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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
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Ganzrationale Funktio...
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Nach Funktionstyp
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Tangente
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Flächeninhalt zwische...
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Weiterführende Übungs...
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Exponentialfunktionen
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Geraden
Geraden
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Vermischte Aufgaben
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Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Punkt, Gerade und Ebe...
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Geordnete Stichprobe ...
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Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
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Zweiseitiger Test

Ganzrationale Funktionen

Spickzettel
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Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, also Funktionen der Form:
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0$
$f(x) = a_n\cdot x^n + … $
Wenn du die Kurve einer ganzrationalen Funktion gegeben hast, kannst du so vorgehen:
1. Schritt: Grad der Funktion bestimmen
Folgende Funktionsgraphen sind typisch für ganzrationale Funktionen:
Funktionen 2. Grades (Parabel)
Funktionen 4. Grades
Funktionen 4. Grades
2. Schritt: Funktionsgleichungen aufstellen
Durch ablesen von geeigneten Eigenschaften aus dem Schaubild, kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dieses nach den unbekannten Parametern $a_0$ bis $a_n$ lösen.
Mögliche nützliche Eigenschaften sind:
  • Achsensymmetrie
  • Punktsymmetrie
  • Extrempunkte
  • Wendepunkte
  • Gut ablesbare Koordinaten bestimmter Punkte
  • Achsensymmetrie
  • Punktsymmetrie
  • Extrempunkte
  • Wendepunkte
  • Gut ablesbare Koordinaten bestimmter Punkte
Beachte, das du immer eine Gleichung mehr brauchst als der Grad der Funktion (zum Beispiel Funktion dritten Grades: 4 Gleichungen).
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Aufgaben
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1.
Gegeben sind die Schaubilder einiger Funktionen. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.
b)
d)
2.
Gegeben sind die Schaubilder einiger Funktionen. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.
b)
d)
3.
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b)
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Lösungen
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1.
a)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform
Die Abbildung zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(0\mid-1\right)$. Als Ansatz kannst du die Scheitelpunktform der Parabel benutzen:
$f(x)=a\cdot(x-x_S)^2+y_S$, wobei $S\left(x_S\mid y_S\right)$ die Koordinaten des Scheitepunkts sind.
Setze die Koordinaten von $S\left(0\mid-1\right)$ ein und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot x^2-1$.
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(1\mid0)$. Setze seine Koordinaten ein in $f(x)$ und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{rlll} f(1)&=0&\\ a\cdot1^2-1&=a-1&\scriptsize\mid\;+1 \\ a&=1 \end{array}$
Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^2-1$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform
Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, der achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+b$.
Lies aus der Abbildung die Koordinaten zweier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(0\mid-1)$ und $(-1\mid0)$. Es folgen die Bedingungen $f(0)=-1$ und $f(-1)=0$.
Einsetzen in $f(x)=ax^2+b$ ergibt das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrl} (1)&\quad -1=&a\cdot0^2&+b & \Rightarrow b=-1 \\ (2)&\quad 0=&a\cdot(-1)^2&+b \\\hline (2)&\quad 0=&a&+b \end{array}$
$ \quad 0=a+b $
Setze $b=-1$ ein in (2):$\quad$ $0=a-1\;\Leftrightarrow\;a=1$.
Die Funktionsgleichung lautet damit $f(x)=x^2-1$.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform
Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(0\mid4\right)$. Setze die Koordinaten von $S\left(0\mid4\right)$ ein in die Scheitelpunktform der Parabel und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot x^2+4$.
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(1\mid2)$. Setze seine Koordinaten in $f(x)$ ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{rll} f(1)&=2\\ a\cdot1^2+4&=a+4&\scriptsize\mid\;-4 \\ a&=-2 \end{array}$
Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-2\cdot x^2+4$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform
Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades, der achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+b$.
Lies aus der Abbildung die Koordinaten zweier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(0\mid4)$ und $(1\mid2)$. Es folgen die Bedingungen $f(0)=4$ und $f(1)=2$.
Einsetzen in $f(x)=ax^2+b$ ergibt das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrl} (1)&\quad 4=&a\cdot0^2&+b & \Rightarrow b=4 \\ (2)&\quad 2=&a\cdot1^2&+b \\\hline (2)&\quad 2=&a&+b \end{array}$
$ 2=a+b $
Setze $b=4$ ein in (2):$\quad$ $2=a+4\;\Leftrightarrow\;a=-2$.
Die Funktionsgleichung lautet damit $f(x)=-2\cdot x^2+4$.
c)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform
Die Abbildung zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(1\mid-1\right)$. Setze die Koordinaten von $S\left(1\mid-1\right)$ ein in die Scheitelpunktform der Parabel und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot (x-1)^2-1$.
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(2\mid1)$. Setze seine Koordinaten ein in $f(x)$ und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{rll} f(2)&=1\\ a\cdot(2-1)^2-1&=a-1&\scriptsize\mid\;+1 \\ a&=2 \end{array}$
Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=2\cdot(x-1)^2-1$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform
Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+bx+b$.
Lies aus der Abbildung die Koordinaten dreier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(0\mid1)$, $(1\mid-1)$ und $(2\mid1)$. Es folgen die Bedingungen $f(0)=1$, $f(1)=-1$ und $f(2)=1$.
Einsetzen in $f(x)=ax^2+bx+c$ ergibt das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrll} (1)&1=&a\cdot0&+b\cdot0&+c&\scriptsize\Rightarrow c=1 \\ (2)&-1=&a\cdot1^2&+b\cdot1&+c \\ (3)&1=&a\cdot2^2&+b\cdot2&+c \\\hline (2)&-1=&a&+b&+c&\scriptsize\mid\;c=1 \\ (3)&1=&4a&+2b&+c&\scriptsize\mid\;c=1 \\\hline (2)&-1=&a&+b&+1&\scriptsize\mid\;+1 \\ (3)&1=&4a&+2b&+1&\scriptsize\mid\;-1 \\\hline (2)&0=&a&+b&+2 \\ (3)&0=&4a&+2b \end{array}$
$ 0=4a+2b $
Aus (3) folgt:
$\quad$$4a+2b=0\;\Leftrightarrow\;2b=-4a\;\Leftrightarrow\;b=-2a$.
$\quad$$4a+2b=0\;$$\Leftrightarrow\;2b=-4a\;\Leftrightarrow\;b=-2a$.

