ableitung: $f''(x_E) < 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt ein Hochpunkt des Graphen von $f$. $f''(x_E) > 0$ $\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ befindet sich ein Tiefpunkt des Graphen von $f$
    • Vorzeichen-Wechsel der ersten Ableitung: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ positiv und nach $x_E$ negativ, so liegt in $x_E$ ein Hochpunkt des Graphen.
      Umgekehrt: Ist der Wert der ersten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_E$ negativ und nach $x_E$ positiv, so liegt in $x_E$ ein Tiefpunkt des Graphen.

Berechnung

Die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:
  1. Bilde die erste und zweite Ableitungsfunktion von $f$
  2. Notwendiges Kriterium anwenden: $f'(x) = 0$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_E$
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen: $f''(x_E)$ berechnen.
  4. $y$-Koordinaten: $f(x_E)$ berechnen

Beispiel

$f(x) = x^2$
$\Rightarrow f'(x) = 2\cdot x \qquad $ $f''(x) = 2 $
$\begin{array}{rlll} f'(x) =&0&\\ 2\cdot x = &0&\\ x_E =&0&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ An der Stelle $x_E$ liegt möglicherweise ein Extrempunkt des Graphen von $f$.
$f''(x_E) = 2 > 0 \Rightarrow $ An der Stelle $x_E = 0$ liegt ein Tiefpunkt des Graphen von $f$.
$f(x_E) = f(0) = 0 $
Insgesamt folgt, dass der Graph von $f$ einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0\mid 0)$ besitzt. Weitere Extrempunkte gibt es nicht.

Wendepunkte

Erklärung

Wendepunkte sind die Punkte des Graphen von $f$, in denen der Graph seine Krümmung ändert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass eine Wendestelle von $f$ eine Extremstelle der ersten Ableitungsfunktion $f'$ ist. Dementsprechend gelten hierfür ebenfalls die beiden Kriterien, wobei hier aber alles eine Ebene nach oben gesetzt wird:
  1. Notwendiges Kriterium: $f''(x_W) = 0$
  2. Hinreichendes Kriterium: Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten
    • Wert der dritten Ableitung: $f'''(x_W) \neq 0$
    • Vorzeichen-Wechsel der zweiten Ableitung: Ist der Wert der zweiten Ableitung von $f$ vor der Stelle $x_W$ positiv und nach $x_W$ negativ bzw. umgekehrt, so handelt es sich bei $x_W$ tatsächlich um eine Wendestelle

