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Teil B1

Aufgaben
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Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Die Punkte $A$ und $D$ besitzen die Koordinaten $A(0,0\mid 0,0)$ bzw. $D(225,0\mid -63,0).$
Die Strecke $\overline{AB}$ wird durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=-\frac{3}{5}\cdot x$ $(x\in \mathbb{R}; 0,0\leq x\leq 45,0)$ beschrieben. Die Strecke $\overline{BC}$ verläuft parallel zur $x$-Achse. Die jeweilige Tiefe des Tagebauabschnittes entspricht dem Abstand des jeweiligen Punktes der Profillinie zur $x$-Achse.
1.1
Der Punkt $B$ besitzt die Koordinaten $B(45,0\mid g(45,0)).$
Weise nach, dass im Punkt $B$ die Tiefe des Tagebauabschnittes $27,0\,\text{m}$ beträgt.
Zeige, dass der Punkt $D$ auf dem Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=-\frac{9}{40}\cdot x -\frac{99}{8}$ $(x\in \mathbb{R})$ liegt.
Der Punkt $C$ liegt ebenfalls auf dem Graphen von $h$.
Ermittle die Koordinaten von $C.$
(5 BE)
ein Tagebau wurde nach seiner Schließung rekultiviert, wobei das Gelände des Tagebaus ausgeglichen wurde.
Jede Ebene, welche einen $5.000,0\,\text{m}$ langen Geländeabschnitt dieses rekultivierten Tagebaus senkrecht zu sienem Verlauf schneidet, erzeigt die gleiche Profillinie des Geländes.
Diese Profillinie kann in einem kartesischen Koordinatensystem $(1\,\text{Längeneinheit}$ entspricht $1\,\text{Meter})$ modellhaft durch den Graphen der Funktion $f$ mit
$f(x)=5,30\cdot 10^{-7}\cdot x^4-3,06\cdot 10^{-4}\cdot x^3+5,51\cdot 10^{-2}\cdot x^2-3,29\cdot x$
$ f(x)=… $
$(x\in \mathbb{R};0,0\leq x\leq 299,3)$
dargestellt werden (siehe Abbildung 2).
Die jeweilige Tiefe des Geländes entspricht dem Abstand des jeweiligen Punktes des Graphen von $f$ zur $x$-Achse.
Teil B1
Abb. 2: nicht maßstäblich
Teil B1
Abb. 2: nicht maßstäblich
1.2
Zeige, dass die maximale Tiefe dieses Geländes $89,7\,\text{m}$ beträgt.
(2 BE)
1.3
Ein Raupenfahrzeug kann Steigungen bis zu $75\,\%$ bewältigen. Es soll entlang der Profillinie dieses Geländes vom Punkt $R(44,9\mid f(44,9))$ zum Punkt $S(138,3\mid f(138,3))$ fahren.
Untersuche, ob das Raupenfahrzeug jede Steigung auf dieser Fahrt bewältigen kann.
(3 BE)
Der Geländeabschnitt wurde zur Schaffung eines Biotops geflutet.
1.4
Bei der Flutung nahm das Wasservolumen in diesem $5.000,0\,\text{m}$ langen Geländeabschnitt durchschnittlich um $42\,\text{m}^3$ pro Minute zu. Zu Beginn der Flutung befand sich kein Wasser im Geländeabshcnitt. Bei vollständiger Flutung verläuft die Profillinie der Wasseroberfläche im Modell entlang der $x$-Achse.
Ermittle die Anzahl der Tage bis zur vollständigen Flutung.
(6 BE)
1.5
Ein Tauchroboter untersucht nach der Flutung den Boden des Geländeabschnittes. Zu Beginn des Tauchgangs befindet sich der Tauchroboter an einem Ort, welcher im Modell die Koordinaten $T(60,0\mid -10,0)$ besitzt. Der Tauchroboter soll auf kürzestem Weg zur Profillinie des Geländes gesteuert werden.
Bestimme die Länge dieses kürzesten Weges.
