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Zweiseitiger Test

Einseitiger Test

Spickzettel
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Einseitiger Hypothesentest

Mit Hilfe von Hypothesentests kann man auf Grundlage einer Stichprobe entscheiden, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit statistisch gesehen gerechtfertigt ist oder eventuell korrigiert werden sollte. Die Vermutung wird Nullhypothese genannt und gegen die Alternative getestet. Bei einseitigen Tests haben die Hypothesen folgende Formen:
  • Linksseitiger Test: Nullhypothese: $H_0: p \geq p_1$ Alternative: $H_1: p < p_1$
  • Rechtsseitiger Test: Nullhypothese: $ H_0: p \leq p_1$ Alternative: $H_1: p > p_1$
  • Linksseitiger Test: Nullhypothese: $H_0:$ $p \geq p_1$ Alternative: $H_1:$ $p < p_1$
  • Rechtsseitiger Test: Nullhypothese: $ H_0:$ $p \leq p_1$ Alternative: $H_1:$ $p > p_1$
  • Bei linksseitigen Tests wird also geprüft, ob die Wahrscheinlichkeit $p$ tatsächlich mindestens $p_1$ beträgt. Bei rechtsseitigen Tests wird dagegen geprüft, ob die Wahrscheinlichkeit tatsächlich höchstens $p_1$ beträgt.

    Vorgehen

    Bei der Durchführung eines Signifikanztests wird allgemein folgendermaßen vorgegangen:
    • Formulieren der Hypothesen und Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha$
    • Aufstellen eines Ablehnungsbereichs $\overline{A}$
    • Betrachten einer Stichprobe
    • Entscheidungsregel formulieren
    Das Signifikanzniveau wird auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt. Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, die Hypothese fälschlicherweise abzulehnen. Dies ist in den Aufgabenstellungen meistens vorgegeben. Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ und der Annahmebereich $A$ haben folgende Form:
    • Linksseitiger Test: $\overline{A} = [0;k-1]$ und $A = [k;n]$
    • Rechtsseitiger Test: $\overline{A} = [k+1;n]$ und $A = [0;k]$
    • Linksseitiger Test: $\overline{A}$ = $[0;k-1]$ und $A$ = $[k;n]$
    • Rechtsseitiger Test: $\overline{A}$ = $[k+1;n]$ und $A$ = $[0;k]$
    Liegt die Anzahl der Treffer der Stichprobe innerhalb dieses Ablehnungsbereichs, so wird die Hypothese auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ verworfen, andernfalls liegt sie innerhalb des Annahmebereichs und wird somit als bestätigt angesehen. Die Intervallgrenze $k$ wird beim linksseitigen Test linke Grenze und beim rechtsseitigen Test rechte Grenze genannt.

    Berechnen der Grenze

    Da das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine Stichprobe innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt, obwohl die Nullhypothese gilt, muss bei einem linksseitigen Test folgende Gleichung gelten, wobei $X$ die betrachtete Zufallsvariable mit einer entsprechenden Verteilung ist.
    $P(X\leq k-1 ) \approx \alpha$
    $P(X\leq k-1 )$ $\approx \alpha$
    Mit Hilfe der Verteilung von $X$ kannst du das $k$ aus dieser Gleichung berechnen.
    Bei einem rechtsseitigen Test gilt entsprechend:
    $P(X\geq k+1 ) \approx \alpha$
    $P(X\geq k+1 )$ $\approx \alpha$

    Beispiel

    Vorgegeben sind: $H_0: p \leq 0,5$, $\alpha = 5\,\%$ und der Stichprobenumfang $n = 20$, wobei die betrachtete Größe als binomialverteilt angenommen werden soll.
    Anhand der Hypothese $H_0$ kannst du erkennen, dass hier ein rechtsseitiger Test durchgeführt wird. Wir suchen also nun den Ablehnungsbereich $\overline{A} = [k+1;n] = [k+1;20]$. Es soll also folgende Gleichung erfüllt sein:
    $P(X \geq k+1)\approx 0,05$ $\Leftrightarrow P(X\leq k) \approx 0,95 $
    Mit Hilfe der Tabelle für die kummulierte Binomialverteilung erhalten wir nun: $P(X \leq 13 ) \approx 0,94$ $\Rightarrow k = 13$ $\Rightarrow \overline{A} = [14;20]$
    Sind in der Stichprobe mindestens 14 Treffer enthalten, so kann die Hypothese $H_0: p \leq 0,5$ auf dem Signifikanzniveau $5\,\%$ verworfen werden. Bei weniger als 14 Treffern kann diese Hypothese angenommen werden.

