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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Spickzettel
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Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ unter der Bedingung von Ereignis $B$ nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit und bezeichnet diese mit $P_B(A)$ oder $P(A\mid B)$. Sie bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $A$ eintritt, wenn bereits feststeht, dass Ereignis $B$ eintritt. Man kann diese wie folgt berechnen:
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten lässt sich die totale Wahrscheinlichkeit für $A$ wie folgt berechnen:
$P(A) = P_B(A)\cdot P(B) +P_{\overline{B}}(A) \cdot P(\overline{B})$
$P(A) =\\ P_B(A)\cdot P(B) +P_{\overline{B}}(A) \cdot P(\overline{B})$

Beispiel

Betrachte eine Urne mit 3 roten und 2 schwarzen Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
$A$: im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen
$B$: im ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen
Ereignis $A$ ist abhängig von $B$. Wir können nun $P_B(A)$ berechnen, indem wir voraussetzen, dass $B$ eingetreten ist. Daher liegen für den zweiten Zug noch 1 schwarze Kugel und 3 rote Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn bereits eine schwarze gezogen wurde, ergibt sich damit zu $P_B(A) = \frac{3}{4}$.
Dagegen würde sich die Wahrscheinlichkeit, generell im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen ohne, dass das Ergebnis des ersten Zuges bekannt ist, mit Hilfe der Pfadregeln wie folgt ergeben:
$P(A) = P_B(A)\cdot P(B)+ P_{\text{„im ersten Zug wird rot gezogen“}}(A)\cdot P_{\text{„im ersten Zug wird rot gezogen“}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$
$P(A) = \frac{3}{5}$

Der Satz von Bayes

Der Satz von Bayes drückt den Zusammenhang zwischen $P_B(A)$ und $P_A(B)$ aus:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$

Beispiel

Im obigen Beispiel berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Zug eine schwarze Kugel gezogen wurde, wenn nur bekannt ist, dass im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P_B(A)\cdot P(B)}{P(A)} &\quad\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} &\quad\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Zwei Ereignisse beim Würfeln sind gegeben durch $A=\left\{2;3;6\right\}$ und $B=\left\{1;2;3;5\right\}$.
Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$ und $P_A(B)$.
2.
Studien gibt es ja wie Sand am Meer. Eine Studie beschäftigt sich z.B. mit dem Zusammenhang zwischen den Merkmalen $M$ (Versuchsperson ist Brillenträger) und I (Versuchsperson hat eine gegenüber dem Bevölkerungsdurchschnitt erhöhte Intelligenz).
Bei 1000 Versuchspersonen ergibt sich diese Tabelle:
$M$ $\overline{M}$
$I$ 110
$\overline{I}$ 400
200 1000
Vervollständige die Vierfeldertafel und bestimme die Wahrscheinlichkeiten $P_M(I)$ und $P_{\overline{M}}(I)$.
3.
Zwei ideale Würfel werden geworfen.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme mindestens 8 beträgt, wenn du bereits weißt, dass mindestens einer der Würfel eine 4 zeigt?
4.
Von den 16-jährigen Jugendlichen in einer Stadt sind $49\%$ Mädchen und $51\%$ Jungen. Nach einer Befragung über die Freizeitangebote in der Stadt sagten $53\%$ der 16-jährigen Jugendlichen, dass die Freizeitangebote gut sind. Speziell von den 16-jährigen Jungen fanden nur $47\%$ die Freizeitangebote gut.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein 16-jähriger Jugendlicher, der die Freizeitangebote gut findet, ein Junge ist.
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Lösungen
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1.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Aus $A=\left\{2;3;6\right\}$, $B=\left\{1;2;3;5\right\}$ und $A\cap B=\left\{2;3\right\}$ ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
$P(A)=\dfrac{3}{6}$, $P(B)=\dfrac{4}{6}$ und $P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}$
Damit erhältst du:
$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{4}{6}}=\dfrac{1}{2}$ und $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}}=\dfrac{2}{3}$
2.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
$M$ $\overline{M}$
$I$ 110 490 600
$\overline{I}$ 90 310 400
200 800 1000
$P_M(I)=\dfrac{P(M\cap I)}{P(M)}=\dfrac{\frac{110}{1000}}{\frac{200}{1000}}=\dfrac{110}{200}=0,55$
$P_M(I)=… $
und
$P_{\overline{M}}(I)=\dfrac{P(\overline{M}\cap I)}{P(\overline{M})}=\dfrac{\frac{490}{1000}}{\frac{800}{1000}}=\dfrac{490}{800}=0,6125$
$P_{\overline{M}}(I)=… $
Die Wahrscheinlichkeit für überdurchschnittliche Intelligenz ist in dieser Versuchsreihe in der Gruppe der Nicht-Brillenträger höher.
3.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Sei A das Ereignis „Augensumme $\geq 8$“ und B das Ereignis „Ein Würfel zeigt eine 4“, dann erhältst du:
$A=\{26;35;36;44;45;46;53;54;55;56;62;63;64;65;66\}$
$A= … $
$B=\{14;24;34;41;42;43;44;45;46;54;64\}$ und $B\cap A=\{44;45;46;54;64\}$
$B= … $
Damit gilt:
a)
$P(A)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}$
$\Longrightarrow$ 15 von insgesamt 36 Ausfällen sind günstig.
b)
$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}}=\dfrac{5}{11}$
$\Longrightarrow$ Die Wahrscheinlichkeit ist damit höher.
4.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Sei $J$ das Ereignis „Befragter ist ein Junge“ und $G$ das Ereignis „Befragter findet Freizeitangebot gut“.
Dann ist:
$P(J)=0,51$
$P(G)=0,53$
$P_J(G)=0,47$
Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
$P_G(J)=\dfrac{P(G\cap J)}{P(G)}$ mit $P(G\cap J)= P(J\cap G)=P(J)\cdot P_J(G)$
$P_G(J)=\dfrac{P(J)\cdot P_J(G)}{P(G)}=\dfrac{0,51\cdot0,47}{0,53}\approx0,4523$
$P_G(J)=… $
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. $\small{45\,\%}$.
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