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Gerade - Gerade
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Maximaler Umfang

Spickzettel
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Einführung

Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung benötigst du eine Zielfunktion, die du minimieren bzw. maximieren kannst.
Gehe folgendermaßen vor:
  • Fertige eine Skizze an.
  • Suche die Größe, die minimal bzw. maximal werden soll. Das ist hier der Umfang, schreibe die geometrische Formel dieses Umfangs auf.
  • Stelle die Nebenbedingung auf. Überlege dir wie die Variablen der gesuchten Größe zusammenhängen.
    Falls ein entscheidender Punkt im Koordinatensystem auf dem Graphen liegt, schreibe ihn mit Hilfe des Funktionsterms des Graphen.
  • Bilde nun die Zielfunktion, indem du die Nebenbedingung nach einer der Variablen auflöst und in den Term für die extremale Größe einsetzt. Vereinfache diesen Term so weit wie möglich und bestimme den Definitionsbereich der Zielfunktion.
  • Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion. Vergiss dabei nicht, zu überprüfen, ob diese Kandidaten auch relative Extremstellen sind. Außerdem muss überprüft werden, ob an den Randstellen des Definitionsbereichs noch kleinere/größere Werte für die extremale Größe auftreten.
  • Stelle nun die Verbindung zur Aufgabenstellung her, indem du die zweite Variable und den Extremwert berechnest.

Beispiel mit Lösungsskizze

Gegeben ist die Funktion $f (x) = - x^2 + 4$. Das Schaubild der Funktion $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Umfang konstruiert werden. Das Rechteck liegt mit einer Kante auf der $x$–Achse, mit einer anderen auf der $y$–Achse.
  • Skizze
  • Größe, die maximal werden soll:
    $U=2(a+b)$
  • Nebenbedingung:
    $b=f(a)=-a^2+4$
  • Zielfunktion:
    $U(a) =2(a+f(a))$=$ 2(a+(-a^2 + 4)) $=$ -2a^2 + 2a +8$ mit Definitionsbereich $\mathbb{D} = [0,2]$.
  • Bestimme die absoluten Extremstellen der Zielfunktion.
    $U(a) =-2a^2 + 2a +8$
    $U'(a) =-4a + 2$
    $U''(a) =-4$
    $\begin{array}[t]{rll} U'(a)&=&0 \\[5pt] 0&=&-4a + 2\\[5pt] a&=&0,5 \end{array}$
    $U''(0,5) =-4<0 $ es handelt sich also um ein Maximum.
    Der maximale Wert ist somit: $U(0,5) = 8,5$
    Überprüfen der Randstellen:
    $U(0) $=$ 8 < 8,5$
    $U(2) $=$ (-2) \cdot 4 + 4 +8 $=$ 4 < 8,5$
  • Für die Seite $b$ gilt dann: $b = -0,5^2 + 4 = 3,75$.
    Der maximale Umfang beträgt somit $8,5$.
#extrempunkt
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Aufgaben
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1.
Bestimme den maximalen Umfang.
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=-x^2+6$.
Das Schaubild der Funktion $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Umfang konstruiert werden. Das Rechteck liegt mit einer Kante auf der $x$-, mit einer anderen auf der $y$-Achse.
#extrempunkt
2.
Bestimme den maximalen Umfang.
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=-x^3+8$.
Das Schaubild der Funktion $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Umfang konstruiert werden. Das Rechteck liegt mit einer Kante auf der $x$-, mit einer anderen auf der $y$-Achse.
#extrempunkt
3.
Bestimme den maximalen Umfang.
Gegeben ist die Funktion $f\left(x\right)=-x^2+4$.
Das Schaubild der Funktion $f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck mit maximalem Umfang konstruiert werden. Die Grundseite des Rechtecks liegt auf der $x$-Achse.
#extrempunkt
4.
Bestimme den maximalen Umfang.
