Analysis 2.1 - Brücke

Die folgende Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Grafik einer Brücke mit Höhe und Bauteilen, beschriftet mit

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)= \frac{1}{20}x^4 -\frac{2}{5}x^2 +1$ beschrieben werden.
Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Zeige rechnerisch, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch ist.

(2 BE)

Bestimme rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.
(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von $f$ hat die x-Koordinate 2.)

(5 BE)

Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet.
Prüfe, ob dieser Punkt auf halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren rechtem Endpunkt liegt.

(3 BE)

Gib die Bedeutung des Terms $\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}$ im Sachzusammenhang an und berechne seinen Wert.

(2 BE)

Berechne die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist.

(5 BE)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $q$ mit $q(x)= 0,8 -a\cdot x^2;$ $a\in \mathbb{R},$ $a\gt 0$ beschrieben werden.

In der Abbildung ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren Bauteils mit $s$ bezeichnet.
Bestimme alle Werte von $a,$ die für diese Länge mindestens 0,1 dm liefern.

(4 BE)

Begründe im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unteren Randlinie beliebig große Werte von $a$ nicht infrage kommen.

(2 BE)

Für die Brücke gilt $a = 1,25 .$ Die drei Bauteile der Brücke werden aus massivem Holz hergestellt; $1 \,\text{dm}^3$ des Holzes hat eine Masse von 800 Gramm. Die Brücke ist 0,4 dm breit.
Ermittle die Masse des mittleren Bauteils.

(7 BE)

Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion $g_l$ und für das rechte Bauteil eine Funktion $g_r$ infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen. Beurteile jede der folgenden Aussagen, ob sie zutreffend ist oder nicht:

$-g_l(x)= g_r(-x)$ für $-2 \leq x \leq -1$

$g_l(x-1)= g_r(-x+1)$ für $-1 \leq x \leq 0$

(4 BE)

Die Funktion $f$ ist eine Funktion der Funktionenschar $h_k$ mit der Gleichung $h_k(x)= \frac{k}{40}x^4 - \frac{10-k}{20}x^2 +1;$ $x,k \in \mathbb{R}.$ Ihre Graphen werden mit $G_k$ bezeichnet.

Weise nach, dass der Graph der Funktion $f$ (aus Aufgabe 1) ein Graph der Schar $G_k$ ist.

(2 BE)

Begründe, dass alle Graphen der Schar $G_k$ einen Punkt gemeinsam haben.

(2 BE)

Ermittle die Anzahl und die Art der relativen Extrema der Graphen $G_k$ für die beiden Fälle $k\gt 10$ und $k\leq 0 .$

(4 BE)

Es gibt einen Wert $k$ mit $0 \lt k \lt 10,$ für den der Graph der Funktionenschar $h_k$ genau zwei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse hat.
Weise nach, dass dieser Wert für $k$ Lösung der Gleichung $(10-k)^2 = 40k$ ist.

(6 BE)

Entscheide, ob folgende Aussage wahr ist, und begründe deine Entscheidung.

Besitzt ein Graph der Schar $G_k$ einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse, so kann man auf Grund seiner Symmetrie zur $y$ -Achse daraus schlussfolgern, dass ein weiterer Schnittpunkt mit der $x$ -Achse existiert.

(2 BE)

(50 BE)

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Lösung 1

Die obere Randlinie wird durch den Graphen der Funktion $f$ dargestellt. Für $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&\frac{1}{20}\cdot (-x)^4 -\frac{2}{5} \cdot (-x)^2 +1 \\[5pt] &=&\frac{1}{20}\cdot x^4 -\frac{2}{5} \cdot x^2 +1\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$

Damit ist die obere Randlinie achsensymmetrisch.

Höhe der Brücke rechnerisch bestimmen
Da die Brücke achsensymmetrisch ist und die äußeren Endpunkte durch die Tiefpunkte des Graphen von $f$ markiert werden, muss der höchste Punkte der Brücke in der Mitte liegen.

Es gilt $f(0)$ $=\frac{1}{20}\cdot 0^4 -\frac{2}{5} \cdot 0^2 +1$ $= 1.$

Also beträgt die Höhe $1\text{ dm}.$

Länge der Brücke rechnerisch bestimmen
Die Länge der Brücke wird durch die Lage der beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ definiert.

Für die erste Ableitung von $f$ gilt:

$\(f$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt ist dies für $x_1 =0$ oder $x^2-4 =0$ erfüllt.

