Hilfsmittelfreier Teil

1.1 Analysis

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $\(f$ und $\(f$ .
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$ .

Die Abbildung zeigt die Positionen von $x_1, x_2$ und $x_3$ .

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist.

(2 BE)

Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f.$

(3 BE)

1.2 Analysis

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=\ln \left(-4 x^2+4\right).$

Ermittle den maximalen Definitionsbereich von $f.$

(2 BE)

Begründe, dass ein Extremum der Funktion bei $x_E=0$ liegt.

(3 BE)

1.3 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+2 ax \;;\; 1\lt a.$
Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$ .

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3} a^3$ hat.

(2 BE)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimme den Wert von $a.$

(3 BE)

1.4 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ , deren Ableitungsfunktion $\(f$ die Gleichung $\(f$ hat.

Es gibt zwei Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von $f$ waagerecht verläuft.
Gib diese beiden Stellen an.

(2 BE)

Die Gerade $t$ mit $t(x)=9 x+1$ ist eine Tangente an den Graphen von $f$ .
Ermittle eine mögliche Funktionsgleichung der Funktion $f.$

(3 BE)

1.5 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 1 \\ 1}+\lambda \cdot\pmatrix{1 \\ 0 \\ -1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt.

(2 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}+\mu \cdot\pmatrix{1 \\ a \\ 0}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$ . Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(3 BE)

1.6 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Geraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\1 \\1 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\2 \\0 \end{array}\right)$ und 

$h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\1 \\1 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\1 \\0 \end{array}\right)$ mit $r, s \in \mathbb{R} .$

Begründe, dass $g$ und $h$ nicht identisch sind.

(1 BE)

Die Gerade $g$ soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade $h$ abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.

(4 BE)

1.5 Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl $2$ , auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a$ . Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann.

(1 BE)

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist $4$ . Bestimme den Wert von $a.$

(4 BE)

1.6 Stochastik

In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen $1$ bis $6$ durchnummeriert sind: Wird die „ $1$ " oder die „ $2$ " erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.

Weise rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden, $\dfrac{20}{27}$ beträgt.

(2 BE)

Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind.

(3 BE)

(30 BE)

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1.1 Analysis

$\(f$ besitzt ein Minimum an der Stelle $x_3$ und muss somit mindestens vom Grad $2$ sein. Dann ist $f$ mindestens vom Grad $3.$

1.2 Analysis

$\begin{array}[t]{rll} -4x^2+4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -4x^2&=&-4 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] x^2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&-1 \end{array}$

Für $-1\lt x\lt 1$ gilt somit $-4x^2+4\gt0.$ Da der Logarithmus nur für echt positive Werte definiert ist folgt für den maximalen Definitionsbereich $D=\{x \mid x \in \mathbb{R} ;-1\lt x\lt 1\}.$

Für die Ableitungen der inneren Funktion $g(x)$ $=-4x^2+4$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Einsetzen von $x_E=0$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlcl} g$

Die innere Funktion $g$ hat bei $x_E=0$ ein Extremum. Da die $\ln$ -Funktion streng monoton steigt, hat somit auch die Funktion $f$ bei $x_E=0$ ein Extremum.

1.3 Analysis

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{2a}f(x)\;\mathrm dx = \dfrac{4}{3}a^3\;[\text{FE}]$

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts ermitteln

$f$ ableiten:

$\(f$

Notwendige Bedingung:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da der Aufgabenstellung entnommen werden kann, dass es sich bei dem Extremum um einen Hochpunkt handelt.

$x_H = a$ in $f(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=&-a^2 + 2a \cdot a \\[5pt] &=& -a^2 + 2 a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

Der Hochpunkt von $f$ hat also die Koordinaten $(a \mid a^2).$

2. Schritt: Flächinhalt berechnen

Da der Hochpunkt des Graphen von $f$ auf der oberen Seite des Quadrats liegt, muss die Seitenlänge des Quadrats $a^2$ betragen. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt somit $a^2 \cdot a^2 = a^4 \; [\text{FE}].$

3. Schritt: $a$ bestimmen

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{4}{3}a^3 \\[5pt] a^4 -\dfrac{4}{3}a^3 &=& 0 \\[5pt] a^3\left(a- \dfrac{4}{3}\right) &=& 0 \\[5pt] a_1 &=& 0 \\[5pt] a_2 &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Da $a\gt1$ gelten soll, folgt $a = \dfrac{4}{3}.$

1.4 Analysis

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukts folgt: $x_1=0$ und $x_2=4$