    Fehler

    Bei der Durchführung von Signifikanztests können zwei Fehler auftreten:
    • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl diese in Wahrheit zutrifft.
    • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird angenommen, obwohl tatsächlich die Alternative gilt.

    Wahrscheinlichkeit für die Fehler

    Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art entspricht dem Signifikanzniveau. Kennst du dieses nicht, sondern nur den Ablehnungsbereich, so entspricht die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art der Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Ablehnungsbereich liegt $P(X \in \overline{A}) = P\left(\text{Fehler 1. Art}\right) = \alpha$, wobei die Verteilung von $X$ entsprechend der Nullhypothese angenommen wird.
    Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kannst du nicht einfach berechnen. Dazu muss dir in der Aufgabenstellung eine Alternative Wahrscheinlichkeit $p_0$ gegeben sein. Das bedeutet, du berechnest die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ im Annahmebereich liegt, wenn in Wahrheit die Wahrscheinlichkeit $p_0$ gilt: $P\left(\text{Fehler 2. Art}\right) = P(X \in A)$. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit eines Treffers als $p_0$ angenommen.

    Beispiel

    Gegeben sind: $H_0: p \leq 0,5$, $n = 20$, $A = [0;13]$, $p_0 = 0,7$, wobei $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn eigentlich $p_0$ gilt mit Hilfe der Tabelle für die kummulierte Binomialverteilung:
    $P_{0,7}(X\in A)$ = $P_{0,7}(X \leq 13)$ $\approx 0,392$ = $39,2 \,\%$
    Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ergibt sich hier, indem wir $p = 0,5$ annehmen:
    $P_{0,5}(X \in \overline{A})$ = $P_{0,5}(X\geq 14)$ = $1- P_{0,5}(X\leq 13) $ $ \approx 1- 0,9423$ = $0,0577 = 5,77\,\%$
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    Aufgaben
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    1.
    Für $H_0:$ $p\leq0,4$ und $n=100$ wird $\overline{A}=\left\{46,47,…,100\right\}$ festgelegt.
    Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
    Wie groß wird diese Wahrscheinlichkeit, wenn man zum Ablehnungsbereich $\overline{A}$ noch die Zahl 45 dazu nimmt?
    2.
    Für $H_0:$ $p\geq0,9$ und $n=100$ wird der Annahmebereich $A=\left\{85,…,100\right\}$ festgelegt.
    Bestimme die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
    3.
    Bestimme für $H_0:$ $p\leq0,2$ und $n=100$ den Ablehnungsbereich, wenn die Irrtumswahrschein- lichkeit (Signifikanzniveau) $\alpha$
    • höchstens $\small{5\,\%}$
    • höchstens $\small{2\,\%}$
    • höchstens $\small{1\,\%}$
    betragen soll.
    4.
    Bestimme für $H_0:$ $p\geq0,4$ und $n=50$ den Ablehnungsbereich, wenn die Irrtumswahrschein- lichkeit (Signifikanzniveau) $\alpha$
    • höchstens $\small{5\,\%}$
    • höchstens $\small{2\,\%}$
    • höchstens $\small{1\,\%}$
    betragen soll.
    5.
    Ein Dodekaeder besitzt 12 gleich große Flächen, die von 1 bis 12 nummeriert sind. Da es für ein wichtiges Spiel als „Würfel“ dienen soll, wird in einem Test überprüft, ob die Flächen wirklich gleich groß und die Wahrscheinlichkeit für die Zahlen 1 bis 12 jeweils gleich ist. Betrachtet wird jedoch nur die Fläche mit der Zahl „Eins“. Es wird nun 120-mal gewürfelt. Kommt dabei mindestens 10-mal und höchstens 14-mal eine „Eins“ vor, geht man davon aus, dass das Dodekaeder in Ordnung ist.
    Formuliere die Nullhypothese, die in diesem Test überprüft wird.
    Notiere den Annahmebereich $A$ und den Ablehnungsbereich $\overline{A}$ als Menge.
