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Umrechnen von Ebenengleichungen

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Parameterform in Normalenform

Gesucht:
$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)= 0 $
$E$: $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) $=$ 0 $
Dafür wird benötigt:
  • Stützvektor $\overrightarrow{p}$: Verwende den Stützvektor $\overrightarrow{u}$
  • Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kann durch zwei Methoden ermittelt werden:
    • Skalarprodukt: Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v} $=$ 0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$
    • Kreuzprodukt: Berechne
      $\overrightarrow{n} $=$ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$.

Parameterform in Koordinatenform

Gesucht:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E$: $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Dafür wird benötigt:
  • Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kann durch zwei Methoden ermittelt werden:
    • Skalarprodukt: Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v} $=$ 0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$
    • Kreuzprodukt: Berechne
      $\overrightarrow{n} $=$ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$.
  • Parameter $d$: Setze die Koordinaten eines Punktes aus der Ebene und den Normalenvektor in die neue Ebenengleichung ein und löse nach $d$ auf.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$: $\overrightarrow{x} $=$ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(1 \mid 0 \mid 0)$. Mit dem Kreuzprodukt ergibt sich:
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \cdot 2-3 \cdot 1\\3 \cdot (-1)-3 \cdot 2\\3 \cdot 1-2 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-9\\5 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{n} $=$ \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}$

Einsetzen in die allgemeine Normalenform liefert das Ergebnis:
$E$: $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) $=$ \begin{pmatrix} 1\\-9\\5 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \right)$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$ d$=$1\cdot 1 -9\cdot 0 +5\cdot 0 $=$ 1 \quad \Rightarrow $ $E$: $1\cdot x_1 -9\cdot x_2 +5\cdot x_3 =1$

Normalenform in Parameterform

Gesucht:
$E: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
$E$: $\overrightarrow{x}= \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
Dafür wird benötigt
  • Stützvektor $\overrightarrow{u}$: Verwende die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{p}$, d.h.: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p}$
  • Für die Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ gibt es zwei Möglichkeiten:
    • Finde Vektoren, sodass die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v} $=$ 0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{w} = 0$ gelöst werden.
    • Bestimme die Koordinaten zweier weiterer Punkte (zusätzlich zum Stützpunkt $P$), die auf der Ebene liegen und verwende dann zwei der Verbindungsvektoren dieser drei Punkte als Spannvektoren

Normalenform in Koordinatenform

Gesucht:
$E: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$E$: $n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Dafür wird benötigt:
  • Normalenvektor $\overrightarrow{n}$: Verwende den Normalenvektor $\overrightarrow{n} $ der Normalenform.
  • Parameter $d$: Setze die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{p}$ ein, um $d$ zu berechnen.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$: $\begin{pmatrix} -8\\8\\0 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix} \right) $=$ 0$ Anhand des Vektors $\overrightarrow{p}$ kannst du den Stützvektor $\overrightarrow{u}$ der Ebene ablesen: $\overrightarrow{u}$=$\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}$ Für die Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ erhalten wir folgendes lineare Gleichungssystem:
$\begin{pmatrix}n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} $=$ n_1 \cdot v_1 + n_2 \cdot v_2 + n_3\cdot v_3 = -8\cdot v_1 + 8\cdot v_2 + 0\cdot v_3= 0$
$\begin{pmatrix}n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} …$
$\begin{pmatrix}n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2\\ w_3 \end{pmatrix} = n_1\cdot w_1 + n_2\cdot w_2 + n_3\cdot w_3 = -8\cdot w_1 + 8\cdot w_2 + 0\cdot w_3= 0$
$\begin{pmatrix}n_1 \\ n_2\\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}w_1 \\ w_2\\ w_3 \end{pmatrix} …$
Wähle $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$, sodass sie linear unabhängig sind, beispielsweise: $\overrightarrow{v}$=$ \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{w}$=$\begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}$ Einsetzen in die allgemeine Parameterform liefert das Ergebnis:
$E$: $\overrightarrow{x}$=$ \begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}$
Den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ kannst du aus der Normalenform direkt ablesen:
$\overrightarrow{n}$=$\begin{pmatrix}-8\\8\\0\end{pmatrix}$ Den Parameter $d$ erhältst du, indem du $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{n}$ in die allgemeine Koordinatenform einsetzt:
$n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ -8\cdot 0 + 8 \cdot 4 + 0\cdot 4 $=$ 32 = d\quad $ $\Rightarrow E: -8\cdot x_1 + 8\cdot x_2 = 32$
$n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d\quad $ $\Rightarrow E$: $-8\cdot x_1 + 8\cdot x_2 = 32$

Koordinatenform in Parameterform

Gesucht:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
$E$: $\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
Dafür wird benötigt:
  • Stützvektor $\overrightarrow{u}$: Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung die Koordinaten eines Punkts, der in der Ebene liegt.
  • Spannvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$: Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung zwei weitere Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen und wähle zwei der Verbindungsvektoren zwischen den drei Punkten als Spannvektoren.

Beispiel

Gegeben:
$\quad E$: $\overrightarrow{x} $=$ 1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 $=$ 4$ Für Stütz- und Spannvektoren benötigen wir insgesamt drei Punkte, die in der Ebene liegen, zum Beispiel:
$A( 1 \mid 1 \mid 0)\quad $
$B( 0 \mid 0 \mid 2)\quad$
$C( -1 \mid 1 \mid 1)$
Dann können wir die Gleichung in Parameterform folgendermaßen aufstellen:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}$
$E: \overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}$

Koordinatenform in Normalenform

Gesucht:
$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)=0 $
$E$: $\overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$=$0 $
Dafür wird benötigt:
  • Stützvektor $\overrightarrow{p}$: Bestimme mit Hilfe der Koordinatengleichung die Koordinaten eines Punkts, der in der Ebene liegt.
  • Normalenvektor $\overrightarrow{n}$: Lies die Koordinaten des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ an der gegebenen Koordinatengleichung ab.

Beispiel

Gegeben: $\quad E$: $\overrightarrow{x}$=$ 1 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 4$
Für den Punkt $P$ können wir beispielsweise wählen: $P( 1 \mid 1 \mid 0)$
Den Normalenvektor lesen wir aus der Gleichung in Koordinatenform ab:
$E: \overrightarrow{x} $=$ \color{#87C800}{1} \cdot x_1 + \color{#87C800}{3} \cdot x_2 + \color{#87C800}{2} \cdot x_3 $=$ 4$ also $\overrightarrow{n}$=$\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix}$
Dann können wir die Gleichung in Normalenform folgendermaßen aufstellen:
$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} \circ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \right) =0 $
$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right) = 0 $
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