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1.
Setze in die Ebene $E:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} -5 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$  die Werte $s=2$ und $t=-1$ ein.
Wie lauten die Koordinaten des gesuchten Punktes?
Bestimme zwei weitere Punkte, die auf der Ebene liegen.
2.
Gegeben ist eine Ebenenschar $E_k$: $x+(k-2)y+(2k+1)z=5-2k$  mit  $k\in\mathbb{R}$.
a)
Die Gerade $h$ geht durch die Punkte $P(0 \mid -4 \mid 1)$ und $Q(3 \mid 2 \mid -2)$ und schneidet $E_1$.
Berechne den Schnittpunkt $S$ von $h$ und $E_1$.
b)
Zeige, dass $P$ und $Q$ auf verschiedenen Seiten der Ebene $E_1$ liegen.
c)
Welche der Ebenen $E_k$ enthält den Ursprung? Welche ist zur $z$-Achse parallel?
3.
Gegeben sind die Geraden
$g:\; \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 0\\ \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right);\;s\in\mathbb{R}$  und  $h:\;\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$ $;\;t\in\mathbb{R}$
und der Punkt $A(2 \mid 1 \mid 0)$.
a)
Bestimme die Lage der Geraden $g$ und $h$ zueinander.
b)
Die Ebene $E$ enthält den Punkt $A$ und die Gerade $g$.
Bestimme den Schnittpunkt von $E$ und $h$.
4.
Zeige, dass die beiden Geraden
$g:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 1} \\ 0 \\ \end{array}} \right);\; s\in\mathbb{R}$  und  $h:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ { 1} \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ t\cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} -8 \\ { -4} \\ 0 \\ \end{array}} \right);\; t\in\mathbb{R}$
eine Ebene $E$ aufspannen und gib eine Koordinatengleichung von $E$ an.
5.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0 \mid 2 \mid 3)$, $B(1 \mid -2 \mid 6)$ und $C(-4 \mid 2 \mid 15)$ gegeben sowie für jedes $a\in\mathbb{R}$ eine Gerade $g_a$ mit der Gleichung:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 6\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} a\\ 1\\ a-2\\ \end{array}\right)$; $\;s\in\mathbb{R}$
a)
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ durch $A$, $B$ und $C$.
b)
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$,$y$ und $z$-Achse.
Zeichne die Ebene $E$ mithilfe der Spurpunkte in ein Koordinatensystem.
c)
Weise nach, dass keine der Geraden $g_a$ die Ebene $E$ senkrecht schneidet.
Für welchen Wert von $a$ ist die Gerade $g_a$ parallel zur Ebene $E$? Ist diese Gerade sogar in $E$ enthalten?
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