Analytische Geometrie 3.1 - Doppelpyramide

Gegeben sind die Punkte $A(5 \mid -5 \mid 12),$ $B(5 \mid 5 \mid 12)$ und $C(-5 \mid 5 \mid 12).$

Zeige, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.

(2 BE)

Begründe, dass $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ dieses Quadrats an.

(3 BE)

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden $ABCDS$ und $ABCDT$ sind gleich hoch.
Der Punkt $T$ liegt im Koordinatenursprung, der Punkt $S$ ebenfalls auf der $z$ -Achse.
Die Seitenfläche $BCT$ liegt in einer Ebene $E.$

Diagramm eines geometrischen Körpers mit Punkten A, B, C, D, S und T sowie Achsen x, y und z.

Die Doppelpyramide hat 12 Kanten. Jede Kante liegt auf einer Geraden, die durch zwei Eckpunkte der Doppelpyramide festgelegt ist. Die Kante $\overline{BT}$ der Doppelpyramide liegt auf der Geraden $g_1.$
Gib jeweils zwei Eckpunkte an, durch die eine Gerade $g_2$ und eine Gerade $g_3$ verlaufen, für die gilt:

$g_1$ und $g_2$ sind windschief
$g_1$ und $g_3$ sind echt parallel

(2 BE)

Ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks $BCT.$

(3 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $12y-5z=0$ )

(3 BE)

Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche $BCT$ mit der Fläche $ABCD$ einschließt.

(3 BE)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k : ky -5z = 5k-60$ mit $k \in \mathbb{R}.$

Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante $\overline{BC}$ auf dieser Geraden liegt.

(2 BE)

Ermittle diejenigen Werte von $k,$ für die $E_k$ mit der Seitenfläche $ADS$ mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

(4 BE)

Die Seitenfläche $ADT$ liegt in der Ebene $F.$ Gib einen Normalenvektor von $F$ an und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von $A$ und $D$ zu verwenden.
Bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den $E_k$ senkrecht zu $F$ steht.

(4 BE)

Die Doppelpyramide wird so um die $x$ -Achse gedreht, dass die bisher mit $BCT$ bezeichnete Seitenfläche in der $xy$ -Ebene liegt und der bisher mit $S$ bezeichnete Punkt eine positive $y$ -Koordinate hat.
Bestimme diese $y$ -Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.

(4 BE)

Die Ebene $H$ mit $H: z = 4$ teilt die Doppelpyramide in zwei Teilkörper.
Ermittle die Volumina der beiden Teilkörper.

(5 BE)

Die Doppelpyramide wird durch eine Ebene $G$ geschnitten. Die Schnittfläche der Ebene $G$ mit der Doppelpyramide ist ein Drachenviereck. Der Schnittpunkt der Diagonalen dieses Drachenvierecks ist der Punkt $M(4 \mid 4 \mid 12).$ Ein Eckpunkt dieses Drachenvierecks ist der Punkt $T.$
Ermittle die Koordinaten der anderen drei Eckpunkte des Drachenvierecks.

(5 BE)

(40 BE)

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$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\pmatrix{5\\5\\12}-\pmatrix{5\\-5\\12}\right|$ $=\left|\pmatrix{0\\10\\0}\right| = 10$

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\pmatrix{-5\\5\\12}-\pmatrix{5\\5\\12}\right|$ $=\left|\pmatrix{-10\\0\\0}\right|=10$

Wegen $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$ ist das Dreieck $ABC$ gleichschenklig.

Ergänzung zu einem Quadrat begründen
In einem Quadrat müssen alle vier Seiten gleich lang sein und benachbarte Seiten einen rechten Winkel bilden.
Die beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ sind gleich lang.
Überprüfen auf einen rechten Winkel mit dem Skalarprodukt:

$\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{BC}$ $=\pmatrix{0\\10\\0}\circ\pmatrix{-10\\0\\0}$ $= 0\cdot (-10) + 10\cdot 0 + 0\cdot 0$ $=0$

Die beiden Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ schließen also einen rechten Winkel ein und sind gleich lang. Daher kann das Dreieck $ABC$ durch einen vierten Punkt $D$ zu einem Quadrat ergänzt werden.

Koordinaten des vierten Eckpunkts bestimmen
Da gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen, gilt $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}.$

Diagramm eines Rechtecks mit Punkten A, B, C, D und einem rechten Winkel.

Skizze nicht maßstäblich

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=& \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{CD}\\[5pt] &=& \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{BA}\\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\ 5 \\12} + \pmatrix{0\\-10\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\ -5 \\12} \\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten des vierten Eckpunkts des Quadrats lauten $D(-5\mid -5\mid 12).$

Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Die Gerade $g_2$ ist windschief zu $g_1,$ wenn diese zum Beispiel durch die Punkte $A$ und $D$ oder durch $D$ und $C$ verläuft.