(3 BE)
1.6
Zur Schaffung eines Fischbestandes in diesem Biotop wurden ausschließlich Karpfen, Barben und Schleien ausgesetzt. Das Umweltamt untersucht die Entwicklung des Fischbestandes. Zu diesem Zweck wurden $100$ Fische zufällig gefangen und wieder ausgesetzt. Unter den $100$ Fischen befanden sich $48$ Karpfen und $36$ Barben. Das Umweltamt schließt von dieser Zufallsstichprobe auf die Grundgesamtheit.
Begründe, dass aufgrund dieser Schlussfolgerung die Wahrscheinlichkeit, eine Schleie zu fangen, $16\,\%$ beträgt.
Es werden drei Fische aus dem Biotop zufällig gefangen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den drei gefangenen Fischen ein Karpfen, eine Barbe und eine Schleie befinden.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Tiefe nachweisenTeil B1
Da die Tiefe des Tagebauabschnittes dem Abstand des jeweiligen Punktes zur $x$-Achse entspricht, wird die Tiefe im Punkt $B$ durch den Betrag der $y$-Koordinate angegeben.
$\begin{array}[t]{rll} g(45,0)&=& -\frac{3}{5}\cdot 45,0 \\[5pt] &=& -27,0 \end{array}$
$ g(45,0)=-27,0 $
Die Tiefe des Tagebauabschnittes beträgt im Punkt $B$ also $27,0\,\text{m}.$
$\blacktriangleright$  Lage von $\boldsymbol{D}$ auf dem Graphen nachweisen
Die Koordinaten von $D$ sind mit $D(225,0\mid -63,0)$ angegeben. Damit $D$ auf dem Graphen von $h$ liegt, müssen diese die Funktionsgleichung von $h$ erfüllen.
$\begin{array}[t]{rll} h(225,0)&=& -\frac{9}{40}\cdot 225,0 -\frac{99}{8} \\[5pt] &=& -63,0 \end{array}$
$ h(225,0)=-63,0 $
$D$ liegt also auf dem Graphen von $h.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Da die Strecke $\overline{BC}$ parallel zur $x$-Achse verläuft, besitzt der Punkt $C$ die gleiche $y$-Koordinate wie $B:$ $y_C= -27,0.$ Die $x$-Koordinate muss nun so gewählt werden, dass die Koordinaten die Funktionsgleichung von $h$ erfüllen, da $C$ ebenfalls auf dem Graphen von $h$ liegen soll.
Die daraus entstehende Gleichung kannst du mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen von $h$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $-27,0$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -27,0 &\quad \scriptsize \mid\;GTR \\[5pt] x&=& 65 \end{array}$
$ x = 65 $
Die Koordinaten von $C$ lauten $C(65\mid -27,0).$
1.2
$\blacktriangleright$  Maximale Tiefe nachweisen
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von $f$ mit deinem GTR, indem du dir den Graphen von $f$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
Du erhältst die beiden Tiefpunkte $T_1(44,9\mid -62,2)$ und $T_2(249,8\mid -89,7).$ Da die minimale Tiefe nicht an den Rändern liegen kann, da dann das Wasser abfließen würde, ist $T_2$ der tiefste Punkt des Modells. Die maximale Tiefe des Geländes beträgt also ca. $89,7\,\text{m}.$
#extrempunkt
1.3
$\blacktriangleright$  Voraussetzung für das Raupenfahrzeug überprüfen
Bestimme die maximale Steigung auf der betrachteten Strecke. Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $f'$ beschrieben.
$f'(x)= 21,20\cdot 10^{-7}\cdot x^3 -9,18\cdot 10^{-4}\cdot x^2 +11,02\cdot 10^{-2}\cdot x-3,29$
$ f'(x)= … $
Untersuche den Graphen von $f'$ auf Hochpunkte und überprüfe die Intervallränder.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX
Du erhältst den Hochpunkt $H(85,121\mid 0,746).$ Für die Intervallränder gilt:
$f'(44,9)\approx 0,0$ und $f'(138,3) \approx 0,0$
Die maximale Steigung auf dem Stück der Profilline, auf dem sich das Raupenfahrzeug bewegen soll, beträgt also ca. $0,746 =74,5\,\% $ und liegt damit gerade noch unter $75\,\%,$ sodass das Raupenfahrzeug jede Steigung auf der vorgesehenen Strecke bewältigen kann.