Gegeben ist eine Funktion, die mit der $x$-Achse zwischen den Nullstellen $x_1$ und $x_2$ eine Fläche einschließt.
In dieser Fläche soll ein Dreieck konstruiert werden, dessen Grundkante die gesamte Strecke zwischen $x_1$ und $x_2$ ist, d.h. sie ist nicht veränderbar. Die Spitze des Dreiecks liegt auf der Kurve.
Beschreibe ein Verfahren, um den maximalen Umfang dieses Dreiecks zu berechnen.
#extrempunkt
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Lösungen
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1.
Den maximalen Umfang bestimmen
Zunächst muss eine Funktion entwickelt werden, mit der wir den Umfang eines solchen Rechtecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Rechteck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!):
Die Kantenlängen des Rechtecks haben also die Länge $u$ und $f\left(u\right)$.
Der Umfang berechnet sich immer dadurch, dass man die Längen aller Kanten addiert. In diesem Fall wäre der Umfang also:
$U\left(u\right)=2\cdot u+2\cdot f\left(u\right)$
Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Umfang in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&2u+2\left(-u^2+6\right)\\ =&2u-2u^2+12\\ U\left(u\right)=&-2u^2+2u+12 \end{array}$
Um den maximalen Umfang zu berechnen, wird nun die Maximalstelle dieser Umfangsfunktion bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&-2u^2+2u+12\\ U'\left(u\right)=&-4u+2\\ U''\left(u\right)=&-4 \end{array}$
Maximalstelle berechnen über Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} U'\left(u\right)=&0\\ -4u+2=&0&\quad\mid\;-2\\ -4u=&-2&\quad\mid\;:\left(-4\right)\\ u=&\dfrac{1}{2} \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\dfrac{1}{2}\right)=-4& <0:\;\small{\text{Maximum}} \end{array}$
Für $u=\dfrac{1}{2}$ wird der Umfang des Rechtecks also maximal. Den Umfang selbst liefert uns die Umfangfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(\dfrac{1}{2}\right)=&-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{2}\right)+12\\ =&-2\left(\dfrac{1}{4}\right)+1+12\\ =&-\dfrac{1}{2}+1+12\\ U\left(\dfrac{1}{2}\right)=&12,5 \end{array}$
$ U\left(\dfrac{1}{2}\right)=12,5$
Der maximale Umfang des Rechtecks beträgt $12,5$ LE.
2.
Den maximalen Umfang bestimmen
Zunächst muss eine Funktion entwickelt werden, mit der wir den Umfang eines solchen Rechtecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Rechteck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!):
Die Kantenlängen des Rechtecks haben also die Länge $u$ und $f\left(u\right)$.
Der Umfang berechnet sich immer dadurch, dass man die Längen aller Kanten addiert. In diesem Fall wäre der Umfang also:
$U\left(u\right)=2\cdot u+2\cdot f\left(u\right)$ wird zu:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&2u+2\left(-u^3+8\right)\\ =&2u-2u^3+16\\ U\left(u\right)=&-2u^3+2u+16 \end{array}$
Um den maximalen Umfang zu berechnen, werden nun die Maximalstellen dieser Umfangsfunktion bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&-2u^3+2u+16\\ U'\left(u\right)=&-6u^2+2\\ U''\left(u\right)=&-12u \end{array}$
Maximalstelle bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} U'\left(u\right)=&0\\ -6u^2+2=&0&\quad\mid\;-2\\ -6u^2=&-2&\quad\mid\;:\left(-6\right)\\ u^2=&\dfrac{1}{3}&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ u_{1,2}=&\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}} \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)=&-12\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}&<0: \;\small{\text{Maximum}}\\ \\ f''\left(-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)=&-12\cdot\left(-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right) & >0:\;\small{\text{Minimum}} \end{array}$
$f''\left(\scriptsize{-\sqrt{\dfrac{1}{3}}}\right)=-12\cdot\left(\scriptsize{-\sqrt{\dfrac{1}{3}}}\right) >0$
Für $u=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$ wird der Umfang des Rechtecks also maximal. Den Umfang selbst liefert uns die Umfangfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)=&-2\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)^3+2\sqrt{\dfrac{1}{3}}+16\\ U\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\approx&16,77 \end{array}$
$U\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\approx16,77$
Der maximale Umfang des Rechtecks beträgt $16,77$ LE.