Zwei Geraden sind echt parallel, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind. Die Gerade $g_1$ ist echt parallel zur Geraden $g_3,$ die durch die Punkte $D$ und $S$ verläuft.

Für die Grundseite $\overline{BC}$ des Dreiecks gilt:

$\left| \overrightarrow{BC}\right| = \left|\pmatrix{-10\\0\\0}\right| = 10$

Zudem gilt:

$\overrightarrow{TB} = \overrightarrow{OB} = \pmatrix{5\\5\\12}$

$\overrightarrow{TC} = \overrightarrow{OC} = \pmatrix{-5\\5\\12}$

Da die Beträge der Einträge der Vektoren gleich sind, sind $\overline{TB}$ und $\overline{TC}$ gleich lang, sodass es sich bei $BCT$ um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.

Die Höhe zur Grundseite $\overline{BC}$ verläuft daher durch den Mittelpunkt $M$ von $\overline{BC}:$

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)$ $= \frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{5\\5\\12}+ \pmatrix{-5\\5\\12} \right)=\pmatrix{0\\5\\12}$

Die Höhe des Dreiecks ergibt sich damit zu:

$\left|\overrightarrow{TM}\right| = \left|\pmatrix{0\\5\\12}-\pmatrix{0\\0\\0}\right|$ $=\sqrt{0^2 +5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks $BCT$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\Delta BCT}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{TM}\right| \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 13 = 65\text{ [FE]} \end{array}$

Ein Normalenvektor von $E$ lässt sich mit dem Kreuzprodukt bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{TB}\times \overrightarrow{TC} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\5\\12} \times \pmatrix{-5\\5\\12} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\cdot 12 - 12\cdot 5 \\ 12\cdot (-5) -5\cdot 12 \\5\cdot 5 -5\cdot (-5)} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\ -120 \\50} \\[5pt] &=& -10\cdot \pmatrix{0 \\ 12 \\ -5} \\[5pt] \end{array}$

Es wird der gekürzte Vektor $\pmatrix{0 \\ 12 \\ -5}$ verwendet. Einsetzen mit den Koordinaten von $T$ in die allgemeine Ebenengleichung liefert:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$d=0$

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet:

$E:\, 12y-5z = 0$

Grafik eines geometrischen Körpers mit verschiedenen Punkten und Linien in einem dreidimensionalen Raum.

Die Winkelgröße $\alpha$ kann mit Hilfe des eingezeichneten Dreiecks berechnet werden.
Da $T$ im Koordinatenursprung liegt und alle Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ die $z$ -Koordinate $12$ haben, ist $h=12 \,\text{LE}.$
Aus Teilaufgabe d) ist $h_{BCT} = 13\,\text{LE}$ bekannt. Daher folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{h}{h_{BCT}} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{12 \,\text{LE}}{13\,\text{LE}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 67,4^{\circ} \end{array}$

Die Seitenfläche $BCT$ schließt mit der Fläche $ABCD$ einen Winkel der ungefähren Größe von $67,4^\circ$ ein.

Die Kante $\overline{BC}$ liegt auf dieser Geraden, wenn beide Punkte $B$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_k$ liegen. Einsetzen der Koordinaten von $B$ in die Ebenengleichung von $E_k$ liefert:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$... -60 = -60$

Für die Koordinaten von $C$ folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$... -60 = 60$

Unabhängig von $k$ liegen die Punkte $B$ und $C$ also in der Ebene $E_k.$ Damit liegt die Kante $\overline{BC}$ ebenfalls in jeder der Ebenen $E_k$ und somit auf der gemeinsamen Gerade aller Ebenen $E_k.$

Aus Teilaufgabe g) ist bekannt, dass die Kante $\overline{BC}$ in jedem Fall in der Ebene $E_k$ liegt.
Damit $E_k$ die Seitenfläche $ADS$ schneidet, muss sie die $z$ -Achse daher zwischen der Fläche $ABCD$ und dem Punkt $S$ schneiden.
Für Punkte auf der $z$ -Achse gilt $x=0$ und $y=0.$ Einsetzen in die Ebenengleichung:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$z = 12-k$

Der Schnittpunkt von $E_k$ mit der $z$ -Achse hat die Koordinaten $S_k\left(0\mid0\mid12-k\right).$

Damit der Schnittpunkt im Punkt $S$ liegt, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} z &=& 24 \\[5pt] 12-k &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] -k &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] k &=& -12 \end{array}$

Für $k=-12$ schneidet die Ebene $E_k$ die $z$ -Achse also im Punkt $S.$
Für die Fläche $ABCD$ gilt $z=12:$

