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Uneigentliches Integral

Spickzettel
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Uneigentliche Integrale sind Integrale, bei denen mindestens eine der beiden Grenzen $\infty$ oder $-\infty$ ist, sie haben also folgende Form:
$ \small \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$,$\qquad \small\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx\qquad$ oder $\small\qquad\lim\limits_{b\to\infty} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$
$ \small \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$,$\qquad \small\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx\qquad$ oder $\small\qquad\lim\limits_{b\to\infty} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$

Berechnung

Um den Wert eines solchen Integrals zu berechnen, berechne das Integral wie gewohnt und behandle dabei die jeweilige Grenze, die gegen $\infty$ oder $-\infty$ läuft wie eine Variable. Vereinfache den Term auf diese Weise so weit wie möglich und bilde zum Schluss den Grenzwert.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{2}\mathrm e^x\mathrm dx&=&\lim\limits_{a\to-\infty} \left[\mathrm e^x\right]_a^2 &\quad \\[5pt] &=& \lim\limits_{a\to-\infty} (\mathrm e^2 - \mathrm e^a)&\quad \\[5pt] &=& \mathrm e^2 - \lim\limits_{a\to-\infty}\mathrm e^a &\quad \\[5pt] &=& \mathrm e^2 -0 &\quad\\[5pt] &=& \mathrm e^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{2}\mathrm e^x\mathrm dx&= \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Der Graph der Funktion $f$ und die $x$-Achse schließen eine ins Unendliche reichende Fläche ein, die entweder nach unten durch $a$ oder nach oben durch $b$ begrenzt ist.
Berechne deren endlichen Flächeninhalt.
b)
$f\left(x\right)=\mathrm e^x$
$a\to-\infty; \;\; b=0$
d)
$f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^{-5}$
$a\to-\infty;\;\; b=-2$
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, sowie die Parallele zur $y$-Achse $x=4$.
Zeige auf, dass der Inhalt der ins Unendliche reichenden Fläche, die vom Graphen von $f$ und der Geraden mit der Gleichung $x=4$ eingeschlossen wird, keinen endlichen Wert annimmt.
3.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2x}, \;\; x\in\mathbb{R}$.
a)
Skizziere das Schaubild von $f$.
b)
Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild von $f$ und den Koordinatenachsen vollständig eingeschlossen wird.
c)
Die waagerechte Asymptote des Schaubilds von $f$ hat die Gleichung $y=-\mathrm e^2$. Gemeinsam mit den Koordinaten und dem Schaubild von $f$ schließt die Asymptote eine Fläche ein, die ins Unendliche reicht. Zeige, dass diese Fläche einen endlichen Flächeninhalt besitzt und berechne diesen.
4.
Das Schaubild von $f$ und die Koordinatenachsen schließen eine ins Unendliche reichende Fläche ein. Berechne jeweils deren endlichen Flächeninhalt.
b)
$f(x)=2\mathrm{e}^{-4x+1}$
d)
$f(x)=\mathrm{e}^{-x+1}$
5.
Gegeben ist die Funktion $f(x)=-\mathrm{e}^{-2x}+1$ mit $x\in\mathbb{R}$
a)
Skizziere das Schaubild von $f$ und gib eine Gleichung der waagerechten Asymptote von $f$ an.
b)
Die $y$-Achse, die waagerechte Asymptote, sowie das Schaubild von $f$ begrenzen eine nach rechts unbeschränkte Fläche. Zeige auf, dass der Inhalt dieser Fläche endlich ist und gib diesen an.
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Lösungen
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1.
a)
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\lim\limits_{b\to\infty}{\displaystyle\int\limits_1^{b}{\dfrac{1}{x^2}}\;\mathrm dx}\right|&\mid \;\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{b\to\infty}{\left[\dfrac{1}{-1}\cdot x^{-1}\right]_1^{b}}\right|&\mid \; x^{-1}=\dfrac{1}{x}\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{b\to\infty}{\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^{b}}\right|&\mid \;x^{-1}=\dfrac{1}{x}\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{b\to\infty}{\left[\left(-\dfrac{1}{b}\right)-\left(-\dfrac{1}{1}\right)\right]}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{b\to\infty}{\left[-\dfrac{1}{b}+1\right]}\right|\\[5pt] &=\left|0+1\right|\\[5pt] A&=1\,FE \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\lim\limits_{b\to\infty}{\displaystyle\int\limits_1^{b}{\dfrac{1}{x^2}}\;\mathrm dx}\right|\\ A&=1\,FE \end{array}$
b)
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\displaystyle\int\limits_a^{0}{\mathrm e^x}\;\mathrm dx}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[\mathrm e^x\right]_a^{0}}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[\left(\mathrm e^0\right)-\left(\mathrm e^{a}\right)\right]}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[1-\mathrm e^{a}\right]}\right|\\[5pt] &=\left|1\right|\\[5pt] A&=1\,FE \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\displaystyle\int\limits_a^{0}{\mathrm e^x}\;\mathrm dx}\right|\\[5pt] &=1\,FE \end{array}$
c)
