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Exponentialgleichungen

Spickzettel
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Um Exponentialgleichungen oder logarithmische Gleichungen zu lösen, ist es wichtig, dass du dir die Rechenregeln für Exponenten und für Logarithmen klarmachst. Zudem ist es wichtig, die Umkehrfunktionen zu kennen:
  • $\ln(\mathrm e^x) = x$
  • $\mathrm e^{\ln(x)} = x $
Dann kannst du wie folgt vorgehen:
  1. Vereinfache so weit wie möglich, das bedeutet, bringe alle Summanden ohne $x$ auf eine Seite und alle Summanden mit $x$ auf die andere Seite des $=$
  2. Wende die zugehörige Umkehrfunktion an, um das $x$ aus dem Exponenten bzw. dem Logarithmus zu bekommen
  3. Löse nun wie gewohnt nach $x$ auf

Beispiel

$\begin{array}{llllllll} &4\mathrm e^{3x}+3&=&7& \mid -3\\ &4\mathrm e^{3x}&=&4& \mid :4\\ &\mathrm e^{3x}&=&1& \mid \ln\\ &3x&=&\ln(1)& \\ &3x&=&0& \\ &x&=&0& \\ \end{array}$
$\Rightarrow \mathbb{L} = \{0\}$
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Aufgaben
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1.
Gib die Lösungsmenge an.
b)
$\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{2x}=7$
d)
ln$(x^2)-2$ln$(x)-x^2+9=0$
f)
ln$(x^2)-$ln$(x)=3$
2.
Gib die Lösungsmenge an.
b)
$\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm e^{x}+4=0$
d)
$\mathrm{e}^{2x}-6\mathrm e^{x}+8=0$
f)
$\left(\ln(x)\right)^{2}-5\ln(x)+4=0$
3.
Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen.
b)
$\mathrm{e}^{x}-5\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}+6=0$
d)
ln$(x)^2-3$ln$(x)+2=0$
f)
$1-\dfrac{1}{\ln(x)}+\dfrac{1}{4\ln(x)^2}=0$
4.
Löse die folgenden Gleichungen.
b)
$1+\dfrac{3}{4}\mathrm{e}^{-x}-\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}=0$
d)
ln$(x^2)-$ln$(x)+$ln$(x^3)=8$
f)
$\mathrm{e}^{x+2}-\mathrm{e}^{x}=7$
5.
Löse die Gleichungen.
b)
$\mathrm e^{x}-2-\dfrac{15}{\mathrm e^{x}} = 0$
d)
$3\mathrm e^{x}+9-\dfrac{12}{\mathrm e^x}=0$
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Lösungen
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1.
a)
$\begin{array}{llllllll} \mathrm{e}^{3x}&=3&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] 3x&=\ln(3)&\mid:3\\[5pt] x&=\dfrac{\ln(3)}{3} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\ln(3)}{3}\right\}$
b)
$\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{2x}=7$
Es ist $\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+2x}=\mathrm{e}^{3x}$. Also:
$\begin{array}{llllllll} \mathrm{e}^{3x}&=7&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] 3x&=\ln(7)&\mid :3\\[5pt] x&=\dfrac{\ln(7)}{3} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\ln(7)}{3}\right\}$
c)
ln$(x)+$ln$(5x)=2$
Es ist $\ln(5x)=\ln(5)+\ln(x)$.