$\begin{array}[t]{rll} z &=& 12 \\[5pt] 12-k &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] -k &=& 0 \\[5pt] k &=& 0 \end{array}$

Für $k=0$ liegt der Schnittpunkt von $E_k$ mit der $z$ -Achse also in der Fläche $ABCD.$
Insgesamt besitzt die Ebene $E_k$ für $-12\leq k \leq 0$ mindestens einen gemeinsamen Punkt mit der Seitenfläche $ADS.$

Normalenvektor bestimmen und begründen
Die Seitenfläche $ADT$ entsteht durch Spiegelung der Seitenfläche $BCT$ an der $xz$ -Ebene. Dementsprechend entsteht auch $F$ durch Spiegelung von $E$ an der $xz$ -Ebene.
Ein Normalenvektor von $E$ ist $\pmatrix{0\\12\\-5}.$ Durch den Faktor $-1$ vor der $y$ -Koordinate entsteht eine Spiegelung an der $xz$ -Ebene. Also ist ein Normalenvektor von $F:$

$\overrightarrow{n_F}=\pmatrix{ 0\\-12 \\-5 }$

Parameterwert bestimmen
Die zwei Ebenen $F$ und $E_k$ stehen senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren gleich null ist.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$k = \frac{25}{12}$

Für $k=\frac{25}{12}$ steht die Ebene $E_k$ senkrecht zur Ebene $F.$

Diagramm mit geometrischen Linien, Punkten und Winkeln, dargestellt in einem Koordinatensystem.

$\alpha$ entspricht dem Winkel aus Teilaufgabe f).
Es gilt:

$\(\cos \beta =\frac{y_{S$

Für $\beta$ gilt aufgrund der Winkelsumme im Dreieck:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\beta \approx 22,6^{\circ}$

Einsetzen in die erste Gleichung:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( y_{S$

Die neue $y$ -Koordinate des bisher mit $S$ bezeichneten Punkts, lautet $\(y_{S$

Die Ebene $H$ teilt die Doppelpyramide auf der Höhe von $z=4$ . Bei der Schnittfläche handelt es sich um das Quadrat $\(A$
$\(A$ $\(B$ $\(C$ und $\(D$ sind die Schnittpunkte von $H$ mit den Seitenkanten der Pyramide $ABCDT.$
Die Doppelpyramide wird also in folgende Teilkörper geteilt:

die Pyramide $\(A$
ein Körper, der aus der Pyramide $ABCDS$ und dem Pyramidenstumpf $\(ABCDA$ zusammengesetzt ist

1. Schritt: Koordinaten der Schnittpunkte bestimmen
Die Seitenkante $\overline{AT}$ liegt auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} g_{AT}: \overrightarrow{x}=& \overrightarrow{OT}+ t\cdot \overrightarrow{TA}, t\in \mathbb{R} \\[5pt] =& \pmatrix{0\\0\\0} + t\cdot \pmatrix{5\\-5\\12} , t\in \mathbb{R}\\[5pt] =& t\cdot \pmatrix{5\\-5\\12} , t\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$

Für den Schnittpunkt mit $H$ muss $z=4$ gelten, also $12t = 4.$ Daraus folgt $t=\frac{1}{3}.$

$\(\overrightarrow{OA$ $=\pmatrix{\frac{5}{3}\\ -\frac{5}{3}\\ 4}$

Da $H$ und die Fläche $ABCD$ parallel zur $xy$ -Ebene liegen, können die Koordinaten der übrigen Punkte analog bestimmt werden. Es genügt allerdings $\(B$ um die Kantenlänge des Quadrats zu bestimmen:

$\(B$

2. Schritt: Seitenlänge der Schnittfläche berechnen
$\(\left|\overrightarrow{A$

3. Schritt: Volumen der Pyramide A'B'C'D'T berechnen
Da die Spitze der Pyramide $\(A$ im Koordinatenursprung und die Grundfläche in der Ebene $H$ liegt, beträgt ihre Höhe $\(h_{A$

$\(\begin{array}[t]{rll} V_{A$

4. Schritt: Volumen der Pyramide ABCDS berechnen
Die Höhe der Pyramide entspricht der Höhe der Pyramide $ABCDT$ und beträgt daher $h = 12.$

$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDS}&=&\frac{1}{3}\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|^2\cdot h\\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot 10^2\cdot 12\\[5pt] &=& 400\text{ [VE]} \end{array}$

5. Schritt: Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen
Da $V_{ABCDT} = V_{ABCDS} = 400\text{ VE}$ gilt, folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDA$

6. Schritt: Volumina der Teilkörper bestimmen
Volumina der beiden Teilkörper berechnen:

$\(\begin{array}[t]{rll} V_1 &=& V_{A$

Diagramm eines geometrischen Modells mit Punkten und Linien in 3D-Koordinaten.