$\begin{array}[t]{rll} x^2 -4 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] x_{2,3} &=& \pm 2 \end{array}$

Aufgrund der Aufgabenbeschreibung und der Symmetrie des Graphen von $f$ müssen die Tiefpunkte bei $x_{2,3}=\pm2$ liegen.

Die Brücke ist also $4\,\text{dm}$ lang.

Die Höhe des höchsten Punkts der oberen Randlinie beträgt $f(0) =1\,\text{[dm]},$ die Höhe des rechten Endpunkts beträgt:

$f(2) = \frac{1}{20}\cdot 2^4 -\frac{2}{5}\cdot 2^2 +1 =\frac{1}{5} \,\text{[dm]}$

Die halbe Höhe zwischen diesen beiden Punkten ergibt sich wie folgt:

$\dfrac{f(0)+f(2)}{2}=\dfrac{1+\frac{1}{5}}{2}=\dfrac{3}{5}\,\text{[dm]}$

Der Übergang vom mittleren zum rechten Bauteil befindet sich auf einer Höhe von:

$f(1)=\frac{1}{20}\cdot 1^4-\frac{2}{5}\cdot 1^2+1=\frac{13}{20}\,\text{[dm]}$

Da $\frac{3}{5}\neq\frac{13}{20}$ , liegt der Übergangspunkt nicht auf halber Höhe zwischen dem Endpunkt und dem höchsten Punkt der Brücke.

Der Term gibt die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[1;2]$ und damit die mittlere Steigung der oberen Randlinie des rechten Bauteils an.

$\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\dfrac{\frac{1}{5}-\frac{13}{20}}{1}$ $=-\dfrac{9}{20}=-0,45$

Die mittlere Steigung beträgt $-0,45$ .

Gesucht ist die Stelle der oberen Randlinie mit der steilsten Steigung, also eine Extremstelle von $\(f$

Für die erste Ableitung von $\(f$ gilt:

$\(f$

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen von $\(f$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Aufgrund der Symmetrie des Graphen von $f$ muss der Betrag der Steigung an beiden Stellen gleich groß sein, sodass es reicht, eine Stelle zu betrachten:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 32^{\circ}$

Der größte Steigungswinkel der Brücke, der beim Überfahren zu überwinden ist, ist ca. $32^{\circ}$ groß.

Die Bodenfläche $s$ liegt zwischen $x=-1$ und der negativen Nullstelle von $q.$ Damit $s$ mindestens $0,1\text{ dm}$ lang ist, muss die negative Nullstelle von $q$ $-0,9$ oder größer sein. Also darf der Graph von $q$ an der Stelle $x=-0,9$ nicht oberhalb der $x$ -Achse verlaufen. Es muss also gelten:

$a\geq \frac{80}{81}$

Vollständige Lösung anzeigen

Alle Werte $a\geq\frac{80}{81}$ liefern für die Länge $s\geq0,1\text{ dm}.$

Der Wert $a$ streckt den Graphen von $q$ in $y$ -Richtung und macht ihn somit auch schmaler. Er bestimmt also die Breite der Durchfahrt unter der Brücke. Je größer $a$ wird, desto schmaler wird die Durchfahrt. Ab einem bestimmten Wert von $a$ können also keine Züge mehr durch die Durchfahrt fahren, da diese zu schmal wird. Daher kommen keine beliebig großen Werte für $a$ infrage.

Für die Masse $m$ des Bauteils gilt:

$\begin{array}[t]{rll} m &=& V\cdot 800\,\frac{\text{g }}{\text{dm}^3} \\[5pt] &=& A\cdot 0,4\,\text{dm}\cdot 800\,\frac{\text{g }}{\text{dm}^3} \end{array}$

Dabei ist $A$ die Größe der Querschnittsfläche des Bauteils und $V$ das Volumen.

