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Uneigentliches Integral

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Uneigentliche Integrale sind Integrale, bei denen mindestens eine der beiden Grenzen $\infty$ oder $-\infty$ ist, sie haben also folgende Form:
$ \small \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$,$\qquad \small\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx\qquad$ oder $\small\qquad\lim\limits_{b\to\infty} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$
$ \small \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$,$\qquad \small\lim\limits_{b\to\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx\qquad$ oder $\small\qquad\lim\limits_{b\to\infty} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$

Berechnung

Um den Wert eines solchen Integrals zu berechnen, berechne das Integral wie gewohnt und behandle dabei die jeweilige Grenze, die gegen $\infty$ oder $-\infty$ läuft wie eine Variable. Vereinfache den Term auf diese Weise so weit wie möglich und bilde zum Schluss den Grenzwert.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{2}\mathrm e^x\mathrm dx&=&\lim\limits_{a\to-\infty} \left[\mathrm e^x\right]_a^2 &\quad \\[5pt] &=& \lim\limits_{a\to-\infty} (\mathrm e^2 - \mathrm e^a)&\quad \\[5pt] &=& \mathrm e^2 - \lim\limits_{a\to-\infty}\mathrm e^a &\quad \\[5pt] &=& \mathrm e^2 -0 &\quad\\[5pt] &=& \mathrm e^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{a\to-\infty} \displaystyle\int_{a}^{2}\mathrm e^x\mathrm dx&= \end{array}$
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