Die Gleichung vereinfacht sich zu:
$\begin{array}{rlllllll} 2\cdot\ln(x)+\ln(5)&=2&\mid -\ln(5)\\[5pt] 2\cdot\ln(x)&=2-\ln(5)&\mid :2\\[5pt] \ln(x)&=1-\dfrac{\ln(5)}{2}&\mid \mathrm{e}^{\left\{…\right\}}\\[5pt] x&=\mathrm{e}^{1-\frac{\ln(5)}{2}}\\[5pt] &=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{\frac{\ln(5)}{2}}}\\[5pt] &=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{\ln(\sqrt{5})}}&\mid \text{Anmerkung:} \frac{\ln(5)}{2}=\frac{1}{2}\ln(5)=\ln\left(5^{\frac{1}{2}}\right)=\ln(\sqrt{5})\\[5pt] &=\dfrac{\mathrm{e}}{\sqrt{5}} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2\cdot\ln(x)+\ln(5)=\dfrac{\mathrm{e}}{\sqrt{5}} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\mathrm{e}}{\sqrt{5}}\right\}$
d)
ln$(x^2)-2$ln$(x)-x^2+9=0$
Es gilt:
$\ln(x^2)=2\ln(x)$
Damit vereinfacht sich die Gleichung zu:
$\begin{array}{rlllllll} -x^2+9&=0&\mid -9\\ -x^2&=-9&\mid \cdot(-1)\\ x^2&=9&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x&=\pm3 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-3;3\right\}$
e)
$\begin{array}{rlllllll} 3\mathrm{e}^x&=\mathrm{e}^{2x}&\mid -\mathrm{e}^{2x}\\ 3\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x}&=0&\mid \mathrm{e}^x ausklammern\\ \mathrm{e}^x(3-\mathrm{e}^{x})&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 3\mathrm{e}^x&=0 \end{array}$
Die Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn entweder $\mathrm{e}^x=0$ oder $3-\mathrm{e}^{x}=0$ ist.
$\mathrm{e}^x$ kann nicht null werden.
Die Lösung der Gleichung $3-\mathrm{e}^{x}=0$ ist $x=\ln(3)$.
$\mathbb{L}=\left\{\ln(3)\right\}$
f)
ln$(x^2)-$ln$(x)=3$
Es ist $\ln(x^2)=2\ln(x)$. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu
$2\ln(x)-\ln(x)=\ln(x)=3$
Die Lösung dieser Gleichung ist $x=\mathrm{e}^3$.
$\mathbb{L}=\left\{\mathrm{e}^3\right\}$
2.
a)
$2\mathrm{e}^{2x}-18=-4\mathrm{e}^{2x}$
Umformen:
$\begin{array}{rlllllll} 2\mathrm e^{2x}-18&=-4\mathrm e^{2x} &\mid +4\mathrm e^{2x}\\[5pt] 6\mathrm e^{2x}-18&=0&\mid :6\\[5pt] \mathrm e^{2x}-3&=0&\mid +3\\[5pt] \mathrm e^{2x}&=3 \end{array}$
Die Gleichung wird mit dem natürlichen Logarithmus gelöst:
$\begin{array}{rlllllll} \mathrm e^{2x}&=3&\mid \ln(\;\;)\\ 2x&=\ln(3)&\mid :2\\ x&=\dfrac{\ln(3)}{2} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{\ln(3)}{2}\right\}$
b)
$\mathrm{e}^{2x}-5\mathrm e^{x}+4=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^x=a$
Dies führt zu folgender Gleichung:
$a^{2}-5a+4=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} a_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-4}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
$a_{1}=4; a_{2}=1$
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &a_{1}&=\mathrm e^{x}\\ &4&=\mathrm e^{x}\\ &x_{1}&=\ln(4) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2)& a_{2}&=\mathrm e^{x}\\ &1&=\mathrm e^{x}\\ &x_{2}&=\ln(1)=0 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\ln(4);0\right\}$
c)
$\mathrm{e}^{4x}-\mathrm e^{2x}=0$
Ausklammern:
$\mathrm e^{2x}\left(\mathrm e^{2x}-1\right)=0$
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss einer der beiden Faktoren des Produkts gleich Null sein, damit das Produkt gleich Null ist:
$\begin{array}{rlllllll} \mathrm e^{2x}&=0 &\text{hat keine Lösung (kann nicht Null werden)}\\[5pt] \mathrm e^{2x}-1&=0&\mid +1\\[5pt] \mathrm e^{2x}&=1&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] 2x&=\ln(1)&\mid \ln(1)=0\\[5pt] x&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} x&=0 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
d)
$\mathrm{e}^{2x}-6\mathrm e^{x}+8=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm e^{x}=a$
$a^{2}-6a+8=0$
2.Schritt: p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} a_{1,2}&=\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{6}{2}\right)^{2}-8}\\[5pt] &=3\pm\sqrt{9-8}\\[5pt] &=3\pm1 \end{array}$
$a_1=4; a_2=2$
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &a_{1}&=\mathrm e^{x}\\[5pt] &4&=\mathrm e^{x}\\[5pt] &x_{1}&=\ln(4) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &a_{2}&=\mathrm e^{x}\\[5pt] &2&=\mathrm e^{x}\\[5pt] &x_{2}&=\ln(2) \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\ln(4);\ln(2)\right\}$
e)
$\left(\ln(x)\right)^{2}+2\ln(x)=0$
1. Schritt: Substitution:
$\ln(x)=a$:
$a^{2}+2a=0$
2. Schritt: Ausklammern:
$a(a+2)=0$
Die Gleichung ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.