Berechnung

Die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen einer Funktion $f$ kannst du wie folgt berechnen:
  1. Bilde die zweite und dritte Ableitungsfunktion von $f$
  2. Notwendiges Kriterium anwenden: $f''(x) = 0$ setzen. Dadurch erhältst du mögliche Extremstellen $x_W$
  3. Hinreichendes Kriterium überprüfen: $f'''(x_W)$ berechnen.
  4. $y$-Koordinaten: $f(x_W)$ berechnen
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Aufgaben
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1.
Prüfe, ob $K_f$ Extrempunkte und Wendepunkte besitzt und bestimme diese gegebenenfalls. Prüfe auch, ob es sich bei den Extrempunkten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Die zugehörigen $y$-Koordinaten sind nicht verlangt.
b)
$f\left(x\right)=x^3-3x-2$
d)
$f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x$
2.
Prüfe, ob $K_f$ Extrempunkte und Wendepunkte besitzt und bestimme diese gegebenenfalls. Prüfe auch, ob es sich bei den Extrempunkten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Die zugehörigen $y$-Koordinaten sind nicht verlangt.
b)
$f\left(x\right)=\left(x-1\right)^3$
3.
Extremwerte
a)
Zeige, dass $f$ mit $f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x$ bei $x=2$ ein lokales Minimum hat.
b)
Hat das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2x^2+3$ bei $x_0=0$ einen Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt?
c)
Hat die Funktion $f$ mit $f(x)=\ln(x)-x$ lokale Extrema?
d)
Bestimme $a$ so, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+ax^2$ an der Stelle $x_0=\frac{1}{2}$ eine Extremstelle besitzt. Untersuche, ob es sich hierbei um ein Maximum oder um ein Minimum handelt.
e)
Überprüfe, ob die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4x$ an der Stelle $x_0=2$ ein lokales Maximum besitzt.
f)
Nenne zwei Möglichkeiten, um zu untersuchen, ob an einer potentiellen Extremstelle $x_0$ ein Sattelpunkt vorliegt. Wende beide Möglichkeiten auf die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2$, $x_0=0$ an.
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Lösungen
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1.
a)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\left(x+1\right)^2-3\\ f'\left(x\right)&=&2\cdot\left(x+1\right)=2x+2\\ f''\left(x\right)&=&2\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 2x+2&=&0&\scriptsize{\mid -2}\\ 2x&=&-2&\scriptsize{\mid :2}\\ x&=&-1\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$\begin{array}{rll} f''\left(-1\right)&=&2&\scriptsize{ > 0: \text{Tiefpunkt}}\\ \end{array}$
$K_f$ besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle $x=-1$.
Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 2&=&0\\ \end{array}$
Die Gleichung $f''(x)=0$ besitzt keine Lösung; somit besitzt $K_f$ keinen Wendepunkt.
b)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&x^3-3x-2\\ f'\left(x\right)&=&3x^2-3\\ f''\left(x\right)&=&6x\\ f'''\left(x\right)&=&6\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 3x^2-3&=&0&\scriptsize{\mid +3}\\ 3x^2&=&3&\scriptsize{\mid :3}\\ x^2&=&1&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm1\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$\begin{array}{rll} f''\left(-1\right)&=&6\cdot\left(-1\right)=-6&\scriptsize{ $ < $ 0: \text{Hochpunkt}}\\ f''\left(1\right)&=&6\cdot1=6&\scriptsize{ $ > $ 0: \text{Tiefpunkt}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f''\left(1\right)&=&6\cdot1=6&\scriptsize \end{array}$
$K_f$ besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $x=-1$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $x=1$.
Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 6x&=&0&\scriptsize{\mid :6}\\ x&=&0\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f'''(x)\neq0}$
$\begin{array}{rll} f'''\left(0\right)&=&6&\scriptsize{\neq0: \text{Wendepunkt}}\\ \end{array}$
$K_f$ besitzt einen Wendepunkt bei $x=0$.
c)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&x^4-4x^2+3\\ f'\left(x\right)&=&4x^3-8x\\ f''\left(x\right)&=&12x^2-8\\ f'''\left(x\right)&=&24x\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 4x^3-8x&=&0&\scriptsize{x\; \text{ausklammern}}\\ x\left(4x^2-8\right)&=&0\\ \end{array}$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt gleich Null, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist:
$x_1=0$