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\displaystyle\int\limits_a^{-1}{-\dfrac{2}{x^2}}\;\mathrm dx}\right|&\mid \;-\dfrac{2}{x^2}=-2\cdot x^{-2}\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[-2\cdot\dfrac{1}{-1}\cdot x^{-1}\right]_a^{-1}}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[\dfrac{2}{x}\right]_a^{-1}}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[\left(\dfrac{2}{(-1)}\right)-\left(\dfrac{2}{a}\right)\right]}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[-2-\dfrac{2}{a}\right]}\right|\\[5pt] &=\left|-2\right|\\[5pt] &=2\\[5pt] A&=2\,FE \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\displaystyle\int\limits_a^{-1}{-\dfrac{2}{x^2}}\;\mathrm dx}\right|\\&=2\,FE \end{array}$
d)
$\begin{array}{rlllllll} A&=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\displaystyle\int\limits_a^{-2}{\dfrac{1}{2}x^{-5}}\;\mathrm dx}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{-4}\cdot x^{-4}\right]_a^{-2}}\right|&\mid \;x^{-4}=\dfrac{1}{x^4}\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[-\dfrac{1}{8x^4}\right]_a^{-2}}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[\left(-\dfrac{1}{8\cdot\left(-2\right)^4}\right)-\left(-\dfrac{1}{8a^4}\right)\right]}\right|\\[5pt] &=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\left[-\dfrac{1}{128}+\dfrac{1}{8a^4}\right]}\right|\\[5pt] &=\left|-\dfrac{1}{128}\right|\\[5pt] A&=\dfrac{1}{128}\,FE \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} A&=\left|\lim\limits_{a\to-\infty}{\displaystyle\int\limits_a^{-2}{\dfrac{1}{2}x^{-5}}\;\mathrm dx}\right|\\[5pt] &=\dfrac{1}{128}\,FE \end{array}$
2.
Berechne zunächst das Integral, das den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen von f und der Parallel $x = 4$ in Abhängigkeit von $b$ beschreibt:
$\begin{array}{llllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{4}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\;\mathrm dx\right|=\left|\displaystyle\int_{4}^{b}x^{-\frac{1}{2}}\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=\left|\left[\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_4^b\right|=\left|\left[2\cdot\sqrt{x}\right]_4^b\right|\\[5pt] &=\left|2\cdot\sqrt{b}-2\cdot\sqrt{4}\right|=\left|2\cdot\sqrt{b}-4\right| \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A =\left|\displaystyle\int_{4}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\;\mathrm dx\right|\\ =\left|2\cdot\sqrt{b}-4\right| \end{array}$
Bilde nun den Grenzwert von A für $b\rightarrow{ }\infty$ um zu zeigen, dass diese Fläche keinen endlichen Wert besitzt.
Für $b\rightarrow{ }\infty$ strebt der Flächeninhalt $A=\left|2\cdot\sqrt{b}-4\right|$ gegen unendlich. Es existiert somit kein endlicher Flächeninhalt.
3.
a)
Punkte im Schaubild: $(0| -\mathrm{e}^2)$, $(1 | 0)$
b)
1. Schritt: Bestimmung der Integrationsgrenzen
Die Fläche wird durch die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen begrenzt. Nach links ist dies die Grenze $x=0$.
Setze $f(x)=0$, um die Schnittstelle mit der $x$-Achse zu berechnen.
$\begin{array}{rllllllll} f(x)&=-\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2x}=0&\mid\;-\mathrm e^{2x}\\[5pt] -\mathrm{e}^2&=-\mathrm{e}^{2x}&\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] \mathrm{e}^2&=\mathrm{e}^{2x}&\mid\ln(\;)\\[5pt] 2&=2x\;\Rightarrow{ }x=1 \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} f(x)&=-\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2x}=0\\&x=1 \end{array}$
2. Schritt: Bestimmung des Flächeninhalts
$\begin{array}{rllllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2x}\right)\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=-\left[-\mathrm{e}^2x+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1\\[5pt] &=-(-\mathrm{e}^2+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{0})=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^2+\dfrac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(-\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2x}\right)\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^2+\dfrac{1}{2} \end{array}$
Der Flächeninhalt beträgt somit $A=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^2+\dfrac{1}{2}\approx4,2\,$FE.
c)
Der Flächeninhalt der ins Unendliche reichenden Fläche ergibt sich aus der Differenz der Geraden und der Funktion $f$ (obere Funktionen minus untere Funktionen).
$\begin{array}{rllllllll} A_{\infty}&=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}((-\mathrm{e}^2+\mathrm{e}^{2x})-(-\mathrm{e}^2))\;\mathrm dx\,\right| & \text{mit}\;a<0\\ &=\left|\left[\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right]_a^0\right|\\[5pt] &=\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2a}\right| \end{array}$
$\begin{array}{lllllllll} A_{\infty} =\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2a}\right| \end{array}$
Für $a\rightarrow{ }-\infty$ strebt $\left|\dfrac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2a}\right|\rightarrow{ }\dfrac{1}{2}$, da $\mathrm{e}^{2a}$ für $a\rightarrow{ }-\infty$ gegen $0$ geht.
