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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
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Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
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Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
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Tangente
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Flächeninhalt zwische...
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Allgemeine Fragen zu ...
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Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
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Geraden
Geraden
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Spurpunkte
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Gerade - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Vermischte Aufgaben
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Geordnete Stichprobe ...
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Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
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Normalverteilung
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Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Gebrochenrationale Funktionen

Spickzettel
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Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + … + a_1 \cdot x+a_0}{b_m \cdot x^m + b_{m-1}\cdot x^{m-1} + … + b_1 \cdot x+b_0}$
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + … }{b_m \cdot x^m + … }$
Um solche Funktionen zu zeichnen, gehe wie folgt vor:
  • bestimme die Nullstellen des Zählers und Nenners
  • falls eine Nullstelle $x_0$ des Zählers und Nenners zusammenfällt, gibt es zwei Möglichkeiten
    • $x_0$ ist eine hebbare Definitionslücke, d.h. die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert, aber die Funktion kann an dieser Stelle einfach weitergezeichnet werden
    • der untere Term der Funktion konvergiert bei $x_0$ schneller gegen $0$. Zeichne an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote ein
  • die restlichen Nullstellen des unteren Term sind ebenfalls senkrechte Asymptoten. Zeichne diese ebenso ein
  • zwischen diesen Asymptoten gibt es mindestens ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt. Finde das heraus indem du mithilfe der Quotientenregel die Nullstellen der ersten Ableitung betrachtest und mit der zweiten Ableitung, über Maximum, Minimum oder Sattelpunkt entscheidest
  • finde heraus, wie sich die Funktion links und rechts von den Asymptoten verhält, indem du die Funktion von links und rechts gegen die Asymptote annäherst
  • zeichne die Teilgraphen zwischen den Asymptoten ein
  • um den Bereich vor der ersten und letzten Asymptote zu bestimmen, bestimme die waagrechte Asymptote, indem du die Funktion $f(x)$ gegen $\infty$ bzw. $-\infty$ laufen lässt
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Aufgaben
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1.
Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme die Gleichung der Asymptote.
b)
$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-1$
d)
$f(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}$
2.
Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der Funktion $y=\frac{1}{x}$ bzw. $y=\frac{1}{x^2}$ hervorgeht.
b)
$f(x)=-\dfrac{1}{x-2}+1$
d)
$f(x)=-\dfrac{1}{(x-3)^2}+3$
3.
Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.
b)
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$
Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“)
d)
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$
Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der x-Achse
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Lösungen
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1.
a)
$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+2$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$x-1=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=1$
Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=1$.
Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}\underbrace{\dfrac{1}{\underbrace{x-1}_{\to\infty}}}_{\to0}+2=0+2=2$
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=2$.
b)
$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-1$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$x+2=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=-2$
Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=-2$.
Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}\underbrace{{\dfrac{1}{\underbrace{x+2}_{\to\infty}}}}_{\to0}-1=0-1=-1$
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=-1$.
c)
$f(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}-2$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$(x+1)^2=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x+1=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=-1$
$x=-1$
Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=-1$.
Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x+1)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}-2=0-2=-2$
$\lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x+1)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}-2=-2$
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x+1)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}-2&=& 0-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -2 \end{array}$
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=-2$.
d)
$f(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$(x-2)^2=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x-2=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x=2$
Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle
$(x-2)^2=0$
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Senkrechte Asymptote - Nennernullstelle $\begin{array}[t]{rll} (x-2)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x-2=0 &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x &=& 2 \end{array}$
Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet $x=2$.
Waagerechte Asymptote - Grenzwert bestimmen
$\lim\limits_{x\to\infty}-\underbrace{\dfrac{1}{{\underbrace{(x-2)}_{\to\infty}}^2}}_{\to0}=0$
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet $y=0$.
2.
a)
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x-(-1)}$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubild herleiten
Schaubild von $y=\frac{1}{x}$ um 1 LE in negative $x$-Richtung („nach links“) verschoben.
b)
$f(x)=-\dfrac{1}{x-2}+1$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubild herleiten
Schaubild von $y=\frac{1}{x}$ an der $x$-Achse gespiegelt, um 2 LE in positive $x$-Richtung („nach rechts“) verschoben und anschließend um 1 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“) verschoben.
c)
$f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}-2=\dfrac{1}{(x-(-1))^2}-2$
$f(x)=\dfrac{1}{(x-(-1))^2}-2$
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{(x+1)^2}-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{(x-(-1))^2}-2 \end{array}$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubild herleiten
Schaubild von $y=\frac{1}{x^2}$ um 1 LE in negative $x$-Richtung („nach links“) und um 2 LE in negative $y$-Richtung („nach unten“) verschoben.
d)
$f(x)=-\dfrac{1}{(x-3)^2}+3$
Skizze
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubilder von Funktionen zeichnen: Gebrochenrationale Funktionen
Schaubild herleiten
Schaubild von $y=\frac{1}{x^2}$ an der $x$-Achse gespiegelt, um 3 LE in positive $x$-Richtung („nach rechts“) und anschließend um 3 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“) verschoben.
3.
b)
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$
Verschiebung um 3 LE in negative $x$-Richtung („nach links“) und um 2 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“).
$f_{\text{neu}}(x)=\dfrac{1}{(x+3)^2}+2$
d)
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$
Verschiebung um 2 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der $x$-Achse.
$f_{\text{neu}}(x)=-\left(\dfrac{1}{x+1}+2\right)$
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