Einsetzen in (2) liefert:
$\quad$$a-2a+2=0\;\Leftrightarrow\;-a=-2\;\Leftrightarrow\;a=2$.
$\quad$$a-2a+2=0\;$$\Leftrightarrow\;-a=-2\;$ $\Leftrightarrow\;a=2$.

Also ist $b=-2\cdot2=-4$.
Es folgt damit die Funktionsgleichung $f(x)=2x^2-4x+1$.
d)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Scheitelpunktform
Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $S\left(-2\mid3\right)$. Setze die Koordinaten von $S\left(-2\mid3\right)$ ein in die Scheitelpunktform der Parabel und du erhälst die Gleichung $f(x)=a\cdot (x+2)^2+3$.
Lies nun die Koordinaten eines weiteren Punktes ab, der auf dem Graphen liegt, z.B. $(0\mid1)$. Setze seine Koordinaten ein in $f(x)$ und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}{rll} f(0)&=1\\ a\cdot(0+2)^2+3&=4a+3&\scriptsize\mid\;-3 \\ 4a&=-2&\scriptsize\mid\;:4 \\ a&=-\frac{1}{2} \end{array}$
$a=-\frac{1}{2}$
$\begin{array}{rll} f(0)&=&1\\ a\cdot(0+2)^2+3&=4a+3&\scriptsize\mid\;-3 \\ 4a&=-2&\scriptsize\mid\;:4 \\ a&=-\frac{1}{2} \end{array}$
Es folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-\frac{1}{2}\cdot(x+2)^2+3$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Normalform
Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit $f(x)=a\cdot x^2+bx+b$.
Lies aus der Abbildung die Koordinaten dreier Punkte ab, die auf dem Graphen liegen, z.B. $(-4\mid1)$, $(-2\mid3)$ und $(0\mid1)$. Es folgen die Bedingungen $f(-4)=1$, $f(-2)=3$ und $f(0)=1$.
Einsetzen in $f(x)=ax^2+bx+c$ ergibt das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrll} (1)&1&=&a\cdot(-4)^2&+&b\cdot(-4)&+&c \\ (2)&3&=&a\cdot(-2)^2&+&b\cdot(-2)&+&c \\ (3)&1&=&a\cdot0&+&b\cdot0&+&c&\scriptsize\Rightarrow c=1 \\\hline (1)&1&=&16a&-&4b&+&c&\scriptsize\mid\;c=1 \\ (2)&3&=&4a&-&2b&+&c&\scriptsize\mid\;c=1 \\\hline (1)&1&=&16a&-&4b&+&1&\scriptsize\mid\;-1 \\ (2)&3&=&4a&-&2b&+&1&\scriptsize\mid\;-3 \\\hline (2)&0&=&16a&-&4b&& \\ (3)&0&=&4a&-&2b&-&2&\scriptsize\mid\; Rechne: (2)-2\cdot(3) \\\hline (2)&0&=&16a&-&4b&& \\ (3c)&0&=&8a&&&+&4&\scriptsize\Rightarrow a=-\frac{1}{2} \end{array}$
$ 0=8a+4\scriptsize\Rightarrow a=-\frac{1}{2} $
Setze
$a=-\frac{1}{2}$ ein in (2): $\quad$$16\cdot(-\frac{1}{2})-4b=0\;\Leftrightarrow\;-8=4b\;\Leftrightarrow\;b=-2$.
$a=-\frac{1}{2}$ ein in (2):
$\quad$$16\cdot(-\frac{1}{2})-4b=0\;$
$\Leftrightarrow\;-8=4b\;$$\Leftrightarrow\;b=-2$.

