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Flächeninhalt zwischen zwei Graphen

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Den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ kannst du ähnlich wie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der $x$-Achse mit Hilfe eines Integrals berechnen:
$A = \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
$A $=$ \left|\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx \right| $
Wenn du den Betrag verwendest, ist es egal, welche Funktion du von welcher abziehst. Ohne den Betrag musst du darauf achten, dass die Funktion von der abgezogen wird, diejenige ist, deren Graph oberhalb des anderen Graphen liegt. Sonst würdest du einen negativen Flächeninhalt erhalten.

Hinweise

  • Die Grenzen $a$ und $b$ ergeben sich, wenn in der Aufgabenstellung nicht anders vorgegeben, aus den Schnittstellen der beiden Funktionen. Du musst diese also meist zuerst berechnen.
  • Gibt es mehr als nur zwei Schnittstellen $x_0$, $x_1$,..$x_n$, so musst du mehrere Integrale berechnen:
    $A = \left| \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right| $ $+\left| \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right| +…$ $+\left| \displaystyle\int_{x_{n-1}}^{x_n}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right|$
    $A = \left| \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm dx\right|$
  • Sind die beiden Grenzen in der Aufgabenstellung vorgegeben, so musst du überprüfen, ob zwischen diesen Schnittstellen liegen, und dann gegebenenfalls wie oben mehrere Integrale berechnen.
  • Beispiel

    Die Fläche, die vollständig von den beiden Graphen der Funktionen $f(x) = x^3+x^2-2x$ und $g(x) = x$ eingeschlossen wird, lässt sich wie folgt berechnen:
    Die Schnittstellen ergeben sich zu $x_0 \approx -2,3 $, $x_1 = 0$ und $x_2 \approx 1,3$. Damit berechnet sich der Flächeninhalt über die Summe zweier Integrale:
    $A \approx \left|\displaystyle\int_{-2,3}^{0}\left(x^3+x^2-2x-x\right)\mathrm dx\right| + \left|\displaystyle\int_{0}^{1,3}\left(x^3+x^2-2x-x\right)\mathrm dx \right| $ $\approx 4,994 + 1,089 = 6,083$
    $A = 6,083$
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