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Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ unter der Bedingung von Ereignis $B$ nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit und bezeichnet diese mit $P_B(A)$ oder $P(A\mid B)$. Sie bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $A$ eintritt, wenn bereits feststeht, dass Ereignis $B$ eintritt. Man kann diese wie folgt berechnen:
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
$P_B(A)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten lässt sich die totale Wahrscheinlichkeit für $A$ wie folgt berechnen:
$P(A) = P_B(A)\cdot P(B) +P_{\overline{B}}(A) \cdot P(\overline{B})$
$P(A) =\\ P_B(A)\cdot P(B) +P_{\overline{B}}(A) \cdot P(\overline{B})$

Beispiel

Betrachte eine Urne mit 3 roten und 2 schwarzen Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
$A$: im zweiten Zug wird eine rote Kugel gezogen
$B$: im ersten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen
Ereignis $A$ ist abhängig von $B$. Wir können nun $P_B(A)$ berechnen, indem wir voraussetzen, dass $B$ eingetreten ist. Daher liegen für den zweiten Zug noch 1 schwarze Kugel und 3 rote Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn bereits eine schwarze gezogen wurde, ergibt sich damit zu $P_B(A) = \frac{3}{4}$.
Dagegen würde sich die Wahrscheinlichkeit, generell im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen ohne, dass das Ergebnis des ersten Zuges bekannt ist, mit Hilfe der Pfadregeln wie folgt ergeben:
$P(A) = P_B(A)\cdot P(B)+ P_{\text{„im ersten Zug wird rot gezogen“}}(A)\cdot P_{\text{„im ersten Zug wird rot gezogen“}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$
$P(A) = \frac{3}{5}$

Der Satz von Bayes

Der Satz von Bayes drückt den Zusammenhang zwischen $P_B(A)$ und $P_A(B)$ aus:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$

Beispiel

Im obigen Beispiel berechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Zug eine schwarze Kugel gezogen wurde, wenn nur bekannt ist, dass im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird, wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_A(B)&=& \dfrac{P_B(A)\cdot P(B)}{P(A)} &\quad\\[5pt] &=&\dfrac{\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} &\quad\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \end{array}$
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