Es folgt damit die Funktionsgleichung
$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$.
2.
a)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=3a\cdot x^2+b$.

Es sind zwei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also zwei Bedingungen. Zum einen kannst du die Koordinaten von $(1\mid1)$ ablesen. Daraus folgt die Bedingung $f(1)=1$. Zum anderen besitzt der Graph im Ursprung einen Sattelpunkt: $f'(0)=0$.
Hinweis: Da die Punktsymmetrie zum Ursprung bereits verwendet wurde, ist die Bedingung $f(0)=0$ hinfällig.
Aus den beiden Bedingungen folgt ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrr} (1)&1&=&a\cdot1+b\cdot1\\ (2)&0&=&3\cdot a\cdot0+b\\ &&\Rightarrow & b=0 \end{array}$
Setze $b=0$ ein in (1) und erhalte:
$1=a+0\;\Leftrightarrow\;a=1$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^3$.
b)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=3a\cdot x^2+b$.

Es sind zwei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also zwei Bedingungen. Der Graph besitzt den Hochpunkt $H(-1\mid2)$. Daraus folgen die Bedingungen $f(-1)=2$ und $f'(-1)=0$. Aus den beiden Bedingungen folgt ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrll} (1)&2&=&a\cdot(-1)^3&+&b\cdot(-1) \\ (2)&0&=&3\cdot a\cdot(-1)^2&+&b \\\hline (1)&2&=&-a&-&b \\ (2)&0&=&3\cdot a&+&b \end{array}$
$ 0 = 3\cdot a+b $

Aus (2) folgt $b=-3a$. Setze dies ein in (1):
$-a-(-3a)=2\;\Leftrightarrow\;-a+3a=2\;\Leftrightarrow\;2a=2\;\Leftrightarrow\;a=1$
$-a-(-3a)=2\;$
$\Leftrightarrow\;-a+3a=2\;$
$\Leftrightarrow\;2a=2\;$
$\Leftrightarrow\;a=1$

Also ist $b=-3\cdot 1=-3$. Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^3-3x$.
c)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+cx+d$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=3a\cdot x^2+2b\cdot x+c$
und der zweiten Ableitung
$f''(x)=6a\cdot x+2b$.