1. Begrenzung der Querschnittsfläche bestimmen
Für die Begrenzungen der Querschnittfläche des mittleren Bauteils werden die Nullstellen von $q$ benötigt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x_{1,2}= \pm\frac{4}{5}$

2. Inhalt der Querschnittsfläche berechnen
Aufgrund der Symmetrie ergibt sich für die Querschnittsfläche des mittleren Bauteils:

$A=0,9 \,[\text{dm}^2]$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

3. Volumen und Masse berechnen

Für das Volumen folgt:

$V=A\cdot0,4\text{ dm}=0,9\text{ dm}^2\cdot0,4\text{ dm}$ $=0,36\text{ dm}^3$

Für die Masse folgt:

$m=0,36\text{ dm}^3\cdot 800\frac{\text{g}}{\text{dm}^3}$ $=288\text{ g}$

Die Masse des mittleren Bauteils beträgt $288\text{ g}.$

Lösung 2

Diejenigen Teile der Graphen von $g_l$ und $g_r,$ die im Längsschnitt die oberen Randlinien des linken bzw. rechten Bauteils darstellen, liegen nicht punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Damit ist die Aussage falsch.
Diejenigen Teile der Graphen von $g_l$ und $g_r,$ die im Längsschnitt die oberen Randlinien des linken bzw. rechten Bauteils darstellen, liegen achsensymmetrisch bezüglich der $y$ -Achse. Also gilt $g_l(-1-x) = g_r(1+x)$ für $0\leq x\leq 1$ und damit $g_l(-1+ x) = g_r(1-x)$ für $1\leq x\leq 0.$ Folglich ist die Aussage richtig.

Lösung 3

Damit der Graph der Funktion $f$ ein Graph der Schar $G_k$ ist, muss gelten:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\frac{1}{20}x^4-\frac{2}{5}x^2+1$ $= \frac{k}{40}x^4-\frac{10-k}{20}x^2+1$

Über einen Koeffizientenvergleich ergibt sich, dass die Gleichung für $k=2$ erfüllt ist. Damit ist der Graph der Funktion $f$ ein Graph der Schar $G_k.$

Es gilt $h_k(0) = 1.$ Die Koordinaten des Punkts $(0\mid 1)$ sind also unabhängig von dem Parameter $k,$ sodass diesen Punkt alle Graphen $G_k$ gemeinsam haben.

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} &h_k$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Mit dem Satz vom Nullprodukt ist diese Gleichung für $x_1=0$ oder $\frac{k}{10}x^2-\frac{10-k}{10} =0$ erfüllt.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$x_{2,3}=\sqrt{\frac{10-k}{k}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k\gt10$ und $k\leq0$ sind $x_2$ und $x_3$ nicht definiert, da in diesem Fall entweder der Wert unter der Wurzel negativ wird oder der Nenner des Bruchs Null ist. Für diese Werte von $k$ existiert also nur ein Extremum bei $x_1=0.$

$\(h_k$

Für $k\gt10$ ist $\(h_k$ Die Graphen $G_k$ haben in diesem Fall also genau einen Extrempunkt, bei dem es sich um einen Tiefpunkt handelt.

Für $k\leq 0$ ist $\(h_k$ Die Graphen $G_k$ haben in diesem Fall also genau einen Extrempunkt, bei dem es sich um einen Hochpunkt handelt.

Für die Schnittstellen mit der $x$ -Achse muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} h_k(x)&=& 0 \\[5pt] \frac{k}{40}x^4-\frac{10-k}{20}x^2+1&=&0 \end{array}$

Es wird $z=x^2$ substituiert, sodass die $pq$ -Formel angewendet werden kann:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$z_{1,2}= \frac{10-k}{k}\pm\sqrt{\left(-\frac{10-k}{k}\right)^2-\frac{40}{k}}$

Da $z=x^2$ ist und genau zwei Lösungen für $x$ gesucht sind, muss es genau eine positive Lösung für $z$ geben. Dies ist der Fall, wenn $z_1=z_2$ ist, also wenn die Wurzel gleich Null ist:

$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\left(-\frac{10-k}{k}\right)^2-\frac{40}{k}}&=&0 \\[5pt] \left(-\frac{10-k}{k}\right)^2-\frac{40}{k}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{40}{k} \\[5pt] \frac{(10-k)^2}{k^2}&=&\frac{40}{k}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot k^2 \\[5pt] (10-k)^2&=& 40k \end{array}$

Der gesuchte Wert für $k$ entspricht der Lösung der Gleichung $(10-k)^2= 40k.$

Die Aussage ist wahr.
Wegen der Achsensymmetrie zur $y$ -Achse existiert stets für alle $x \neq 0$ zu einem Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ein symmetrischer Punkt. Zudem ist $h_k(0)\neq 0,$ sodass an der Stelle $x=0$ niemals ein Schnittpunkt mit der $x$ -Achse liegt.

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