$\begin{array}{rll} 4x^2-8&=&0&\scriptsize{\mid +8}\\ 4x^2&=&8&\scriptsize{\mid :4}\\ x^2&=&2&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{2,3}&=&\pm\sqrt{2}\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$\begin{array}{rll} f''\left(0\right)&=&12\cdot0-8=-8&\scriptsize{ $ < $ 0: \text{Hochpunkt}}\\ f''\left(-\sqrt{2}\right)&=&12\cdot\left(-\sqrt{2}\right)^2-8\\ &=&12\cdot2-8=16&\scriptsize{ $ > $ 0: \text{Tiefpunkt}}\\ f''\left(\sqrt{2}\right)&=&12\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2-8\\ &=&12\cdot2-8=16&\scriptsize{ $ > § 0: \text{Tiefpunkt}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f''\left(0\right)&=&-8&\\[5pt] f''\left(-\sqrt{2}\right)&=&16&\\ f''\left(\sqrt{2}\right)&=&16&\\ \end{array}$
$K_f$ besitzt einen Hochpunkt bei $x=0$ und je einen Tiefpunkt an den Stellen $x=-\sqrt2$ und $x=\sqrt2$.
Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 12x^2-8&=&0&\scriptsize{\mid +8}\\ 12x^2&=&8&\scriptsize{\mid :12}\\ x^2&=&\dfrac{2}{3}&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f'''(x)\neq0}$
$\begin{array}{rll} f'''\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&=&24\cdot\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&\scriptsize{\neq0: \text{Wendepunkt}}\\ f'''\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&=&24\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}&\scriptsize{\neq0: \text{Wendepunkt}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} f'''\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&=& …\\ f'''\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)&=& …\\ \end{array}$
$K_f$ besitzt je einen Wendepunkt bei $x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ und bei $x=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
d)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x\\ f'\left(x\right)&=&x^2-2x-3\\ f''\left(x\right)&=&2x-2\\ f'''\left(x\right)&=&2\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} x^2-2x-3&=&0\\ \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{1+3}\\ &=&1\pm2\\ x_1&=&-1\\ x_2&=&3\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$\begin{array}{rll} f''\left(-1\right)&=&-4&\\ f''\left(3\right)&=&4&\\ \end{array}$
$K_f$ besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $x=-1$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $x=3$.
Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 2x-2&=&0&\scriptsize{\mid +2}\\ 2x&=&2&\scriptsize{\mid :2}\\ x&=&1\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f'''(x)\neq0}$
$\begin{array}{rll} f'''\left(1\right)&=&2&\scriptsize{\neq0: \text{Wendepunkt}}\ \end{array}$
$K_f$ besitzt einen Wendepunkt bei $x=1$.
2.
a)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&ax^3-12ax-4\\ f'\left(x\right)&=&3ax^2-12a\\ f''\left(x\right)&=&6ax\\ f'''\left(x\right)&=&6a\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 3ax^2-12a&=&0&\scriptsize{\mid :3a}\\ x^2-4&=&0&\scriptsize{\mid +4}\\ x^2&=&4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;\;\;}}\\ x_{1,2}&=&\pm2\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$\begin{array}{rll} f''\left(-2\right)&=&6a\cdot\left(-2\right)\\ f''\left(-2\right)&=&-12a\\ \end{array}$
Für $a > 0$: $f''\left(-2\right) < 0$: Hochpunkt bei $x=-2$.
Für $a < 0$: $f''\left(-2\right) > 0$: Tiefpunkt bei $x=-2$.
$\begin{array}{rll} f''\left(2\right)&=&6a\cdot2\\ f''\left(2\right)&=&12a\\ \end{array}$
Für $a > 0$: $f''\left(2\right) > 0$: Tiefpunkt bei $x=2$.
Für $a < 0$: $f''\left(2\right) < 0$: Hochpunkt bei $x=2$.
Notwendiges Kriterium für Wendestellen: $\boldsymbol{f''(x)=0}$
$\begin{array}{rll} f''\left(-2\right)&=&-12a\\ f''\left(2\right)&=&12a\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} 6ax&=&0&\scriptsize{\mid :6a}\\ x&=&0\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium $für\text{ Wendestellen}:$ $\boldsymbol{f'''(x)\neq0}$
$\begin{array}{rll} f'''\left(0\right)&=&6a\\ \end{array}$
Für $a>0$ und $a \neq 0$: $f'''\left(0\right)\neq0$: Wendepunkt bei $x=0$.
b)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\left(x-1\right)^3\\ f'\left(x\right)&=&3\left(x-1\right)^2\\ f''\left(x\right)&=&6\left(x-1\right)\\ f'''\left(x\right)&=&6\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} 3\left(x-1\right)^2&=&0&\scriptsize{\mid :3}\\ \left(x-1\right)^2&=&0&\scriptsize{ Ausmultiplizieren}\\ x^2-2x+1&=&0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} x^2-2x+1&=&0\\ \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&1\pm\sqrt{1-1}\\ x&=&1\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$\begin{array}{rll} f''\left(1\right)&=&6\left(1-1\right)\\ f''\left(1\right)&=&0\\ \end{array}$
$f''\left(1\right)=0$: kein Extrempunkt.