Daraus folgt: $a_1=0$ und $a_2=-2$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) & a_{1}&=\ln(x)\\[5pt] &0&=\ln(x)\\[5pt] &x_{1}&=\mathrm e^{0}=1 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &a_{2}&=\ln(x)\\[5pt] &-2&=\ln(x)\\[5pt] &x_{2}&=\mathrm e^{-2}=\dfrac{1}{\mathrm e^{2}} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{1;\dfrac{1}{\mathrm e^{2}}\right\}$
f)
$\left(\ln(x)\right)^{2}-5\ln(x)+4=0$
1. Schritt: Substitution:
$\ln(x)=a$:
$a^{2}-5a+4=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} a_{1,2}&=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-4}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
$a_1=4; a_2=1$
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &a_{1}&=\ln(x)\\[5pt] &4&=\ln(x)\\[5pt] &x_{1}&=\mathrm e^{4} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &a_{2}&=\ln(x)\\[5pt] &1&=\ln(x)\\[5pt] &x_{2}&=\mathrm e^{1} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\mathrm e;\mathrm e^{4}\right\}$
g)
$\dfrac{4}{\ln\left(x^{2}\right)}-1=0$
Umformen:
$\begin{array}{rlllllll} \dfrac{4}{\ln\left(x^{2}\right)}-1&=0&\mid +1\\[5pt] \dfrac{4}{\ln\left(x^{2}\right)}&=1&\mid \cdot\ln(x^{2})\\[5pt] 4&=\ln(x^{2})&\mid \mathrm{e}\\[5pt] \mathrm e^{4}&=x^{2} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} \mathrm e^{4}&=x^{2} \end{array}$
$x_1=\mathrm e^{2}; x_2=-\mathrm e^{2}$
$\mathbb{L}=\left\{-\mathrm e^{2}; \mathrm e^{2}\right\}$
3.
a)
$\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}=\dfrac{3}{4}$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{x}=z$.
Durch Auflösen nach Null wird die Gleichung zu:
$z^2+z-\dfrac{3}{4}=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\pm1 \end{array}$
Also $z_{1}=-\dfrac{3}{2}$ und $z_{2}=\dfrac{1}{2}$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{x_{1}}\\[5pt] &-\dfrac{3}{2}&=\mathrm{e}^{x_{1}}\\[5pt] \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $\ln\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ nicht definiert ist.