    Obwohl das Dodekaeder in Ordnung ist, fällt bei obigem Test nur 9-mal eine „Eins“. Beschreibe anhand dieses Beispiels, was ein Fehler 1. Art ist.
    6.
    Bei der Produktion einer bestimmten Sorte von Elektromotoren wird vermutet, dass mindestens $\small{25\,\%}$ fehlerhaft produziert werden.
    Die Geschäftsleitung hat nun eine Stichprobe von 20 Elektromotoren veranlasst und folgende Entscheidungsregel aufgestellt: Wenn in einer Stichprobe vier oder mehr Elektormotoren fehlerhaft sind, soll die Vermutung als bestätigt gelten und es wird mehr Geld in die Optimierung der Produktion investiert.
    Gib hierfür eine mögliche Nullhypothese $H_0$ und den Ablehnungsbereich von $H_0$ an.
    Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Vermutung abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft.
    7.
    Ein Frauenheld und sein bester Freund machen eine Wette. Der Frauenheld behauptet, dass ihm mindestens $\small{75\,\%}$ aller Frauen, die er anspricht, ihre Handy-Nummer geben. Sein bester Freund glaubt, dass diese Rate auf jeden Fall unter $\small{75\,\%}$ liegt.
    a)
    Der beste Freund schlägt einen Test vor: Wenn der Frauenheld bei 50 angesprochenen Frauen mindestens 40 Handynummern bekommt, so glaubt er ihm.
    Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Behauptung des Frauenhelds richtig ist, aber dass sie in der Stichprobe nicht bestätigt wird.
    b)
    Die Hypothese $H_1: p\leq0,75$ soll bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) $\alpha$ von höchstens $\small{5\,\%}$ bei einem Stichprobenumfang von 50 Frauen getestet werden. Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
    8.
    Eine Textilfirma garantiert, das höchstens $\small{5\,\%}$ der gelieferten Kleidung Materialfehler aufweisen. Ein Käufer will diese Aussage überprüfen, indem er eine Stichprobe von $100$ Kleidungsstücken entnimmt. Wie lautet die Nullhypothese (Aussage des Käufers)?
    Gib einen möglichen Annahme- und Ablehnungsbereich an.
    Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art bzw. 2. Art, wenn Sie den Annahmebereich vergrößern?
    9.
    Nach der Vorbereitungsphase für die nächste Saison vermutet der Trainer des Basketballvereins Alba Berlin, dass sich die Freiwurftrefferquote seines “Playmakers“ im Gegensatz zur Saison im Vorjahr (Trefferquote von $\small{90\,\%}$) signifikant verschlechtert hat.
    Um seine Vermutung zu bestätigen, möchte er die ersten 50 Freiwürfe in der neuen Saison überprüfen und seine Vermutung auf einem Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) $\alpha$ von $\small{10\,\%}$ absichern.
    Bei wie vielen Treffern wäre seine Vermutung richtig?
    10.
    Der Bekanntheitsgrad $p$ eines Kosmetikartikels liegt derzeit bei höchstens $\small{70\,\%}$. Eine Werbeagentur soll dies nun ändern. Sie wird beauftragt, den Bekanntheitsgrad auf über $\small{70\,\%}$ zu steigern. Die Kosmetikmittelfirma will die Werbeagentur auf Erfolgsbasis bezahlen. Das heißt: je mehr Erfolg, desto mehr Geld. Bleibt der Erfolg aus, gibt es kein Geld.
    Zur Kontrolle des Erfolges wird 2 Wochen nach Anlauf der Werbekampagne für den Kosmetikartikel 200 Personen aus der Zielgruppe ausgewählt.
    Die Nullhypothese lautet $H_0$: $p\leq0,7$.
    Sie soll zugunsten der Hypothese $H_1:p>0,7$ abgelehnt werden, wenn mindestens 155 der Befragten den Kosmetikartikel kennen.
    a)
    Wie hoch ist das Risiko für die Kosmetikmittelfirma, die Werbeagentur irrtümlich zu bezahlen?
    b)
