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Gerade - Gerade
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Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

Spickzettel
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Den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ kannst du ähnlich wie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse mit Hilfe eines Integrals berechnen:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A $=$ \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
Wenn du den Betrag verwendest, ist es egal, welche Funktion du von welcher abziehst. Ohne den Betrag musst du darauf achten, dass die Funktion von der abgezogen wird, diejenige ist, deren Graph oberhalb des anderen Graphen liegt. Sonst würdest du einen negativen Flächeninhalt erhalten.

Hinweise

  • Die Grenzen $a$ und $b$ ergeben sich, wenn in der Aufgabenstellung nicht anders vorgegeben, aus den Schnittstellen der beiden Funktionen. Du musst diese also meist zuerst berechnen.
  • Gibt es mehr als nur zwei Schnittstellen $x_0$, $x_1$,..$x_n$, so musst du mehrere Integrale berechnen:
    $A = \left| \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right| $ $+\left| \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right| +…$ $+\left| \displaystyle\int_{x_{n-1}}^{x_n}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right|$
    $A = \left| \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right|$
  • Sind die beiden Grenzen in der Aufgabenstellung vorgegeben, so musst du überprüfen, ob zwischen diesen Schnittstellen liegen, und dann gegebenenfalls wie oben mehrere Integrale berechnen.
  • Beispiel

    Die Fläche, die vollständig von den beiden Graphen der Funktionen $f(x) = x^3+x^2-2x$ und $g(x) = x$ eingeschlossen wird, lässt sich wie folgt berechnen:
    Die Schnittstellen ergeben sich zu $x_0 \approx -2,3 $, $x_1 = 0$ und $x_2 \approx 1,3$. Damit berechnet sich der Flächeninhalt über die Summe zweier Integrale:
    $A \approx \left|\displaystyle\int_{-2,3}^{0}\left(x^3+x^2-2x-x\right)\mathrm dx\right| + \left|\displaystyle\int_{0}^{1,3}\left(x^3+x^2-2x-x\right)\mathrm dx \right| $ $\approx 4,994 + 1,089 = 6,083$
    $A = 6,083$
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    1.
    Berechne den Inhalt der Fläche, welche von den Graphen von $f$ und $g$, sowie von den Geraden $a$ und $b$ begrenzt wird.
    Hinweis: Prüfe, ob die Funktionen Schnittstellen im Intervall $[a;b]$ aufweisen.
    b)
    $\begin{array}[t]{rlllllll} f(x)&=x\left(x^2-4\right);&a=\dfrac{1}{2}\\[5pt] g(x)&=\dfrac{1}{2}x;&b=\frac{3}{2} \end{array}$
    d)
    $\begin{array}[t]{rlllllll} f(x)&=x^3;&&a=-2\\[5pt] g(x)&=x^2+2x;&&b=0 \end{array}$
    f)
    $\begin{array}[t]{rlllllll} f(x)&=4x^3-5x;&&a=1\\[5pt] g(x)&=x^2;&&b=2 \end{array}$
    2.
    Berechne den Inhalt der Fläche, welche von den Schaubildern von $f$ und $g$ vollständig eingeschlossen wird.
    a)
    $f(x)=x^2$
    $g(x)=4-x^2$
    b)
    $f(x)=x^2-\dfrac{2}{3}x^3$
    $g(x)=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x$
    c)
    $f(x)=x^3-2x$
    $g(x)=4x-x^3$
    d)
    $f(x)=-0,5x^2+4$
    $g(x)=x^2-4x+4$
    3.
    Berechne den Flächeninhalt zwischen den zwei Kurven.
    b)
    $f(x)=-\mathrm{e}^{x}+0,5x^2$
    $g(x)=-\mathrm{e}^{x}+2x$
    4.
    Berechne den Flächeninhalt zwischen den zwei Kurven.
    b)
    $f(x)=2\cdot\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$
    $g(x)=-\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$ mit $x\in\left[0;\pi\right]$
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    Lösungen
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    1.
    a)
    1. Schritt: Funktionen auf Schnittstellen im Intervall untersuchen
    Die Schnittstellen der Funktionen f und g erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
    $\begin{array}{llllllll} x^2&=-x^2+4&\mid\;+x^2\\ 2x^2&=4\\ x^2&=2\\ x_{1,2}&=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}4142 \end{array}$
    Die Schnittstellen der Funktionen stimmen genau mit den Intervallgrenzen $a$ und $b$ überein.