Es sind vier Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also vier Bedingungen. Der Graph besitzt den Hochpunkt $(1\mid1)$ und den Wendepunkt $0\mid-1$. Daraus folgen vier Bedingungen
  • $f(1)=1$$\quad$ und $\quad$ $f'(1)=0$
  • $f(0)=-1$$\quad$ und $\quad$ $f''(0)=0$
$f(1)=1$$\quad$ und $\quad$ $f'(1)=0$
$f(0)=-1$$\quad$ und $\quad$ $f''(0)=0$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrrrrrl} (1)&1&=&a\cdot1^3&+&b\cdot1^2&+&c\cdot1&+&d \\ (2)&0&=&3a\cdot1^2&+&2b\cdot1&+&c&& \\ (3)&-1&=&a\cdot0&+&b\cdot0&+&c\cdot0&+&d&\scriptsize\Rightarrow\;d=-1 \\ (4)&0&=&6a\cdot0&+&2b&&&&&\scriptsize\Rightarrow\;b=0 \\\hline (1)&1&=&a&+&b&+&c&+&d&\scriptsize\mid\;d=-1,\;b=0 \\ (2)&0&=&3a&+&2b&+&c&&&\scriptsize\mid\;d=-1,\;b=0 \\ (1)&1&=&a&&&+&c&-&1&\scriptsize\mid\;-1 \\ (2)&0&=&3a&&&+&c&&& \\\hline (1)&0&=&a&&&+&c&-&2&\\ (2)&0&=&3a&&&+&c&&&\scriptsize\mid\; Rechne: (1)-(2) \\\hline (1)&0&=&a&&&+&c&-&2& \\ (2)a&0&=&-2a&&&&&-&2 \end{array}$
$ 0=-2a-2 $

Aus (2)a folgt $a=-1$.
Setze dies ein in (1):
$0=-1+c-2\;\Leftrightarrow\;0=-3+c\;\Leftrightarrow\;c=3$

$0=-1+c-2\;$
$\Leftrightarrow\;0=-3+c\;$
$\Leftrightarrow\;c=3$

Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-x^3+3x-1$.
d)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Lösung über Linearfaktordarstellung
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades. Die allgemeine Gleichung dieser Funktion kann als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden und lautet allgemein
$a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot(x-x_3)$
Dabei sind $x_1$, $x_2$ und $x_3$ die Nullstellen von $f$.
Aus der Abbildung folgt sofort:
  • $f$ besitzt eine einfache Nullstelle bei $x=0$ (Schnittpunkt mit der $x$-Achse)
  • $f$ besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x=3$ (Berührpunkt mit der $x$-Achse)
  • $f$ besitzt eine einfache Nullstelle bei $x=0$ (Schnittpunkt mit der $x$-Achse)
  • $f$ besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x=3$ (Berührpunkt mit der $x$-Achse)
Damit folgt zunächst die Gleichung $f(x)=a\cdot x\cdot(x-3)^2$.
Lies nun einen weiteren Punkt ab, der auf dem Graphen liegt, z.B: $(1\mid\frac{4}{3})$. Einsetzen in $f(x)$ ergibt:
$\dfrac{4}{3}=a\cdot1\cdot(1-3)^2\;$
$\Leftrightarrow\;\dfrac{4}{3}=a\cdot4\;$
$\Leftrightarrow\;a=\dfrac{1}{3}$
Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot x\cdot (x-3)^2$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Lösung über Normalform
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 3. Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+cx+d$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=3a\cdot x^2+2b\cdot x+c$.

Es sind vier Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also vier Bedingungen. Der Graph verläuft durch den Ursprung und durch den Punkt $(1\mid\frac{4}{3})$ und besitzt den Tiefpunkt $(3\mid0)$. Daraus folgen vier Bedingungen
  • $f(0)=0$$\quad$ und $\quad$ $f(1)=\frac{4}{3}$
  • $f(3)=0$$\quad$ und $\quad$ $f'(3)=0$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrrrrrl} (1)&0&=&a\cdot0^3&+&b\cdot0^2&+&c\cdot0&+&d&\scriptsize\Rightarrow\;d=0 \\ (2)&\frac{4}{3}&=&a\cdot1^3&+&b\cdot1^2&+&c\cdot1&+&d \\ (3)&0&=&a\cdot3^3&+&b\cdot3^2&+&c\cdot3&+&d \\ (4)&0&=&3a\cdot3^2&+&2b\cdot3&+&c&& \\\hline (2)&\frac{4}{3}&=&a&+&b&+&c&& \\ (3)&0&=&27a&+&9b&+&3c&&&\scriptsize\mid\; Rechne: 3\cdot(2)-(3) \\ (4)&0&=&27a&+&6b&+&c&&&\scriptsize\mid\; Rechne: (2)-(4) \\\hline (2)&\frac{4}{3}&=&a&+&b&+&c&& \\ (3)a&4&=&-24a&-&6b&&&&& \\ (4)a&\frac{4}{3}&=&-26a&-&5b&&&&&\scriptsize\mid\; Rechne: 5\cdot(3)-6\cdot(4) \\\hline (2)&\frac{4}{3}&=&a&+&b&+&c&& \\ (3)a&4&=&-24a&-&6b&&&&& \\ (4)b&12&=&36a&&&&&&& \end{array}$
$ 12=36a $