    Wie groß ist das Risiko für die Werbeagentur, trotz eines Bekanntheitsgrades von $\small{75\,\%}$ kein Geld zu erhalten?
    c)
    Die Werbeagentur möchte gerne die Entscheidungsregeln ändern. Die Änderung soll so durchgeführt werden, dass das Risiko trotz eines Bekanntheitsgrades von $\small{75\,\%}$ kein Geld zu erhalten, kleiner als $\small{10\,\%}$ sein soll. Bestimme den Ablehnungsbereich.
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    Lösungen
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    1.
    Schritt 1: Fehlerwahrscheinlichkeit für $\overline{A}=\left\{46;47;…100\right\}$ berechnen
    Für diese Aufgabe brauchst du die Tabelle für kumulierte Binomialverteilung mit $n=100$ und $p=0,4$. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt.
    Für $\overline{A}={46,47,…,100}$  ist
    $P(\overline{A})$=$P(X\geq46)$=$1-P(X\leq45)$$=1-0,8689=0,1311$$=13,11\%$.
    Schritt 2: Fehlerwahrscheinlichkeit für $\overline{A}$=$\left\{45;46;47;…100\right\}$ berechnen
    Vergrößert man den Ablehnungsbereich um das Element 45, so wird die Fehlerwahrscheinlichkeit größer:
    Für $\overline{A}$=${45,46,…,100}$  ist
    $P(\overline{A})$=$P(X\geq45)$=$1-P(X\leq44)$$=1-0,8211$$=0,1789$$=17,89\%$.
    2.
    Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen
    Für diese Aufgabe brauchst du die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung mit $n=100$ und $p=0,9$. Da $p>0,5$  ist, müssen die Werte in der Tabelle von unten abgelesen und die Differenz zu 1 gebildet werden.
    Da der Annahmebereich $A$$=\left\{85;…100\right\}$ gegeben ist, ergibt sich für den Ablehnungsbereich die Menge $\overline{A}$$={1,2,…,84}$. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt dann:
    $P(\overline{A})$=$P(X\leq84)$$=1-0,9601\approx0,0399$$=3,99\%$
    3.
    Ablehnungsbereiche bestimmen
    Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test, da der Ablehnungsbereich die großen Werte enthält.
    Die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,2$ ergibt:
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\leq26)=&0,9442\;\Longrightarrow P(X>26)=1-0,9442=0,0558&=5,58\% \\[5pt] P(X\leq27)=&0,9658\;\Longrightarrow P(X>27)=1-0,9658=0,0342&=3,42\% \\[5pt] P(X\leq28)=&0,9800\;\Longrightarrow P(X>28)=1-0,9800=0,02&=2\% \\[5pt] P(X\leq29)=&0,9888\;\Longrightarrow P(X>29)=1-0,9888=0,0112&=1,12\% \\[5pt] P(X\leq30)=&0,9939\;\Longrightarrow P(X>30)=1-0,9939=0,0061&=0,61\% \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\leq26)=&5,58\% \\[5pt] \end{array}$
    Daraus ergeben sich die drei jeweiligen Ablehnungsbereiche
    $\begin{array}[t]{rll} \overline{A}=&\left\{28,29,…,100\right\} & \small{\text{für}}&\alpha\leq5\% \\[5pt] \overline{A}=&\left\{30,31…,100\right\} & \small{\text{für}}&\alpha\leq2\% \\[5pt] \overline{A}=&\left\{31,32,….,100\right\}& \small{\text{für}}&\alpha\leq1\% \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} \overline{A}=&\left\{28,29,…,100\right\} & \\ \small{\text{für}}&\alpha\leq5\% \\[5pt] \overline{A}=&\left\{30,31…,100\right\} & \\ \small{\text{für}}&\alpha\leq2\% \\[5pt] \overline{A}=&\left\{31,32,….,100\right\}&\\ \small{\text{für}}&\alpha\leq1\% \end{array}$
    4.
    Ablehnungsbereich bestimmen
    Es handelt sich um einen linksseitigen Test, da der Ablehnungsbereich die kleineren Werte enthält.
    Betrachtest du die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,4$, so findest du:
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\leq10)=&0,0022=0,22\% \\[5pt] P(X\leq11)=&0,0057=0,57\% \\[5pt] P(X\leq12)=&0,0133=1,33\% \\[5pt] P(X\leq13)=&0,0280=2,80\% \\[5pt] P(X\leq14)=&0,0540=5,4\% \\[5pt] P(X\leq15)=&0,0955=9,55\% \end{array}$