3.
Den maximalen Umfang bestimmen
Nullstellen von $f$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(x\right)=&0\\ -x^2+4=&0&\quad\mid\;-4\\ -x^2=&-4&\quad\mid\;\cdot\left(-1\right)\\ x^2=&4&\quad\mid\;\sqrt{\;}\\ x_{1,2}=&\pm2 \end{array}$
Zunächst muss eine Funktion entwickelt werden, mit der wir den Umfang eines solchen Rechtecks berechnen können. Hierfür verdeutlichen wir uns die Aufgabe noch einmal mit Hilfe einer Skizze (das eingezeichnete Rechteck ist nicht das ideale, sondern ein beliebiges!).
Die Länge der Grundkante wäre in diesem Falle also $2u$, die Längen der anderen Kante jeweils $f\left(u\right)$. Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich immer, indem alle Kantenlängen addiert werden, in diesem Falle also:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)&=& 2\cdot 2u+2\cdot f\left(u\right)\\[5pt] U\left(u\right)&=& 4u+2\cdot f\left(u\right) \end{array}$
Mit dieser Funktionsgleichung, die uns den Umfang in Abhängigkeit von $u$ angibt, können wir nun weiter rechnen und die Werte einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&4u+2\left(-u^2+4\right)\\ =&4u-2u^2+8\\ U\left(u\right)=&-2u^2+4u+8 \end{array}$
Um den maximalen Umfang zu berechnen, wird nun die Maximalstelle dieser Umfangsfunktion bestimmt:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&-2u^2+4u+8\\ U'\left(u\right)=&-4u+4\\ U''\left(u\right)=&-4 \end{array}$
Extremstellen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} U'\left(u\right)=&0\\ -4u+4=&0&\quad\mid\;-4\\ -4u=&-4&\quad\mid\;:\left(-4\right)\\ u=&1 \end{array}$
Überprüfen der hinreichenden Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(1\right)=&-4 &<0:\;\small{\text{Maximum}} \end{array}$
Für $u=1$ wird der Umfang des Rechtecks also maximal. Den Umfang selbst liefert uns die Umfangfunktion:
$\begin{array}[t]{rll} U\left(1\right)=&-2\cdot1^2+4\cdot1+8\\ =&-2+4+8\\ U\left(1\right)=&10 \end{array}$
Der maximale Umfang des Rechtecks beträgt $10$ LE.
4.
Den maximalen Umfang bestimmen
Auch, wenn wir keine genaue Vorstellung des Schaubilds haben, skizzieren wir das Szenario kurz:
Die Länge der Grundkante ist bereits bekannt, sie beträgt $x_2-x_1$ LE.
Die Länge der Seitenkanten allerdings muss noch berechnet werden. Dies geschieht mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Die Linke Kante nennen wir $s_1$, die rechte $s_2$.
Skizze zu $s_1$:
$\begin{array}[t]{rll} s_1=&\sqrt{\left(u-x_1\right)^2+\left(f\left(u\right)\right)^2}\\ \end{array}$
Skizze zu $s_2$:
$\begin{array}[t]{rll} s_2=&\sqrt{\left(x_2-u\right)^2+\left(f\left(u\right)\right)^2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} U\left(u\right)=&g+s_1+s_2\\ =&x_2-x_1+\sqrt{\left(u-x_1\right)^2+\left(f\left(u\right)\right)^2}+\sqrt{\left(x_2-u\right)^2+\left(f\left(u\right)\right)^2} \end{array}$
$ U=x_2-x_1+\sqrt{…}+\sqrt{…}$
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