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &\dfrac{1}{2}&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &x_{2}&=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right\}$
b)
$\mathrm{e}^{x}-5\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}+6=0$
1. Schritt: Substitution:
$z=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$
$z^2-5z+6=0$
2. Schritt: Lösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2} \end{array}$
Also $z_{1}=2$ und $z_{2}=3$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{1}}\\[5pt] &2&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{1}}&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] &\ln(2)&=\frac{1}{2}x_{1}&\mid \cdot2\\[5pt] &x_{1}&=2\ln(2)=\ln(2^2)=\ln(4) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{2}}\\[5pt] &3&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{2}}&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] &\ln(3)&=\frac{1}{2}x_{2}&\mid \cdot2\\[5pt] &x_{2}&=2\ln(3)=\ln(3^2)=\ln(9) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{1}} … \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\ln(4);\ln(9)\right\}$
c)
ln$(x)-7\sqrt{\ln(x)}+10=0$
1. Schritt: Substitution:
$z=\sqrt{\ln(x)}$
$z^2-7z+10=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}-10}\\[5pt] &=\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{7}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
Du erhältst $z_{1}=2$ und $z_{2}=5$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\sqrt{\ln(x_{1})}\\[5pt] &2&=\sqrt{\ln(x_{1})}&\mid (\;\;)^2\\[5pt] &4&=\ln(x_{1})\\ &x_{1}&=\mathrm{e}^{4} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\sqrt{\ln(x_{2})}\\[5pt] &5&=\sqrt{\ln(x_{2})}&\mid (\;\;)^2\\[5pt] &25&=\ln(x_{2})\\ &x_{2}&=\mathrm{e}^{25} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\mathrm{e}^{4};\mathrm{e}^{25}\right\}$
d)
ln$(x)^2-3\cdot$ln$(x)+2=0$
1. Schritt: Substitution:
$z=\ln(x)$
$z^2-3z+2=0$
2. Schritt:
Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}\\[5pt] &=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2} \end{array}$
Du erhältst $z_{1}=1$ und $z_{2}=2$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\ln(x_{1})\\[5pt] &1&=\ln(x_{1})\\[5pt] &x_{1}&=\mathrm{e} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\ln(x_{2})\\[5pt] &2&=\ln(x_{2})\\[5pt] &x_{2}&=\mathrm{e}^{2} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\mathrm{e};\mathrm{e}^{2}\right\}$
e)
$\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}=0$
Multiplikation mit $\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$ führt zu:
$\mathrm{e}^{x}-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}=0$
1. Schritt: Substitution:
$z=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}$
$z^2-\dfrac{3}{2}z+\dfrac{1}{2}=0$
2. Schritt:
Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-3}{4}\pm\sqrt{\dfrac{9}{16}-\dfrac{1}{2}}\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}\\[5pt] &=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{1}{4} \end{array}$
Du erhältst $z_{1}=\dfrac{1}{2}$ und $z_{2}=1$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{1}}\\[5pt] &\dfrac{1}{2}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{1}}&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] &\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&=\frac{1}{2}x_{1}&\mid \cdot2\\[5pt] &x_{1}&=2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right)=\ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{2}}\\[5pt] &1&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{2}}&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] &\ln(1)&=\frac{1}{2}x_{2}&\mid \cdot2\\[5pt] &x_{2}&=2\ln(1)=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x_{1}} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{0; \ln\left(\dfrac{1}{4}\right)\right\}$
f)
$1-\dfrac{1}{\ln(x)}+\dfrac{1}{4\ln(x)^2}=0$
Multiplikation der Gleichung mit $\ln(x)^2$ ergibt:
$\ln(x)^2-\ln(x)+\dfrac{1}{4}=0$
1. Schritt: Substitution:
$z=\ln(x)$
$z^2-z+\dfrac{1}{4}=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\pm0 \end{array}$
Es gibt nur eine Lösung: $z=\dfrac{1}{2}$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} z&=\ln(x)\\[5pt] \dfrac{1}{2}&=\ln(x)\\[5pt] x=\sqrt{\mathrm{e}} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\sqrt{\mathrm{e}}\right\}$
4.
