Teilverhältnisse
Teilverhältnisse
Betrachte die Strecke
zwischen zwei Punkten 
und 
. Liegt ein Punkt 
auf dieser Strecke, so teilt er diese in zwei Teilstrecken 
und 
. Die Längen dieser Teilstrecken stehen in einem Verhältnis zueinander:
wird Teilverhältnis der Strecke bezüglich des Punktes genannt.
Der Punkt auf der Strecke kann durch einen Parameter 
beschrieben werden, welcher von abhängt:
bzw. 
mit 
Schwerpunkt einer Strecke
; 
;
und 
im Verhältnis 
teilt.
teilt.
der Strecke 
.
![\(\begin{array}{rll}
\overrightarrow{OA}=&
\overrightarrow{OP}+\frac{1}{4}\cdot\overrightarrow{PQ}
\\[5pt]
=&\left(\begin{array}{r}
2\\
4\\
-2\\
\end{array}\right)+\frac{1}{4}\cdot\left(\begin{array}{r}
-4\\
2\\
8\\
\end{array}\right)
\\[5pt]
=&\left(\begin{array}{r}
2\\
4\\
-2\\
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}
-1\\
\frac{1}{2}\\
2\\
\end{array}\right)
\\[5pt]
\overrightarrow{OA}=&\left(\begin{array}{r}
1\\
\frac{9}{2}\\
0\\
\end{array}\right)\\&\Rightarrow\;A\left(1\mid \frac{9}{2}\mid 0\right)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4b109c4cd753904bbd321a95686543e9d25bf8737ed554ebb703b0d93ec58542_light.svg)
![\(\begin{array}{rll}
\overrightarrow{OA}=&\overrightarrow{OP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PQ}
\\[5pt]
=&\left(\begin{array}{r}
2\\
4\\
-2\\
\end{array}\right)+\dfrac{2}{3}\left(\begin{array}{r}
-4\\
2\\
8\\
\end{array}\right)
\\[5pt]
=&\left(\begin{array}{r}
2\\
4\\
-2\\
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}
-\frac{8}{3}\\
\frac{4}{3}\\
\frac{16}{3}\\
\end{array}\right)
\\[5pt]
\overrightarrow{OA}=&\left(\begin{array}{r}
-\frac{2}{3}\\
\frac{16}{3}\\
\frac{10}{3}\\
\end{array}\right)\\&\Rightarrow\;A\left(-\frac{2}{3}\mid \frac{16}{3}\mid \frac{10}{3}\right)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b36efdd4421d7922db9023c939aadbde230d855fd88af313c0d090986032f0a9_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}& \\[5pt]
&=&\pmatrix{2\\4\\3}+\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-2\\-6\\2} & \\[5pt]
&=& \pmatrix{2\\4\\3}+ \pmatrix{-1\\-3\\1} & \\[5pt]
&=& \pmatrix{1\\1\\4} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c49ca2769e8ec3004ecd38f669a1d455d411c6451d9bef9bcb446ecd648ba595_light.svg)
Die Koordinaten des Mittelpunkts 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}& \\[5pt]
&=&\pmatrix{4\\5\\-2}+\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-2\\-2\\8} & \\[5pt]
&=& \pmatrix{4\\5\\-2}+ \pmatrix{-1\\-1\\4} & \\[5pt]
&=& \pmatrix{3\\4\\2} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0c1710cd91475c325c8887005ea3d19fec7435455e4bb3b7099bd131a5a264e8_light.svg)
Die Koordinaten des Mittelpunkts 