Der Grenzwert der Fläche ist somit $\dfrac{1}{2}$. Die ins Unendliche reichende Fläche hat den Flächeninhalt $A_{\infty}=\dfrac{1}{2}$.
4.
Alle Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form $f(x)=e^-{ax}$ mit {$a>0$} hat, haben die $y$-Achse als waagerechte Asymptote, denn für $x\to\infty$ geht $f(x)\to0$.
In allen vier Aufgabenteilen handelt es sich folglich um Flächen, die nach rechts ins Unendliche reichen. Nach links werden sie jeweils durch die y-Achse, also durch $x=0$ begrenzt.
a)
$\begin{array}{rllllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{b}\mathrm{e}^{-2x}\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right]_0^b\right|=\left|-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}+\dfrac{1}{2}\right| \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{b}\mathrm{e}^{-2x}\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=\left|-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}+\dfrac{1}{2}\right| \end{array}$
Für $b\rightarrow{ }\infty$ geht
$A=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}+\dfrac{1}{2}$ gegen $\dfrac{1}{2}$.
Es ist damit $\mathop {\lim }\limits_{b \to \infty }A=\dfrac{1}{2}$.
Der Flächeninhalt nimmt den
endlichen Wert A=$\dfrac{1}{2}$FE an.
b)
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}2\mathrm{e}^{-4x+1}\\[5pt] &=\left[2\cdot(-\dfrac{1}{4})\mathrm{e}^{-4x+1}\right]_0^b=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-4b+1}-\left(-\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}^{1}\right)\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-4b+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}^{1} \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}2\mathrm{e}^{-4x+1}\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-4b+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}^{1} \end{array}$
Für $b\rightarrow{ }\infty$
geht $A=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-4b+1}+\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}^{1}$
gegen $\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}$.
Es ist damit $\mathop {\lim }\limits_{b \to \infty }A=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}$
Der Flächeninhalt nimmt den
endlichen Wert $\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm{e}$ FE an.
c)
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}3\mathrm{e}^{-3x+2}\;\mathrm dx\\[5pt] &=\left[3\cdot(-\dfrac{1}{3})\mathrm{e}^{-3x+2}\right]_0^b=-\mathrm{e}^{-3b+2}-\left(-\mathrm{e}^{2}\right)\\[5pt] &=-\mathrm{e}^{-3b+2}+\mathrm{e}^2 \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}3\mathrm{e}^{-3x+2}\;\mathrm dx\\[5pt] &=-\mathrm{e}^{-3b+2}+\mathrm{e}^2 \end{array}$
Für $b\rightarrow{ }\infty$ geht $A=-\mathrm{e}^{-3b+2}+\mathrm{e}^2$ gegen $\mathrm{e}^2$.
Es ist damit $\mathop {\lim }\limits_{b \to \infty }A=\mathrm{e}^2$.
Der Flächeninhalt nimmt den
endlichen Wert $\mathrm{e}^2$ FE an.
d)
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}\mathrm{e}^{-x+1}\;\mathrm dx\\[5pt] &=\left[-\mathrm{e}^{-(x+1}\right]_0^b\\[5pt] &=-\mathrm{e}^{-b+1}+\mathrm{e}^{1} \end{array}$
Für $b\rightarrow{ }\infty$ geht $A=-\mathrm{e}^{-b+1}+\mathrm{e}^{1}$ gegen $\mathrm{e}$.
Es ist damit $\mathop {\lim }\limits_{b \to \infty }A=\mathrm{e}.$
Der Flächeninhalt nimmt den
endlichen Wert $\mathrm{e}$ FE an.
5.
a)
Schaubild von f:
Waagerechte Asymptote des Schaubildes von $f$:
Die waagerechte Asymptote des Schaubildes von $f$ ist
$y=1$, da $-\mathrm{e}^{-2x}\rightarrow{ }0$ für $x\rightarrow{ }\infty$
und daher $f(x)=-\mathrm{e}^{-2x}+1\rightarrow{ }1$
für $x\rightarrow{ }\infty$ geht.
b)
Die Schnittfläche der Asymptoten und des Schaubildes von $f$ reicht nach rechts ins Unendliche.
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}(1-f(x))\;\mathrm dx\\[5pt] &=\displaystyle\int_{0}^{b}\left(1-\left(-\mathrm{e}^{-2x}+1\right)\right)\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0}^{b}\mathrm{e}^{-2x}\;\mathrm dx\\[5pt] &=\left[-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right]_0^b\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}-\left(-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{0}\right)=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}+\dfrac{1}{2} \end{array}$
$\begin{array}{rllllllll} A&=\displaystyle\int_{0}^{b}(1-f(x))\;\mathrm dx\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}+\dfrac{1}{2} \end{array}$
Für den Inhalt der nach rechts begrenzten Fläche gilt:
$A=\lim \limits_{a \to \infty } \left(-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2b}+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$ FE
Damit hat die beschriebene Fläche
den endlichen Inhalt von $\dfrac{1}{2}$ FE.
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