Da $f'\left(1\right)=0$ und $f''\left(1\right)=0$ sind, handelt es sich hier wahrscheinlich um einen Sattelpunkt.
Dies lässt sich beweisen: $f'''\left(1\right)=6$, also nicht 0.
$K_f$ besitzt einen Sattelpunkt bei $x=1$.
Anmerkung: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, allerdings kein Extrempunkt.
3.
a)
$f$ hat bei $x=2$ ein lokales Minimum, wenn
  • $f'(2)=0$$\quad$und
  • $f''(2) > 0$
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\dfrac{1}{3}x^3-4x\\ f'(x)&=&x^2-4\\ f''(x)&=&2x\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Minimum: $\boldsymbol{f'(2)=0}$
$f'(2)=2^2-4=4-4=0$.
Das notwendige Kriterium für ein Minimum ist erfüllt.
Hinreichendes Kriterium für Minimum: $\boldsymbol{f''(2) > 0}$
$f''(2)=2\cdot2=4 > 0$.
Auch das hinreichende Kriterium für ein Minimum ist erfüllt.
$f$ besitzt ein Minimum bei $x=2$.
b)
Zeige zunächst, dass $f'(0)=0$ ist und damit überhaupt Punkt mit waagerechter Tangente vorliegt. Untersuche dann $f''(0)$.
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3-2x^2+3\\ f'(x)&=&3x^2-4x\\ f''(x)&=&6x-4\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium: $\boldsymbol{f'(0)=0}$
$f'(0)=3\cdot0-4\cdot0=0$.
Damit liegt an der Stelle $x=0$ ein Punkt mit waagerechter Tangente vor.
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$f''(0)=6\cdot0-4=-4<0$: Hochpunkt
An der Stelle $x_0=0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Hochpunkt.
c)
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f(x)&=&\ln(x)-x\\ f'(x)&=&\dfrac{1}{x}-1\\ f''(x)&=&-\dfrac{1}{x^2}\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(x)=0}$
$\begin{array}{rll} f'(x)=\dfrac{1}{x}-1&0&\scriptsize{\mid\;+1}\\ \dfrac{1}{x}&1&\scriptsize{\mid\;\cdot x}\\ x&1\\ \end{array}$
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
$f''(1)=-\dfrac{1}{1^2}=-1<0$: Hochpunkt.
Die Funktion $f$ besitzt bei $x=1$ ein lokales Maximum.
d)
Wenn die Stelle $x_0=\frac{1}{2}$ Extremstelle der Funktion $f$ sein soll, so muss gelten:
  • $f'(\frac{1}{2})=0$ und
  • $f''(\frac{1}{2})\neq0$.
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3+ax^2\\ f'(x)&=&3x^2+2ax\\ f''(x)&=&6x+2a\\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'\left(\frac{1}{2}\right)=0}$
$\begin{array}{rll} f'(\frac{1}{2})=3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+2a\cdot\frac{1}{2}=&0\\ \frac{3}{4}+a=&0&\scriptsize{\mid\;-\frac{3}{4}}\\ a=&-\frac{3}{4}\\ \end{array}$
Für $a=-\frac{3}{4}$ liegt an der Stelle $x_0=\frac{1}{2}$ eine potentielle Extremstelle vor.
Hinreichendes Kriterium: Art der Extrema untersuchen
Betrachte für $a=-\frac{3}{4}$ den Wert von $f''\left(\frac{1}{2}\right)$:
$f''\left(\frac{1}{2}\right)=6\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=3-\frac{3}{2}=1{,}5 > 0$: Minimum.
Für $a=-\frac{3}{4}$ liegt an der Stelle $x_0=\frac{1}{2}$ ein Minimum vor.
$\begin{array}{rll} f'(\frac{1}{2})=3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+2a\cdot\frac{1}{2}=&0\\ \end{array}$
e)
$f$ besitzt bei $x_0=2$ ein lokales Maximum, falls gilt:
  • $f'(2)=0$ und
  • $f''(2) < 0$
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^4-4x\\ f'(x)&=&4x^3-4 \\ f''(x)&=&12x^2 \\ \end{array}$
Notwendiges Kriterium für Extrema: $\boldsymbol{f'(2)=0}$
$f'(2)=4\cdot2^3-4=4\cdot8-4=32-4=28\neq0$.
Da $f'(2)\neq0$ liegt an dieser Stelle gar keine Extremstelle vor.
$f'(2)=4\cdot2^3-4=…\neq0$.
f)
An einer Stelle $x_0$ liegt ein Sattelpunkt vor, falls gilt:
  • $f'(x_0)=0$, $f''(x_0)=0$, $f'''(x_0)\neq0$ bzw. alternativ
  • $f'(x_0)=0$, $f''(x_0)=0$ und $f''$ besitzt Vorzeichenwechsel bei $x_0$
Wende nun die beiden Möglichkeiten an. Bekannt ist, dass $x_0$ eine potentielle Extremstelle ist, d.h. es ist $f'(x_0)=0$.
Ableitungen bestimmen
$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^3+2&\scriptsize{ x_0=0} \\ f'(x)&=&3x^2 \\ f''(x)&=&6x \\ f'''(x)&=&6\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$f'(0)=3\cdot0=0$: Es liegt eine potentielle Extremstelle vor.
$f''(0)=6\cdot0=0$ und $f'''(0)=6\neq0$: Bei $x_0=0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Sattelpunkt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
$f'(0)=3\cdot0=0$: Es liegt eine potentielle Extremstelle vor.
Für $x < 0$ ist $f''(x)=6x < 0$, für $x > 0$ ist $f''(x)=6x > 0$. Es liegt also bei $x_0=0$ ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung vor. Damit folgt: Bei $x_0=0$ besitzt das Schaubild von $f$ einen Sattelpunkt.
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