Analysis 2.2 – Blutzucker

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=(x-2)^2 \cdot \mathrm{e}^{x+a} ; a \in \mathbb{R}.$
In der Abbildung 1 ist der Graph der ersten Ableitungsfunktion $\(f_0$ von $f_0$ dargestellt.

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem Verlauf, der positive und negative Werte zeigt.

Abb. 1

Gib näherungsweise mithilfe der Abbildung 1

die drei Stellen an, an denen der Graph der Funktion $f_0$ den Anstieg $1$ hat.
eine Wendestelle von $f_0$ an.

(2 BE)

Berechne den Wert des Integrals $\(\displaystyle\int_0^2 f_0$

(2 BE)

Gib mithilfe der Abbildung 1 näherungsweise Werte für $c$ und $d$ mit $c \neq d$ an, sodass $\(\displaystyle\int_c^d f_0$ gilt. Begründe deine Angaben.

(3 BE)

Zeige, dass sich die Graphen der Funktionen $\(f_0$ und $f_0$ an der Stelle $x=2$ schneiden.

(2 BE)

Weise nach, dass für die erste Ableitungsfunktion $\(f_a$ gilt: $\(f_a$

(3 BE)

Begründe unter Zuhilfenahme der Teilaufgabe e und der Abbildung 1, jedoch ohne Rechnung, dass folgende Aussage wahr ist:

Alle Graphen von $f_a$ haben genau einen Tiefpunkt $T\left(2 \mid f_a(2)\right)$ und genau einen Hochpunkt $H\left(0 \mid f_a(0)\right).$

(5 BE)

Die Konzentration von Glukose im Blut wird als Blutzucker bezeichnet. Bei einem Patienten werden innerhalb der ersten vier Stunden nach der Nahrungsaufnahme die Blutzuckerwerte kontrolliert.
Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(t)=40 t^2 \cdot \text{e}^{1-t}+90$ beschreibt für $0 \leq t \leq 4$ die zeitliche Entwicklung der Blutzuckerwerte. Dabei ist $t$ die seit der Nahrungsaufnahme vergangene Zeit in Stunden und $h(t)$ der Blutzuckerwert in Milligramm pro Deziliter.

Bestimme den maximalen Blutzuckerwert des Patienten.

Hinweis: Ohne Nachweis kann die zweite Ableitungsfunktion $\(h$ von $h$ mit $\(h$ verwendet werden.

(7 BE)

Berechne den Wert des Terms $\frac{1}{2} \cdot\left(h(4)-h(2)\right)$ und interpretiere diesen im Sachzusammenhang.

(3 BE)

In der Abbildung 2 ist der Graph der zweiten Ableitungsfunktion von $h$ dargestellt.
Gib unter Zuhilfenahme der Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt der maximalen Zuwachsrate des Blutzuckerwertes an.
Begründe deine Angabe.

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftungen y und t, zeigt eine Kurve mit einem Minimum.

Abb. 2

(3 BE)

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$\begin{array}[t]{rlll} x_1&\approx&-2,3 \\[5pt] x_2&\approx&-0,8 \\[5pt] x_3&\approx&2,1 \end{array}$

$x\approx1,4$

$\(\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2}f_0$

Es gilt $\(\displaystyle\int_{c}^{d}f_0$ d.h. es sind Werte für $c$ und $d$ gesucht, sodass $\(f_0$ gilt. Mit Hilfe von Abbildung 1 folgt somit z.B. $c=0$ und $d=2.$

$\begin{array}[t]{rlll} f_0(2)&=&(2-2)^2 \cdot \mathrm{e}^{2} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$\(\begin{array}[t]{rlll} f_0$

Da $\(f_0(2)=f_0$ gilt, schneiden sich die beiden Graphen an der Stelle $x=2.$

$\(\begin{array}[t]{rlll} f_a$

Es gilt stets $\mathrm e^a\gt0,$ das heißt, da nach Teilaufgabe e die Gleichung $\(f_a$ gilt, besitzen alle Funktionen der Schar $f_a$ das gleiche Monotonieverhalten. Somit sind die Extremstellen von $f_a$ durch die Nullstellen von $\(f_a$ gegeben, welche widerum durch die Nullstellen von $f_0$ gegeben sind, da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist.
Da der Graph von $\(f_0$ bei $x=0$ einen Vorzeichenwechsel von Plus zu Minus hat, ist somit $T\left(2 \mid f_a(2)\right)$ der einzige Tiefpunkt aller Graphen von $f_a.$
Da der Graph von $\(f_0$ bei $x=2$ einen Vorzeichenwechsel von Mius zu Plus hat, ist somit $H\left(0 \mid f_a(0)\right)$ der einzige Hochpunkt aller Graphen von $f_a.$

Für die erste Ableitung von $h$ folgt mit der Produktregel:

$\(\begin{array}[t]{rlll} h$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen $\(h$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} h$

Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts direkt $t_1=0$ und $t_2=2.$ Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} h$

Somit besizt $h$ bei $t_2=2$ einen Hochpunkt. Einsetzen in $h(t)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} h(2)&=&40\cdot2^2\cdot\mathrm e^{1-2}+90 \\[5pt] &=&160\mathrm e^{-1}+90 \\[5pt] &\approx&148,9 \end{array}$

Der maximale Blutzuckerwert des Patienten beträgt somit $148,9$ Milligramm pro Deziliter.

Wert berechnen

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{1}{2} \cdot(h(4)-h(2)) \approx -13,5$

Wert im Sachzusammenhang interpretieren

In den letzten zwei Stunden nimmt der Blutzuckerwert des Patienten im Durchschnitt mit einer Rate von ca. $13,5$ Milligramm pro Deziliter pro Stunde ab.

Eine Nullstelle der zweiten Ableitungsfunktion mit einem Vorzeichenwechsel von Plus zu Minus entspricht einer Hochstelle der ersten Ableitungsfunktion.
Somit nimmt der Blutzuckerwert des Patienten nach ca. $0,6$ Stunden am stärksten zu.

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