    Da $\alpha$ die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A})$ darstellt, ergeben sich die jeweiligen Ablehnungsbereiche $\overline{A}$:}
    Für $\alpha=5\%$  ist damit der Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{0,1,2,…,13\right\}$
    Für $\alpha=2\%$  ist damit der Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{0,1,2,…,12\right\}$
    Für $\alpha=1\%$  ist damit der Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{0,1,2,…,11\right\}$
    5.
    Nullhypothese formulieren
    Die Nullhypothese lautet: $H_0:$ $p$=$\frac{1}{12}$ bei Treffer „Eins“ und $n=120$.
    Annahmebereich und Ablehnungsbereich notieren
    Der Annahmebereich liegt laut Aufgabenstellung bei $A$=$\left\{10;11;12;13;14\right\}$, der Ablehnungsbereich ist dann dementsprechend $\overline{A}$=$\left\{0;…9\right\}\cup\left\{15;…120\right\}$.
    Begriff der Irrtumswahrscheinlichkeit erläutern
    Wenn nur 9-mal eine „Eins“ fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt, da 9 nicht im Annahmebereich liegt. Lehnt man die Hypothese ab, obwohl der Dodekaeder in Ordnung ist, so begeht man einen Fehler 1. Art. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1.Art zu begehen, heißt Irrtumswahrscheinlichkeit. In unserem Fall ist es die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als $10$ und mehr als $14$ „Einsen“ fallen ($P(X < 10)+P(X > 14)$)}, obwohl $p$=$\frac{1}{12}$  ist.
    6.
    Nullhypothese $H_0$ formulieren
    Aus der Vermutung (Anzahl der fehlerhaften Elektromotoren mindestens $\small{25\,\%}$) folgt die Nullhypothese $H_0$: $p_0\geq0,25$.
    Ablehnungsbereich notieren
    Aufgrund der Entscheidungsregel (vier oder mehr fehlerhafte Elektormotoren) wird die Nullhypothese genau dann verworfen, wenn sich die Anzahl der Elektromotoren im Ablehnungsbereich $\overline{A}$: $\overline{A}$=$\left\{0;1;2;3\right\}$ befindet.
    Fehlerwahrscheinlichkeit ermitteln
    Es handelt sich dabei um das Signifikanzniveau (Fehler 1. Art). Also die Wahrscheinlichkeit, dass man sich gegen $H_0$ entscheidet, obwohl $H_0$ zutrifft.
    Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Elektormotoren in der Stichprobe. Man geht davon aus, dass $Z$ binomialverteilt ist mit $n=20$ und $p=0,25$ (bei wahrer Nullhypothese).
    Wenn die Nullhypothese $H_0$: $p_0\geq0,25$ wahr ist, dann wird sie für $Z\leq3$ (siehe Ablehnungsbereich $\overline{A}$) irrtümlich abgelehnt.
    Man berechnet daher: $P(Z\leq3)=0,22516$ (siehe geeignete Tabellenwerte)
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Vermutung abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft, beträgt damit ungefähr $\small{22,5\,\%}$.
    7.
    a)
    Fehlerwahrscheinlichkeit ermitteln
    Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass die Hypothese des Frauenhelds $H_0: p\geq0,75$ richtig ist. Es soll nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden, dass sie in der Stichprobe dennoch nicht bestätigt wird. Der Ablehnungsbereich der Hypothese liegt bei $\overline{A}$=$\left\{0,1,…,39\right\}$.
    Sei $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Handynummern angibt. Dann ist $X$ binomialverteilt mit $p=0,75$ und $n=50$.
    Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, mit der die Hypothese $H_0:$$p\geq0,75$ fälschlicherweise verworfen wird. Berechne also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ereignisse aus dem Ablehnungsbereich eintreten:
    $\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})=P(X\leq39)=&P(X\leq39)\\[5pt] =&1-0,2622=0,7378&\quad\scriptsize\text{ (Tabellenwert)} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})=0,7378& \end{array}$
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\small{73,78\,\%}$ wird die wahre Behauptung des Frauenhelds in der Stichprobe nicht bestätigt.
    b)
    Entscheidungsregel bestimmen
    Die Hypothese $H_1:\;p\leq\small{75\,\%}$ soll nun auf dem Signifikanzniveau von $\small{5\,\%}$ bei einem Stichprobenumfang von 50 Frauen getestet werden. Wir müssen also den Ablehnungsbereich $\overline{A}$ festlegen wobei die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal $\small{5\,\%}$ betragen soll.
    Gesucht ist $k$ mit $\overline{A}$=$\left\{k,…,50\right\}$, wobei $P(A)$, d. h. $P(X\geq k) < 0,05$  ist.
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k) < &0,05&\quad\scriptsize\\[5pt] 1-P(X\leq k-1) < &0,05&\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] -P(X\leq k-1) < &-0,95&\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] P(X\leq k-1) > &0,95 \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k) < &0,05&\quad\scriptsize\\[5pt] \end{array}$
    Betrachte nun die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,75$. Du findest den Wert $P(X\leq42)$=$1-0,0453$=$0,9547 > 0,95$. Damit ist $k-1=42$ und $k=43$.
    Damit gilt für den Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{43;44;…50\right\}$.
    8.
    Nullhypothese formulieren
    Die Nullhypothese lautet $H_0:$ $p\leq0,05$ bei Treffer „Kleidungsstück hat einen Materialfehler“ und $n=100$.
    Möglichen Annahme- und Ablehnungsbereich angeben
    Ein möglicher Annahmebereich ist zum Beispiel $A=\left\{0,1,…,6,7\right\}$, entsprechend ist dann der Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{8,…,100\right\}$. Bei diesem Hypothesentest handelt es sich um einen rechtsseitigen Test, da $\overline{A}$ die großen Werte enthält.
    Auswirkungen auf Fehlerwahrscheinlichkeiten beschreiben
    Wird der Annahmebereich $A$ vergrößert, so wird $\overline{A}$ und damit auch $P(\overline{A})$ mit $p\leq0,05$ verkleinert, damit wird auch die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{A})$ für einen Fehler 1. Art kleiner. Die Wahrscheinlichkeit, dass man der Textilfirma glaubt, obwohl mehr Kleidungsstücke eigentlichen einen Materialfehler haben (Fehler 2. Art) nimmt dabei allerdings zu.
    9.
    Entscheidungsregel bestimmen
    Zur Beurteilung der Vermutung des Trainers führt man einen einseitigen Hypothesentest durch. Als Nullhypothese wählt man die Vermutung, welche üblicherweise verworfen werden soll. In unserem Fall ist das die Trefferquote der letzten Saison also $H_0$: $p > 0,9$
    $H_0$ wird verworfen, wenn der Ausgang des Tests (Anzahl der verwandelten Freiwürfe von den ersten 50 Freiwürfen) im Ablehnungsbereich liegt. Man verwirft dann $H_0$ und akzeptiert die Hypothese $H_1:$$p\leq0,9$ (Vermutung des Trainers). Der Test soll mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $\small{10\,\%}$ abgesichert sein.
    Wir teilen also den Bereich $\left\{0,1,2,…,50\right\}$ in die Bereiche
    $\underbrace{\left\{0,1,2,…,k-1\right\}}_{\text{Ablehnungsbereich}}$ und $\underbrace{\left\{k,k+1,…,50\right\}}_{\text{Annahmebereich}}$
    Dabei ist $k$ die größte Zahl, für die gilt: $P(X < k)\leq0,1$, wobei die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Treffer angibt und $B_{50;0,9}$-verteilt ist.