    2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(x^2-(-x^2+4)\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(x^2+x^2-4\right)\,\mathrm dx\right|=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(2x^2-4\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{2}{3}x^3-4x\right]_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\sqrt2\right)^3-4\cdot\sqrt2\right)-\left(\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\sqrt2\right)^3-4\cdot\left(-\sqrt2\right)\right)\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{2}{3}\cdot2\sqrt2-4\cdot\sqrt2\right)-\left(-\dfrac{2}{3}\cdot2\sqrt2+4\cdot\sqrt2\right)\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{8}{3}\sqrt2-\dfrac{8}{3}\sqrt2\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{16}{3}\sqrt2\right|\\[6pt] &=\dfrac{16}{3}\sqrt2 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|= \end{array}$
    b)
    1. Schritt: Funktionen auf Schnittstellen im Intervall untersuchen
    Die Schnittstellen der Funktionen f und g erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
    $\begin{array}{llllllll} x\cdot\left(x^2-4\right)&=\dfrac{1}{2}x& ausmultiplizieren\\[5pt] x^3-4x&=\dfrac{1}{2}x&\mid\;-\dfrac{1}{2}x\\[5pt] x^3-4{,}5x&=0&\mid\;x \;ausklammern\\[5pt] x\cdot\left(x^2-4{,}5\right)&=0 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} x\cdot\left(x^2-4\right)&=\dfrac{1}{2}x& \end{array}$
    Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Damit folgt die erste Lösung $x_1=0$.
    $\begin{array}{llllllll} x^2-4{,}5&=0&\mid\;+4{,}5\\[5pt] x^2&=4{,}5\\[5pt] x_{2,3}&=\pm\sqrt{4{,}5}\approx\pm2{,}12 \end{array}$
    Die Funktionen weisen keine Schnittstellen im Intervall $[a;b]=[\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$ auf.
    2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right| \\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left(x\cdot(x^2-4)-\dfrac{1}{2}x\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left(x^3-4x-\dfrac{1}{2}x\right)\,\mathrm dx\right|=\left|\displaystyle\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left(x^3-\dfrac{9}{2}x\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{9}{4}x^2\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^4-\dfrac{9}{4}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^4-\dfrac{9}{4}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right)\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{81}{16}-\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{9}{4}\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{16}-\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{4}\right)\right|\\[6pt] &=\left|\dfrac{81}{64}-\dfrac{81}{16}-\left(\dfrac{1}{64}-\dfrac{9}{16}\right)\right|\\[6pt] &=\left|\dfrac{81}{64}-\dfrac{324}{64}-\left(\dfrac{1}{64}-\dfrac{36}{64}\right)\right|\\[6pt] &=\left|\dfrac{81-324-1+36}{64}\right|=\left|\dfrac{-208}{64}\right|=3{,}25 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|= \end{array}$
    c)
    1. Schritt: Funktionen auf Schnittstellen im Intervall untersuchen
    Die Schnittstellen der Funktionen f und g erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
    $\begin{array}{llllllll} \dfrac{1}{x^2}&=-x^2&\mid\;\cdot x^2\\ 1&=-x^4&\mid\;\cdot(-1)\\ -1&=x^4 \end{array}$
    Diese Gleichung bestitzt keine Lösung, da $x^4\geq0$ für alle $x\in\mathbb R$ ist. Die beiden Funktionen weisen also keine Schnittstellen auf.