Aus (4)b folgt: $a=\frac{1}{3}$. Setze dies ein in (3)a:
$4=-24\cdot\frac{1}{3}-6b\;$
$\Leftrightarrow\;4=-8-6b\;$
$\Leftrightarrow\;12=-6b\;$
$\Leftrightarrow\;b=-2$
Setze $a=\frac{1}{3}$ und $b=-2$ ein in (2):
$\frac{4}{3}=\frac{1}{3}-2+c\;$
$\Leftrightarrow\;\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}+c\;$
$\Leftrightarrow\;c=3$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x$.
3.
a)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades, der achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=4a\cdot x^3+2b\cdot x$.

Es sind drei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also drei Bedingungen. Der Graph verläuft durch den Ursprung und besitzt den Tiefpunkt $(1\mid-1)$. Daraus folgen drei Bedingungen
  • $f(0)=0$
  • $f(1)=-1$$\quad$ und $\quad$ $f'(1)=0$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrrrrl} (1)&0&=&a\cdot0&+&b\cdot0&+&c&\scriptsize\mid\;c=0 \\ (2)&-1&=&a\cdot1&+&b\cdot1&+&c \\ (3)&0&=&4a\cdot1&+&2b\cdot1 \\\hline (2)&-1&=&a&+&b&& \\ (3)&0&=&4a&+&2b \end{array}$
$ 0=4a+2b $

Aus (3) folgt:
$4a+2b=0\;$
$\Leftrightarrow\;2b=-4a\;$
$\Leftrightarrow\;b=-2a$.

Setze dies ein in (2):
$-1=a-2a\;$
$\Leftrightarrow\;-1=-a\;$
$\Leftrightarrow\;a=1$.
Also ist $b=-2\cdot1=-2$.
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^4-2x^2$.
b)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades, der achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=4a\cdot x^3+2b\cdot x$.

Es sind drei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also drei Bedingungen. Der Graph verläuft durch den Punkt $(0\mid4)$ und besitzt den Tiefpunkt $(2\mid-4)$. Daraus folgen drei Bedingungen
  • $f(0)=4$
  • $f(2)=-4$$\quad$ und $\quad$ $f'(2)=0$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrrrl} (1)&4&=&a\cdot0&+&b\cdot0&+&c&\scriptsize\Rightarrow\;c=4 \\ (2)&-4&=&a\cdot2^4&+&b\cdot2^2&+&c \\ (3)&0&=&4a\cdot2^3&+&2b\cdot2 \\\hline (2)&-4&=&16a&+&4b&+&4&\scriptsize\mid\;+4 \\ (3)&0&=&32a&+&4b \\\hline (2)&0&=&16a&+&4b&+&8 \\ (3)&0&=&32a&+&4b&&&\scriptsize\mid\; Rechne: (2)-(3) \\\hline (2)&0&=&16a&+&4b&+&8 \\ (3)a&0&=&-16a&&&+&8 \end{array}$
$ 0=-16a + 8 $

Aus (3)a folgt:
$0=-16a+8\;$
$\Leftrightarrow\;16a=8\;$
$\Leftrightarrow\;a=\frac{1}{2}$.

Setze dies ein in (2):
$0=16\cdot\frac{1}{2}+4b+8\;$
$\Leftrightarrow\;0=16+4b\;$
$\Leftrightarrow\;b=-4$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4-4x^2+4$.
c)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades, der achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=4a\cdot x^3+2b\cdot x$.