Eine Stamfunktion von $\(f$ $=3x\cdot(4-x)$ $= 12x-3x^2$ ergibt sich als:

$f(x)=6x^2-x^3+c$

Untersuchen, an welcher Stelle die Tangente $t$ und $f$ die gleiche Steigung haben:

Rechenweg anzeigen

$x_1 = 3,\;x_2=1$

Für $x_2$ folgt beispielsweise $t(1)$ $=10$ und $f(1)$ $=6-1+c$ $=5+c:$

$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=&t(1) &\quad \scriptsize \\[5pt] 5+c&=&10 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] c&=&5 \end{array}$

Eine mögliche Funktionsgleichung der Funktion $f$ ist damit $f(x)$ $=6x^2-x^3+5$

1.5 Analytische Geometrie

Ablesen aus der Geradengleichung von $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x&=&\lambda \\[5pt] y&=&1 \\[5pt] z&=&1-\lambda \end{array}$

Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} x+y+z&=& 2& \\[5pt] \lambda+1+1-\lambda&=& 2& \\[5pt] 2&=& 2 \end{array}$

Somit liegt die Gerade $g$ in der Ebene.

Zwei Geraden sind genau dann windschief, wenn sie nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Parallelität überprüfen:

$\pmatrix{1\\0\\-1}= n\cdot \pmatrix{1\\a\\0}$

Da aus der ersten Zeile $n=1$ , aus der zweiten Zeile $n=0$ und aus der dritten Zeile $-1\neq n\cdot 0$ folgt, sind die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig, das heißt die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ sind somit für alle $a$ nicht parallel zueinander.

Schnittpunkt prüfen:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{\lambda\\1\\-\lambda} = \pmatrix{\mu\\ \mu\cdot a\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt $\lambda=0$ und eingesetzt in die erste Zeile $\lambda=\mu=0.$

Einsetzen in die zweite Zeile ergibt jedoch $1=0\cdot a,$ was einen Widerspruch ergibt.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ haben somit keinen Schnittpunkt und sind damit insgesamt für jeden Wert von $a$ windschief.

1.6 Analytische Geometrie

$g$ und $h$ sind nicht identisch, da die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ keine Vielfachen voneinander sind.

Da die Richtungsvektoren der beiden Geraden gleich lang sind, ergibt sich ein Normalenvektor aus der Differenz der beiden Vektoren:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\0}-\pmatrix{1\\2\\0}=\pmatrix{1\\-1\\0}$

Einsetzen des gemeinsamen Stützpunkts $P(1 \mid 1\mid1)$ in die allgemeine Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} E: n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3&=& c& \\[5pt] 1\cdot 1-1\cdot 1+0\cdot 1&=& c& \\[5pt] 0&=& c \end{array}$

Die Koordinatengleichung folgt also mit:

$E: x_1-x_2=0$

1.5 Stochastik

„Es werden zwei Kugeln aus dem Behälter gezogen, die mit unterschiedlichen Zahlen beschriftet sind."

$X:$ Produkt der Zahlen, die auf den beiden gezogenen Kugeln stehen

Die Produkte ergeben sich zu:

$2\cdot a=2a$

$2\cdot 2=4$

$a\cdot a=a^2$

$\color{#fff}{X}$	$\color{#fff}{P(X)}$
$2a$	$2\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{25}$
$4$	$\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$
$a^2$	$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$

Der Erwartungswert folgt also mit:

$E(X)=4$

Rechnung anzeigen

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2+16}& \\[5pt] &=& -\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{9+16}&\\[5pt] &=& -\dfrac{6}{2}\pm5&\\[5pt] \end{array}$

Daraus ergeben sich $x_1$ $=-\dfrac{6}{2}+5$ $=2$ und $x_2$ $=-\dfrac{6}{2}-5$ $=-8.$

Da der Wert von $a$ laut Aufgabenstellung negativ ist, folgt $a=-8.$

1.6 Stochastik

$S_K:$ schwarze Kugel

$G_K:$ gelbe Kugel

Es gilt $P(S_K)=\dfrac{2}{3}$ und $P(G_K)=\dfrac{1}{3}.$

Somit folgt:

$P=\dfrac{20}{27}$

Rechenweg anzeigen

Für das Ereignis $S_KS_KS_K$ beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, genau 1.

Für die Ereignisse $S_KS_KG_K,$ $S_KG_KS_K$ und $G_KS_KS_K$ beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei schwarze Kugeln gezogen werden, $\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}.$

Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(S_KS_K)&=& \dfrac{12}{27}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{27}\cdot 1 & \\[5pt] &=& \dfrac{12}{27} \end{array}$

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