    Zur Bestimmung von $k$ wird eine geeignete Tabelle (Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=50$) herangezogen. Man liest ab: $p=0,9$, $n=50$
    $k=42$: $P(X < 42)$$=P(X\leq41)$$=1-0,9421$$=0,0579$
    $k=43$: $P(X < 43)$$=P(X\leq42)$$=1-0,8779$$=0,1221$
    Anmerkung: In der Regel finden sich in der Tabelle nur die Werte für $p\leq0,5$. Es ist 0,1 die Gegenwahrscheinlichkeiten von 0,9; deshalb muss man 1 minus Tabellenwert von 0,1 rechnen.
    Folglich gilt: $k=42$ und der Bereich $\left\{0,1,…,50\right\}$ teil sich wie folgt auf:
    $\underbrace{\left\{0,1,2,…,41\right\}}_{\text{Ablehnungsbereich}}$ und $\underbrace{\left\{42,43,…,50\right\}}_{\text{Annahmebereich}}$
    Bei weniger als 42 Treffern wird die Hypothese $H_0$: $p < 0,9$ mit $\alpha=\small{10\,\%}$ verworfen, d. h. die Vermutung, der „Playmaker“ sei schwächer im Freiwurf geworden, bestätigt sich.
    10.
    a)
    Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen
    Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen, die den Kosmetikartikel kennen. $X$  ist binomialverteilt mit $p=0,7$ und $n=200$.
    Die Kosmetikmittelfirma bezahlt irrtümlich, wenn mindestens 155 der Befragten den Artikel kennen, obwohl sich der Bekanntheitsgrad von $\small{70\,\%}$ nicht verändert hat. Berechne also die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq155)$:
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\geq155)=&1-P(X\leq154)&\quad\scriptsize\\[5pt] \approx&1-0,989=0,011&\quad\scriptsize\text{ siehe Tafelwerk}\\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\geq155)=0,011&\\[5pt] \end{array}$
    Das Risiko für die Kosmetikmittelfirma, irrtümlicherweise Geld zu bezahlen, beträgt somit nur $\small{1,1\,\%}$.
    b)
    Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen
    Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen, die den Kosmetikartikel kennen. $X$  ist binomialverteilt mit $p=0,75$ und $n=200$.
    Die Werbeagentur erhält dann irrtümlicherweise kein Geld, wenn sich der Bekanntheitsgrad auf $\small{75\,\%}$ gesteigert hat, aber dennoch weniger als 155 Personen den Kosmetikartikel kennen:
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\leq154)\approx&0,767=76,7\%&\quad\scriptsize\text{ siehe Tafelwerk}\\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} P(X\leq154)=76,7\%&\\[5pt] \end{array}$
    Das Risiko für die Agentur, irrtümlicherweise kein Geld bei dieser Regelung zu erhalten, beträgt ca.$\small{76,7\,\%}$. Dies ist für die Werbeagentur ein definitiv viel zu hoher Wert. Man würde raten, diese Entscheidungsregel abzulehnen. Es handelt sich hierbei um einen Fehler 2. Art.
    c)
    Ablehnungsbereich bestimmen
    Um den Ablehnungsbereich zu bestimmten, bestimmt man zunächst den größtmöglichen Annahmebereich. $X$  ist wieder binomialverteilt mit $p=0,75$ und $n=200$.
    Sei $k$ die Grenze für den größtmöglichen Annahmebereich, dann soll $P(X < k) < 0,10$ gelten (Risiko soll kleiner als $\small{10\,\%}$ werden)
    Nun ist das eine Tabelle der kumulativen Verteilungsfunktion gefragt. Du findest die Werte:
    $\begin{array}[t]{rll} P(140)=&0,0625\\[5pt] P(141)=&0,0843\\[5pt] P(142)=&0,1114 \end{array}$
    Da gelten soll: $P(X < k) < -0,1$, ist $k=142$: $P(X < 142)$=$P(X\leq141)$=$0,0843 < 0,1$.
    Wir haben nun den Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{142;143;144;…200\right\}$ gefunden.
    Wenn also mindestens 142 der befragten Personen den Artikel kennen, wird die Hypothese $H_0:p\leq0,7$ abgelehnt und die Agentur bekommt ihr Geld.
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