    2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;1}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;1}^{2}\left(\dfrac{1}{x^2}-(-x^2)\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;1}^2{\left(\dfrac{1}{x^2}+x^2\right)}\,\mathrm dx\right|&\mid \dfrac{1}{x^2} \\[6pt] &=x^{-2}\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{-1}\cdot x^{-1}+\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1}^2\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1}^2\right|\\[6pt] &=\left|\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot2^3\right)-\left(-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}\cdot1^3\right)\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{3}+1-\dfrac{1}{3}\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{17}{6}\right|\\[6pt] A\approx 2{,}83 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;1}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|= \end{array}$
    d)
    1. Schritt: Funktionen auf Schnittstellen im Intervall untersuchen
    Die Schnittstellen der Funktionen f und g erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
    $\begin{array}{rlllllll} x^3&=x^2+2x&\mid\;-x^2-2x\\[5pt] x^3-x^2-2x&=0& \;x \;ausklammern\\[5pt] x\cdot\left(x^2-x-2\right)&=0 \end{array}$
    $\begin{array}{rlllllll} x^3&=x^2+2x \end{array}$
    Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Wir erhalten damit als erste Lösung $x_1=0$.
    $\begin{array}{rlllllll} x^2-x-2&=0\\[5pt] x_{2,3}&=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+2}=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{8}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}{rlllllll} x^2-x-2&=0\\[5pt] \end{array}$
    $\begin{array}{rlllllll} x_2&=2\\[5pt] x_3&=-1 \end{array}$
    Im Intervall $[-2;0]$ besitzen die Funktionen eine Schnittstelle, nämlich $x=-1$. Die eingeschlossene Fläche besteht also aus zwei Teilflächen.
    2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-2}^{-1}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{\;-1}^{0}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;-2}^{-1}\left(x^3-x^2-2x\right)\,\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{\;-1}^{0}\left(x^3-x^2-2x\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-2}^{-1}\right|+\left|\left[\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-1}^0\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{1}{4}\cdot(-1)^4-\dfrac{1}{3}\cdot(-1)^3-(-1)^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot(-2)^4-\dfrac{1}{3}\cdot(-2)^3-(-2)^2\right)\right|\\[6pt] &\; +\left|\left(\dfrac{1}{4}\cdot0-\dfrac{1}{3}\cdot0-0\right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot(-1)^4-\dfrac{1}{3}\cdot(-1)^3-(-1)^2\right)\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1\right)-\left(4+\dfrac{8}{3}-4\right)\right|+\left|0-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1\right)\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{3}{12}+\dfrac{4}{12}-\dfrac{12}{12}\right)-\dfrac{8}{3}\right|+\left|-\dfrac{3}{12}-\dfrac{4}{12}+\dfrac{12}{12}\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{5}{12}-\dfrac{32}{12}\right|+\left|\dfrac{5}{12}\right|\\[6pt] A&=\dfrac{37}{12}+\dfrac{5}{12}=\dfrac{42}{12}=3{,}5 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&= \end{array}$
    e)
    1. Schritt: Funktionen auf Schnittstellen im Intervall untersuchen
    Die Schnittstellen der Funktionen f und g erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
    $\begin{array}{llllllll} x^2-x^4+1&=x^2&\mid\;-x^2\\ -x^4+1&=0&\mid\;+x^4\\ x^4&=1\\ x&=\pm1 \end{array}$
    Im Intervall $[0;2]$ besitzen die Funktionen eine Schnittstelle, nämlich $x=1$. Die eingeschlossene Fläche besteht also aus zwei Teilflächen.
    2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(-x^4+1\right)\,\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(-x^4+1\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{5}x^5+x\right]_{0}^{1}\right|+\left|\left[-\dfrac{1}{5}x^5+x\right]_{1}^{2}\right|\\[6pt] &=\left|\left(-\dfrac{1}{5}\cdot1^5+1\right)-\left(-\dfrac{1}{5}\cdot0+0\right)\right|+\left|\left(-\dfrac{1}{5}\cdot2^5+2\right)-\left(-\dfrac{1}{5}\cdot1^5+1\right)\right|\\[6pt] &=\left|\dfrac{4}{5}-0\right|+\left|\left(-\dfrac{32}{5}+2\right)-\dfrac{4}{5}\right|\\[6pt] &=\dfrac{4}{5}+\left|\left(-\dfrac{32}{5}+2\right)-\dfrac{4}{5}\right|\\[6pt] &=\dfrac{4}{5}+\left|-\dfrac{26}{5}\right|\\[6pt] &=\dfrac{4}{5}+\dfrac{26}{5}\\[6pt] A&=\dfrac{30}{5}=6 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&= \end{array}$
    f)
    1. Schritt: Funktionen auf Schnittstellen im Intervall untersuchen
    Die Schnittstellen der Funktionen f und g erhältst du durch Gleichsetzen der Funktionsterme.