Skizze nicht maßstäblich

1. Schritt: Koordinaten von V bestimmen
Da $M$ auf der Diagonalen $\overline{TV}$ liegt, muss $V$ auf der Geraden durch $T$ und $M$ liegen.
Der Punkt $V$ liegt gleichzeitig auf der Kante $\overline{BS}$ und ist somit der Schnittpunkt der Geraden durch $B$ und $S$ mit der Geraden durch $T$ und $M.$

$\begin{array}[t]{rll} g_{TM}: \, \overrightarrow{x} =& \overrightarrow{OT} + s\cdot \overrightarrow{TM}, s\in \mathbb{R} \\[5pt] =& \pmatrix{0\\0\\0} + s\cdot \pmatrix{4\\4\\12}, s\in \mathbb{R} \\[5pt] =& s\cdot \pmatrix{4\\4\\12}, s\in \mathbb{R}\\[10pt] g_{BS}: \, \overrightarrow{x} =& \overrightarrow{OS} + r\cdot \overrightarrow{SB}, r\in \mathbb{R} \\[5pt] =& \pmatrix{0\\0\\24} + r\cdot \pmatrix{5\\5\\-12}, r\in \mathbb{R} \\[5pt] \end{array}$

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

$s\cdot\pmatrix{4\\4\\12}=\pmatrix{0\\0\\24}+r\cdot\pmatrix{5\\5\\-12}$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 4s &=& 5r \\[5pt] \text{II}\quad& 4s &=& 5r &\quad \\[5pt] \text{III}\quad& 12s &=& 24-12r &\quad \\ \end{array}$

Aus $\text{I}$ folgt $s = \frac{5}{4}r.$ Einsetzen in $\text{III}:$

$\begin{array}[t]{rll} 12s &=& 24-12r &\quad \scriptsize s=\frac{5}{4}r\\[5pt] 12\cdot \frac{5}{4}r&=& 24-12r \\[5pt] 15r &=& 24-12r &\quad \scriptsize \mid\; +12r\\[5pt] 27r &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\;:27 \\[5pt] r &=& \frac{8}{9} \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\overrightarrow{OV} = \pmatrix{0\\0\\24}+\frac{8}{9}\cdot\pmatrix{5\\5\\-12} = \pmatrix{\frac{40}{9} \\ \frac{40}{9} \\ \frac{40}{3}}$

2. Schritt: Geradengleichung für die zweite Diagonale des Drachenvierecks aufstellen
Damit es sich um ein Drachenviereck handelt, müssen $\overline{UV}$ und $\overline{VW}$ gleich lang sein. Also muss die zweite Diagonale $\overline{UW}$ parallel zur Diagonale $\overline{AC}$ des Quadrats $ABCD$ liegen. Außerdem muss $M$ auf $\overline{UW}$ liegen.
Die folgende Gerade $h$ verläuft parallel zu $\overline{AC}$ durch den Punkt $M:$

$\begin{array}[t]{rll} h: \, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OM} + u\cdot \overrightarrow{AC}, u\in \mathbb{R} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\\4\\12} + u\cdot \pmatrix{-10\\10\\0} , u\in \mathbb{R} \end{array}$

3. Schritt: Koordinaten von W bestimmen
$W$ ist der Schnittpunkt von $h$ mit der Geraden durch $A$ und $B:$

$\begin{array}[t]{rll} g_{AB}: \, \overrightarrow{x} =& \overrightarrow{OA} + v\cdot \overrightarrow{AB}, v\in \mathbb{R} \\[5pt] =& \pmatrix{5\\-5\\12 } + v\cdot \pmatrix{0\\10\\0}, v\in \mathbb{R} \end{array}$

Gleichsetzen von $h$ und $g_{AB}:$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{-1\\9\\0} = v\cdot \pmatrix{0\\10\\0} - u\cdot \pmatrix{-10\\10\\0}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -1 &=& 10u \\[5pt] \text{II}\quad& 9 &=& 10v -10u \\[5pt] \text{III}\quad& 0 &=& 0 \\ \end{array}$

Aus $\text{I}$ folgt $u = -0,1.$ Einsetzen in $h:$

$\overrightarrow{OW} = \pmatrix{4\\4\\12} -0,1\cdot \pmatrix{-10\\10\\0} = \pmatrix{5\\3\\12}$

Die Koordinaten lauten also $W(5\mid 3 \mid 12).$ Analog ergibt sich $U$ als Schnittpunkt der Gerade $h$ mit der Gerade durch $B$ und $C$ zu $U(3\mid 5\mid 12).$ Der vierte Eckpunkt ist $V\left(\frac{40}{9}\mid \frac{40}{9}\mid \frac{40}{3}\right).$

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