a)
$\mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{-x}=3$
Auflösen nach Null und Multiplikation mit $\mathrm{e}^{x}$ führt zu folgender Gleichung:
$\mathrm{e}^{2x}+2-3\mathrm{e}^{x}=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{x}=z$
Dadurch wird die Gleichung zu:
$z^2-3z+2=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}\\[5pt] &=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2} \end{array}$
Also $z_{1}=1$ und $z_{2}=2$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{x_{1}}\\[5pt] &1&=\mathrm{e}^{x_{1}}\\[5pt] &x_{1}&=\ln(1)=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &2&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &x_{2}&=\ln(2) \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{0;\ln(2)\right\}$
b)
$1+\dfrac{3}{4}\mathrm{e}^{-x}-\dfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}=0$
Multplikation mit $\mathrm{e}^{2x}$ liefert folgende Gleichung:
$\mathrm{e}^{2x}+\dfrac{3}{4}\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{4}=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{x}=z$
$z^2+\dfrac{3}{4}z-\dfrac{1}{4}=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{3}{8}\pm\sqrt{\dfrac{9}{64}+\dfrac{1}{4}}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{8}\pm\sqrt{\dfrac{25}{64}}\\[5pt] &=-\dfrac{3}{8}\pm\dfrac{5}{8} \end{array}$
Du erhältst $z_{1}=-1$ und $z_{2}=\dfrac{1}{4}$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{x_{1}}\\[5pt] &-1&=\mathrm{e}^{x_{1}} \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $\ln(-1)$ nicht definiert ist.
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &\dfrac{1}{4}&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &x_{2}&=\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)=\ln(4^{-1})=-\ln(4) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{x_{1}} … \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-\ln(4)\right\}$
c)
ln$(x^2)-$ln$(x)+$ln$(x^3)=8$
Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe des Logarithmusgesetzes $\ln(x^a)=a\ln(x)$ umformen zu:
$2\ln(x)-\ln(x)+3\ln(x)$=$4\ln(x)$=$8$
Also $\ln(x)=2$ und somit $x=\mathrm{e}^2$
$\mathbb{L}$$=\left\{\mathrm{e}^{2}\right\}$
d)
$\mathrm{e}^{\frac{5}{3}x}-4\mathrm{e}^{\frac{2}{3}x}-5\mathrm{e}^{-\frac{1}{3}x}=0$
Zunächst multipliziert man mit $\mathrm{e}^{\frac{1}{3}x}$:
$\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{x}-5=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{x}=z$
$z^2-4z-5=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16}{4}+5}\\[5pt] &=2\pm\sqrt{9}\\[5pt] &=2\pm3 \end{array}$
Also $z_{1}=-1$ und $z_{2}=5$.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &z_{1}&=\mathrm{e}^{x_{1}}\\[5pt] &-1&=\mathrm{e}^{x_{1}} \end{array}$
$\ln(-1)$ ist nicht definiert. Daher liefert $z_{1}$ keine Lösung.
$\begin{array}{rlllllll} 2) &z_{2}&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &5&=\mathrm{e}^{x_{2}}\\[5pt] &x_{2}&=\ln(5) \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\ln(5)\right\}$
e)
$\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x+1}+\mathrm{e}^{2}=0$
Mit $\mathrm{e}^{x+1}=\mathrm{e}\cdot\mathrm{e}^{x}$ wird die Gleichung zu:
$\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}\cdot\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2}=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{x}=z$
$z^2-2\mathrm{e}\cdot z+\mathrm{e}^{2}=0$
2. Schritt: Auflösung durch p-q-Formel:
$\begin{array}{rlllllll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2\mathrm{e}}{2}\pm\sqrt{\mathrm{e}^2-\mathrm{e}^2}\\[5pt] &=\mathrm{e}\pm0 \end{array}$
$z=$e ist die einzige Lösung.
3. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} z&=\mathrm{e}^{x}\\ \mathrm{e}&=\mathrm{e}^{x}\\[5pt] x&=\ln(\mathrm{e})=1 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
f)
$\mathrm{e}^{x+2}-\mathrm{e}^{x}=7$
Es ist $\mathrm{e}^{x+2}=\mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{x}$. Dadurch wird die Gleichung zu:
$\begin{array}{rlllllll} \mathrm{e}^{2}\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}&=7\\[5pt] \mathrm{e}^{x}(\mathrm{e}^{2}-1)&=7&\mid :(\mathrm{e}^{2}-1)\\[5pt] \mathrm{e}^{x}&=\dfrac{7}{(\mathrm{e}^{2}-1)}&\mid \ln(\;\;)\\[5pt] x&=\ln\left(\dfrac{7}{(\mathrm{e}^{2}-1)}\right) \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} x&=\ln\left(\dfrac{7}{(\mathrm{e}^{2}-1)}\right) \end{array}$
Zu beachten ist: $\ln\left(\dfrac{7}{(\mathrm{e}^{2}-1)}\right)$ ist definiert, da $(\mathrm{e}^{2}-1)>0$ ist!
$\mathbb{L}=\left\{\ln\left(\dfrac{7}{(\mathrm{e}^{2}-1)}\right)\right\}$
5.
a)
Die Gleichung $\mathrm{e}^{4x}-11\mathrm{e}^{2x}+18=$$0$ lässt sich nach den Potenzgesetzen umschreiben zu:
$(\mathrm{e}^{2x})^2-11\mathrm{e}^{2x}+18=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{2x}=u$
$\begin{array}{rlllllll} u^2-11u+18&=\;0\\[5pt] u_{1,2}&=\;\dfrac{11}{2}\pm\sqrt{\dfrac{121}{4}-18}=\dfrac{11}{2}\pm\sqrt{\dfrac{121}{4}-\dfrac{72}{4}}=\dfrac{11}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}=\dfrac{11}{2}\pm\dfrac{7}{2}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} u^2-11u+18&=\;0 \end{array}$
$u_1=2$; $u_2=9$
2. Schritt: Rücksubstitution:
$u_1=\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;2=\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;2x=\ln 2\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;x_1=\dfrac{1}{2}\ln2$
$u_2=\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;9=\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;2x=\ln 9\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;x_2=\dfrac{1}{2}\ln9=\ln9^{\frac{1}{2}}=\ln\sqrt{9}=\ln3$
$u_1=\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Leftrightarrow\; …$
Die Gleichung $\mathrm{e}^{4x}-11\mathrm{e}^{2x}+18$$=0$ hat damit die Lösungsmenge $\mathbb{L}$$=\left\{\dfrac{1}{2}\ln2;\,\ln3\right\}$.
b)
Zunächst wird die Gleichung mit $\mathrm{e}^x$ multipliziert:
$\begin{array}{rlllllll} \mathrm e^x-2-\dfrac{15}{\mathrm{e}^x}&=0&\mid \cdot\mathrm e^x\\ \mathrm e^{2x}-2\mathrm e^x-15&=0 \end{array}$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm e^x=z$
$\begin{array}{rlllllll} z^2-2z-15&=\;0\\[5pt] z_{1,2}&=\;1\pm\sqrt{1-(-15)}=1\pm4\\[5pt] z_1&=5;\;\;\;z_2=-3 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} z_1&=5;\;\;\;z_2=-3 \end{array}$
2. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} 1) &\mathrm e^x&=z_1\\[5pt] &\mathrm e^x&=5 &\mid\ln\\[5pt] &x&=\ln(5) \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $\ln(-1)$ nicht definiert ist.
$\begin{array}{rlllllll} 2) &\mathrm e^x&=z_2\\[5pt] &\mathrm e^x&=-3&\mid \ln \end{array}$
$x=\ln(5)$ ist die einzige Lösung. Daraus ergibt sich die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{\ln5\right\}$.
c)
$\left(2x^2-8\right)\cdot\left(\mathrm e^{2x}-6\right)=0$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Wir dürfen also die beiden Klammern getrennt voneinander betrachten.