    $\begin{array}{llllllll} 4x^3-5x&=x^2&\mid\;-x^2\\[5pt] 4x^3-x^2-5x&=0&\mid\;x\, ausklammern\\[5pt] x\cdot\left(4x^2-x-5\right)&= 0 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} 4x^3-5x=x^2 \end{array}$
    Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Wir erhalten damit als erste Lösung $x_1=0$.
    $\begin{array}{llllllll} 4x^2-x-5&=0&\mid\;:4\\[5pt] x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{5}{4}&=0\\[5pt] x_{2,3}&=\dfrac{1}{8}\pm\sqrt{\dfrac{1}{64}+\dfrac{5}{4}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{8}\pm\dfrac{9}{8}\\[5pt] x_2&=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}=1{,}25\\[5pt] x_3&=-\dfrac{8}{8}=-1 \end{array}$
    $4x^2-x-5=0$
    $\begin{array}{llllllll} x_2&=1{,}25\\[5pt] x_3&=-1 \end{array}$
    Im Intervall $[0;2]$ besitzen die Funktionen eine Schnittstelle, nämlich $x=1,25$. Die eingeschlossene Fläche besteht also aus zwei Teilflächen.
    2. Schritt: Inhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int\limits_{\;1}^{1{,}25}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{\;1{,}25}^{2}\left(f(x)-g(x)\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int\limits_{\;1}^{1{,}25}\left(4x^3-x^2-5x\right)\,\mathrm dx\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{\;1{,}25}^{2}\left(4x^3-x^2-5x\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[4\cdot\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{3}x^3-5\cdot\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{1{,}25}\right|+\left|\left[4\cdot\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{3}x^3-5\cdot\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1{,}25}^{2}\right|\\[6pt] &=\left|\left[x^4-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2\right]_{1}^{1{,}25}\right|+\left|\left[x^4-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2\right]_{1{,}25}^{2}\right|\\[6pt] &=\left|\left(1{,}25^4-\dfrac{1}{3}\cdot1{,}25^3-\dfrac{5}{2}\cdot1{,}25^2\right)-\left(1^4-\dfrac{1}{3}\cdot1^3-\dfrac{5}{2}\cdot1^2\right)\right|\\[6pt] &\;+ \left|\left(2^4-\dfrac{1}{3}\cdot2^3-\dfrac{5}{2}\cdot2^2\right)-\left(1{,}25^4-\dfrac{1}{3}\cdot1{,}25^3-\dfrac{5}{2}\cdot1{,}25^2\right)\right|\\[6pt] &=\left|\dfrac{625}{256}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{25}{16}-1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{2}\right|\\[6pt] &\;+\left|16-\dfrac{8}{3}-10-\left(\dfrac{625}{256}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{25}{16}\right)\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{217}{768}\right|+\left|\dfrac{1395}{256}\right|\\[6pt] &=\dfrac{217}{768}+\dfrac{1395}{256}\\[6pt] A&=\dfrac{2201}{384}\approx5{,}73 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&= \end{array}$
    2.
