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Teilverhältnisse

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Teilverhältnisse

Betrachte die Strecke $\overline{AB}$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$. Liegt ein Punkt $T$ auf dieser Strecke, so teilt er diese in zwei Teilstrecken $\overline{AT}$ und $\overline{TB}$. Die Längen dieser Teilstrecken stehen in einem Verhältnis zueinander:
$\left|\overrightarrow{AT}\right| = \lambda \cdot \left|\overrightarrow{BT}\right|$
$\left|\overrightarrow{AT}\right| $=$ \lambda \cdot \left|\overrightarrow{BT}\right|$
Die reelle Zahl $\lambda$ wird Teilverhältnis der Strecke $\overline{AB}$ bezüglich des Punktes $T$ genannt.
Der Punkt $T$ auf der Strecke $\overline{AB}$ kann durch einen Parameter $t$ beschrieben werden, welcher von $\lambda$ abhängt:
$\overrightarrow{AT}= t \cdot \overrightarrow{AB}\quad$ bzw. $\quad \overrightarrow{TB}= (1-t) \cdot \overrightarrow{AB}\quad $ mit $\quad t =\dfrac{\lambda}{1+ \lambda}$
$\overrightarrow{AT}$=$ t \cdot \overrightarrow{AB}\quad$ bzw. $\quad \overrightarrow{TB}$=$ (1-t) \cdot \overrightarrow{AB}\quad $ mit $\quad t $=$\dfrac{\lambda}{1+ \lambda}$

Mittelpunkt

Der Mittelpunkt einer Strecke, entspricht gerade dem Punkt, der die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken unterteilt. Hierbei handelt es sich um einen Spezialfall der Teilverhältnisse: Stehen die Strecken $\overline{AT}$ und $\overline{BT}$ in einem Verhältnis von 1:1, so beträgt $\lambda$ gleich 1. Der Punkt $T$, entspricht in diesem Fall gerade dem Mittelpunkt der Strecke.
Du kannst die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ einer Strecke zwischen zwei Punkten $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ mittels folgender Formel bestimmen:
$M\left( \dfrac{a_1 +b_1}{2} \bigg| \dfrac{a_2 +b_2}{2} \bigg| \dfrac{a_3 +b_3}{2} \right)$; $\quad \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\right)$
$M\left( \dfrac{a_1 +b_1}{2} \bigg| \dfrac{a_2 +b_2}{2} \bigg| \dfrac{a_3 +b_3}{2} \right)$; $\quad \overrightarrow{OM} $=$ \frac{1}{2}\cdot \left(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\right)$
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