Es sind drei Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also drei Bedingungen. Der Graph verläuft durch die Punkte $(2\mid0)$ und $(0\mid2)$ und besitzt einen Hochpunkt bei $x=1$. Daraus folgen drei Bedingungen
  • $f(2)=0$
  • $f(0)=2$
  • $f'(1)=0$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrrrl} (1)&0&=&a\cdot2^4&+&b\cdot2^2&+&c \\ (2)&2&=&a\cdot0&+&b\cdot0&+&c&\scriptsize\Rightarrow\;c=2 \\ (3)&0&=&4a\cdot1^3&+&2b\cdot1^2 \\\hline (1)&0&=&16a&+&4b&+&2 \\ (3)&0&=&4a&+&2b&&&\scriptsize\mid\; Rechne: (1)-2\cdot(3) \\\hline (1)&0&=&16a&+&4b&+&2 \\ (3)a&0&=&8a&&&+&2& \end{array}$
$ 0=8a+2 $

Aus (3)a folgt: $0=8a+2\;$
$\Leftrightarrow\;-8a=2\;$
$\Leftrightarrow\;a=-\frac{1}{4}$.

Setze dies ein in (1):
$0=16\cdot(-\frac{1}{4})+4b+2\;$
$\Leftrightarrow\;0=-2+4b\;$
$\Leftrightarrow\;b=\frac{1}{2}$
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=-\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{2}x^2+2$.
d)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 4. Grades. Als allgemeine Funktionsgleichung folgt damit
$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+e$
$\begin{array}{lll} f(x)&=&a\cdot x^4+b\cdot x^3 \\ & &+c\cdot x^2+d\cdot x+e \\ \end{array}$
mit der ersten Ableitung
$f'(x)=4a\cdot x^3+3b\cdot x^2+2c\cdot x+d$
$\begin{array}{lll} f'(x)&=&4a\cdot x^3+3b\cdot x^2 \\ & &+2c\cdot x+d \\ \end{array}$

Es sind fünf Unbekannte zu bestimmen. Du benötigst also fünf Bedingungen. Der Graph besitzt den Hochpunkt $(1\mid0)$ und die Tiefpunkte $(0\mid-1)$ und $(2\mid-1)$. Daraus folgen fünf Bedingungen
  • $f(1)=0$$\quad\;\;$ und $\quad$ $f'(1)=0$
  • $f(0)=-1$$\quad$ und $\quad$ $f'(0)=0$
  • $f(2)=-1$
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrrrrrrrl} (1)&0&=&a\cdot1&+&b\cdot1&+&c\cdot1&+&d\cdot1&+&e \\ (2)&0&=&4a\cdot1&+&3b\cdot1&+&2c\cdot1&+&d \\ (3)&-1&=&a\cdot0&+&b\cdot0&+&c\cdot0&+&d\cdot0&+&e&\scriptsize\Rightarrow\;e=-1 \\ (4)&0&=&4a\cdot0&+&3b\cdot0&+&2c\cdot0&+&d&&&\scriptsize\Rightarrow\;d=0 \\ (5)&-1&=&a\cdot2^4&+&b\cdot2^3&+&c\cdot2^2&+&d\cdot2&+&e \\\hline (1)&0&=&a&+&b&+&c&&&-&1&\scriptsize\mid\;+1 \\ (2)&0&=&4a&+&3b&+&2c&&&&& \\ (5)&-1&=&16a&+&8b&+&4c&&&-&1&\scriptsize\mid\;+1 \\\hline (1)&1&=&a&+&b&+&c&&&& \\ (2)&0&=&4a&+&3b&+&2c&&&&&\scriptsize\mid\; Rechne: 2\cdot(1)-(2) \\ (5)&0&=&16a&+&8b&+&4c&&&&&\scriptsize\mid\; Rechne: 4\cdot(1)-(5) \\\hline (1)&1&=&a&+&b&+&c&&&& \\ (2)a&2&=&-2a&-&b&&&&&&& \\ (5)a&4&=&-12a&-&4b&&&&&&&\scriptsize\mid\; Rechne: 4\cdot(2)a-(5) \\\hline (1)&1&=&a&+&b&+&c&&&& \\ (2)a&2&=&-2a&-&b&&&&&&& \\ (5)b&4&=&4a&&&&&&&&& \end{array}$
$ 4=4a $

Aus (5)b folgt: $a=1$.
Setze dies ein in (2)a:
$\quad$$2=-2\cdot1-b\;\Leftrightarrow\;4=-b\;\Leftrightarrow\;b=-4$
$\quad$$2=-2\cdot1-b\;$ $\Leftrightarrow\;4=-b\;$$\Leftrightarrow\;b=-4$

Setze zuletzt $a$ und $b$ ein in (1):$\quad$$1=1-4+c\;\Leftrightarrow\;c=4$.
Damit folgt die Funktionsgleichung $f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1$.
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