    a)
    1. Schritt: Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme berechnen
    $\begin{array}{llllllll} x^2&=4-x^2&\mid +x^2\\[5pt] 2x^2&=4&\mid :2\\[5pt] x^2&=2&\mid \sqrt{\;}\\[5pt] x_{1,2}&=\pm\sqrt{2} \end{array}$
    2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left(x^2-\left(4-x^2\right)\right)}\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left(2x^2-4\right)} \;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=\left|\left[\dfrac{2}{3}x^3-4x\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right|\\[5pt] &=\left|\left(\dfrac{2}{3}\cdot\left(\sqrt{2}\right)^3-4\cdot\left(\sqrt{2}\right)\right)-\left(\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)^3-4\cdot\left(-\sqrt{2}\right)\right)\right|\\[5pt] &=\left|\dfrac{4\sqrt{2}}{3}-4\sqrt{2}+\dfrac{4\sqrt{2}}{3}-4\sqrt{2}\right|\\[5pt] &=\left|\dfrac{8\sqrt{2}}{3}-8\sqrt{2}\right| \;\;\;\mid hinteren\;Summanden\;mit\;3\;erweitern\\[5pt] &=\left|\dfrac{8\sqrt{2}}{3}-\dfrac{24\sqrt{2}}{3}\right|\\[5pt] &=\left|-\dfrac{16\sqrt{2}}{3}\right|\\[5pt] A&=\dfrac{16\sqrt{2}}{3} FE \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{\left(x^2-\left(4-x^2\right)\right)}\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &= \end{array}$
    b)
    1. Schritt: Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme berechnen
    $\begin{array}{llllllll} x^2-\dfrac{2}{3}x^3&=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x&\mid \cdot3\\[5pt] 3x^2-2x^3&=-x^2+2x&\mid +x^2-2x\\[5pt] -2x^3+4x^2-2x&=0&\mid :\left(-2\right)\\[5pt] x^3-2x^2+x&=0&\mid x\;ausklammern\\[5pt] x\left(x^2-2x+1\right)&=0 \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} x^2-\dfrac{2}{3}x^3&=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x& \end{array}$
    Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
    $x_1=0$
    p-q-Formel anwenden:
    $\begin{array}{llllllll} x_{2,3}&=1\pm\sqrt{1-1}\\ x_2&=1 \end{array}$
    2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}{\left(x^2-\dfrac{2}{3}x^3-\left(-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x\right)\right)}\;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}{\left(-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{4}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x\right)} \;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{6}x^4+\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^2\right]_{0}^{1}\right|\\[6pt] &=\left|\left(-\dfrac{1}{6}\cdot1^4+\dfrac{4}{9}\cdot1^3-\dfrac{1}{3}\cdot1^2\right)-\left(-\dfrac{1}{6}\cdot0^4+\dfrac{4}{9}\cdot0^3-\dfrac{1}{3}\cdot0^2\right)\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{3}\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{1}{18}\right|\\[6pt] A&=\dfrac{1}{18} FE \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&= \end{array}$
    c)
    1. Schritt: Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme berechnen
    $\begin{array}{rlllllll} x^3-2x&=4x-x^3&\mid -4x+x^3\\[5pt] 2x^3-6x&=0&\mid :2\\[5pt] x^3-3x&=0&\mid x\;ausklammern\\[5pt] x\left(x^2-3\right)&=0 \end{array}$
    $\begin{array}{rlllllll} x^3-2x&=4x-x^3 \end{array}$
    Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
    $\begin{array}{rlllllll} x^2-3&=0&\mid+3\\ x^2&=3&\mid \sqrt{\;}\\ x_{2,3}&=\pm\sqrt{3} \end{array}$
    2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
    von $-\sqrt{3}$ bis $0$
    $\begin{array}{llllllll} A_1&=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^{0}{\left(x^3-2x-\left(4x-x^3\right)\right)}\;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^{0}{\left(2x^3-6x\right) }\;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{2}x^4-3x^2\right]_{-\sqrt{3}}^{0}\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{1}{2}\cdot0^4-3\cdot0^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)^4-3\cdot\left(-\sqrt{3}\right)^2\right)\right|\\[6pt] &=\left|4,5-9\right|\\[6pt] &=\left|-4,5\right|\\[6pt] A_1&=4,5 FE \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A_1&= \end{array}$
    von $0$ bis $\sqrt{3}$
    $\begin{array}{llllllll} A_2&=\left|\left(\dfrac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^4-3\cdot\left(\sqrt{3}\right)^2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot0^4-3\cdot0^2\right)\right|\\[5pt] A_2&=4,5 FE\\[5pt] A&=A_1+A_2 = 9FE \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A_2&= \end{array}$
    d)
    1. Schritt: Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme berechnen
    $\begin{array}{rlllllll} -0,5x^2+4&=x^2-4x+4&\mid -x^2+4x-4\\[5pt] -1,5x^2+4x&=0&\mid \cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\[5pt] x^2-\dfrac{8}{3}x&=0&\mid x\;ausklammern\\[5pt] x\left(x-\dfrac{8}{3}\right)&=0 \end{array}$
    $\begin{array}{rlllllll} -0,5x^2+4&=x^2-4x+4 \end{array}$
    Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
    $x_1=0 \;\;\;x_2=\dfrac{8}{3}$
    2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
    von $-\sqrt{3}$ bis $0$
    $\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{\frac{8}{3}}{\left(-0,5x^2+4-\left(x^2-4x+4\right)\right)}\;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{0}^{\frac{8}{3}}{\left(-1,5x^2+4x\right)} \;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{2}x^3+2x^2\right]_{0}^{\frac{8}{3}}\right|\\[6pt] &= \left|\left(-\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{8}{3}\right)^3+2\cdot\left(\dfrac{8}{3}\right)^2\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\cdot0^4+2\cdot0^3\right)\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{512}{54}+\dfrac{128}{9}\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{128}{27}\right|\\[6pt] A&=\dfrac{128}{27} \approx 4,74FE \end{array}$
    $\begin{array}{llllllll} A&=\dfrac{128}{27} \approx 4,74FE \end{array}$
    3.