$\begin{array}{rlllllll} 2x^2-8&=0&\mid :2\\[5pt] x^2-4&=0&\mid +4\\[5pt] x^2&=4&\mid \sqrt{\;}\\[5pt] x_{1,2}&=\pm2\\[7pt] \mathrm e^{2x}-6&=0&\mid +6\\[5pt] \mathrm e^{2x}&=6&\mid \ln\left(\;\right)\\[5pt] 2x&=\ln6&\mid :2\\ x_3&=\dfrac{1}{2}\cdot\ln6&\mid \text{Potenzregeln}\\[5pt] x_3&=\ln\left(6^{\frac{1}{2}}\right)\\[5pt] x_3&=\ln\sqrt6 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} x_3&=\ln\sqrt6 \end{array}$
Damit ergibt sich die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{-2; \ln\sqrt6;2\right\}$
d)
Um die Gleichung durch entsprechende Verfahren lösen zu können, muss zunächst das $\mathrm{e}^{x}$ aus dem Nenner des Bruchs $\frac{12}{\mathrm{e}^{x}}$ verschwinden. Dazu multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit $\mathrm{e}^{x}$:
$\begin{array}{rlllllll} 3\mathrm{e}^{x}+9-\dfrac{12}{\mathrm{e}^{x}}&=\;0&\mid\,\cdot\,\mathrm{e}^{x}\\[5pt] 3(\mathrm{e}^{x})^2+9\mathrm{e}^{x}-12&=\;0&\mid\,:\,3\\[5pt] (\mathrm{e}^{x})^2+3\mathrm{e}^{x}-4&=\;0 \end{array}$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{x}=u$
$\begin{array}{rlllllll} u^2+3u-4&=\;0\\ u_{1,2}&=\;-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+4}=-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}=-\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{5}{2}\\ u_1&=\;1;\;\;u_2=-4 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} u_1&=\;1;\;\;u_2=-4 \end{array}$
2. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} u_1&=\;\mathrm{e}^{x}\\[5pt] 1&=\;\mathrm{e}^{x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;x_1=\ln 1=0\\[5pt] u_2&=\;\mathrm{e}^{x}\\[5pt] -4&=\;\mathrm{e}^{x}\;\;\;\text{(keine Lösung, da $\mathrm{e}^{x}$ immer positiv ist!)} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} -4&=\;\mathrm{e}^{x} \end{array}$
Die Gleichung hat somit eine einzige Lösung: $x_1=0 \;\;\; \Rightarrow$ $\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
e)
Nach dem dritten Potenzgesetz ($a^{m\cdot n}=(a^m)^n$) lässt sich der erste Summand in der Gleichung umschreiben zu:
$(\mathrm{e}^{2x})^2-5\mathrm{e}^{2x}+6=0$
1. Schritt: Substitution:
$\mathrm{e}^{2x}=u$
$\begin{array}{rlllllll} u^2-5u+6&=\;0\\[5pt] u_{1,2}&=\;\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6}=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\[5pt] u_1&=\;3\\[5pt] u_2&=\;2 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} u_2&=\;2 \end{array}$
2. Schritt: Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlllllll} u_1&=\;\mathrm{e}^{2x}\\[5pt]\end{array}$
$\begin{array}{rlllllll}3&=\;\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;2x=\ln 3\;\;\;\Rightarrow\;\;\;x_1=\dfrac{1}{2}\ln3\\[5pt]\end{array}$
$\begin{array}{rlllllll}3&=\;\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Rightarrow\; … \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll}u_2&=\;\mathrm{e}^{2x}\\[5pt]\end{array}$
$\begin{array}{rlllllll}2&=\;\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;2x=\ln 2\;\;\;\Rightarrow\;\;\;x_2=\dfrac{1}{2}\ln2 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll}2&=\;\mathrm{e}^{2x}\;\;\;\Rightarrow\; … \end{array}$
Die Gleichung hat somit die beiden Lösungen $x_1=\frac{1}{2}\ln3$ und $x_2=\frac{1}{2}\ln2$.
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