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Gebrochenrationale Funktionen

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Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} + … + a_1 \cdot x+a_0}{b_m \cdot x^m + b_{m-1}\cdot x^{m-1} + … + b_1 \cdot x+b_0}$
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + … }{b_m \cdot x^m + … }$
Um solche Funktionen zu zeichnen, gehe wie folgt vor:
  • bestimme die Nullstellen des Zählers und Nenners
  • falls eine Nullstelle $x_0$ des Zählers und Nenners zusammenfällt, gibt es zwei Möglichkeiten
    • $x_0$ ist eine hebbare Definitionslücke, d.h. die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert, aber die Funktion kann an dieser Stelle einfach weitergezeichnet werden
    • der untere Term der Funktion konvergiert bei $x_0$ schneller gegen $0$. Zeichne an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote ein
  • die restlichen Nullstellen des unteren Term sind ebenfalls senkrechte Asymptoten. Zeichne diese ebenso ein
  • zwischen diesen Asymptoten gibt es mindestens ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt. Finde das heraus indem du mithilfe der Quotientenregel die Nullstellen der ersten Ableitung betrachtest und mit der zweiten Ableitung, über Maximum, Minimum oder Sattelpunkt entscheidest
  • finde heraus, wie sich die Funktion links und rechts von den Asymptoten verhält, indem du die Funktion von links und rechts gegen die Asymptote annäherst
  • zeichne die Teilgraphen zwischen den Asymptoten ein
  • um den Bereich vor der ersten und letzten Asymptote zu bestimmen, bestimme die waagrechte Asymptote, indem du die Funktion $f(x)$ gegen $\infty$ bzw. $-\infty$ laufen lässt
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