    a)
    Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen festzulegen.
    $\begin{array}{rllllllll} f(x)&=g(x)\\ \mathrm{e}^{x}-x^2&=\mathrm{e}^{x}-x\\[5pt] -x^2+x&=-x(x-1)=0\\[5pt] x_1&=0\\[5pt] x_2&=1\\[5pt] \end{array}$
    Die obere Kurve ist $\mathrm{e}^{x}-x^2$.
    $\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{1}(\mathrm{e}^{x}-x^2-\left(\mathrm{e}^{x}-x\right))\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(-x^2+x)\;\mathrm dx\\[6pt] &=\left[-\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2\right]_0^{1}\\[6pt] &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{6}FE \end{array}$
    $\begin{array}{rllllllll} A&= \end{array}$
    b)
    Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen festzulegen.
    $\begin{array}{rllllllll} f(x)&=g(x)\\[5pt] -\mathrm{e}^{x}+0,5x^2&=-\mathrm{e}^{x}+2x\\[5pt] 0,5x^2-2x&=0\\[5pt] 0,5x(x-4)&=0\\[5pt] x_1&=0\\[5pt] x_2&=4 \end{array}$
    Die obere Kurve ist $-\mathrm{e}^{x}+2x$.
    $\begin{array}{rllllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{4}(-\mathrm{e}^{x}+2x-\left(-\mathrm{e}^{x}+0,5x^2\right)\;\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left[x^2-\dfrac{1}{6}x^3\right]_0^{4}\\[6pt] &=16-\dfrac{64}{6}-0=16-10\dfrac{2}{3}=5\dfrac{1}{3}FE \end{array}$
    $\begin{array}{rllllllll} A&= \end{array}$
    4.
    a)
    Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen festzulegen.
    $\begin{array}{rllllllll} f(x)&=g(x)\\[5pt] -\sin x&=\sin (x)\\[5pt] -2\sin x&=0\\[5pt] x_1&=0\\[5pt] x_2&=\pi \end{array}$
    Die obere Kurve ist $\sin(x)$, da $-\sin (x)$ im angegebenen Intervall $\leq0$ ist.
    $\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(\sin(x)-(-\sin(x))\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2\sin(x))\;\mathrm dx\\[6pt] &=\left[-2\cos(x)\right]_0^{\pi}\\[6pt] &=-2\cos(\pi)-(-2\cos(0))=-2\cdot(-1)-(-2\cdot1)=2+2=4FE \end{array}$
    $\begin{array}{rllllllll} A&= \end{array}$
    b)
    Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen festzulegen.
    $\begin{array}{rllllllll} f(x)&=g(x)\\[5pt] 2\cdot\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\\[5pt] 3\cdot\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)&=0\\[5pt] x_1&=0\\[5pt] x_2&=\pi \end{array}$
    Die obere Kurve ist $2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$, da $-\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$ im angegebenen Intervall $\leq0$ ist.
    $\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(-\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right))\;\mathrm dx\\[6pt] &=\left[3\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right]_0^{\pi}\\[6pt] &=3\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{2}\right)-3\sin\left(0-\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cdot1-3\cdot(-1)=3+3=6FE \end{array}$
    $\begin{array}{rllllllll} A&= \end{array}$
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