#steigung#extrempunkt
1.4
$\blacktriangleright$  Anzahl Tage bis zur vollständigen Flutung ermitteln
Berechne zunächst das Volumen des Geländeabschnitts und damit das Volumen des Wassers, das insgesamt zur Flutung benötigt wird.
1. Schritt: Größe der Querschnittsfläche berechnen
Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Geländeabschnitts kann mithilfe eines Integrals der Funktion $f$ bestimmt werden. Zur Berechnung des Integrals kannst du deinen GTR verwenden.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$
$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& \left|\displaystyle\int_{0,0}^{299,3}f(x)\;\mathrm dx \right| &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 14.221,0 \\[5pt] \end{array}$
$ A_Q \approx 14.221,0$
Die Querschnittsfläche ist also ca. $14.221\,\text{m}^2$ groß.
2. Schritt: Volumen berechnen
Die Länge des Abschnitts beträgt $5.000,0\,\text{m}.$ Das Volumen des Geländeabschnitts ergibt sich also analog zu dem eines Prismas zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 14.221,0\,\text{m}^2 \cdot 5.000,0\,\text{m} \\[5pt] &=& 71.105.000\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V=71.105.000\,\text{m}^3 $
3. Schritt: Geflutete Menge pro Tag berechnen
Pro Minute steigt das Volumen des Wasser im Schnitt um $42\,\text{m}^3.$ Pro Stunde steigt es also um
$42\,\text{m}^3 \cdot 60 = 2.520\,\text{m}^3,$ pro Tag also um
$2.520\,\text{m}^3 \cdot 24 = 60.480\,\text{m}^3$
4. Schritt: Anzahl der Tage berechnen
$71.105.000\,\text{m}^3 : 60.480\,\text{m}^3 \approx 1.176$
$ …\approx 1.176 $
Bis zur vollständigen Flutung werden ca. $1.176$ Tage benötigt.
#integral
1.5
$\blacktriangleright$  Länge des kürzesten Wegs bestimmen
Gesucht ist der minimale Abstand des Punkts $T$ zum Graphen von $f.$ Dieser kann mithilfe der Formel für den Abstand zweier Punkte durch folgende Funktion beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& \sqrt{ (f(x)-y_T)^2 +(x-x_T)^2 } \\[5pt] &=&\sqrt{(5,30\cdot 10^{-7}\cdot x^4-3,06\cdot 10^{-4}\cdot x^3+5,51\cdot 10^{-2}\cdot x^2-3,29\cdot x+10,0)^2 + (x-60,0)^2} \end{array}$
$ d(x)=… $
Untersuche den Graphen von $d$ wie zuvor mithilfe deines GTRs auf Tiefpunkte. Der Graph von $d$ besitzt zwei Tiefpunkte:
$T_3(12,5\mid 52,8)$ und $T_4(84,2\mid 40,4)$
Die Länge des kürzesten Weges beträgt also ca. $40,4\,\text{m}.$
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Schleie begründen
Von den $100$ gefangenen Fischen waren $48$ Karpfen und $36$ Barben. Da ausschließlich Karpfen, Barben und Schleien ausgesetzt wurden, müssen die restlichen gefangenen Fische Schleien gewesen sein:
$100 -48-36 = 16$
$16$ der $100$ gefangenen Fische waren also Schleien und damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Schleie aufgrund der Schlussfolgerung $16\,\%.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Zur besseren Übersicht kannst du ein Baumdiagramm zeichnen. Insgesamt führen 6 Pfade zum gewünschten Ergebnis, dass von jeder Fischart ein Fisch gefangen wird. Diese Pfade haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 6\cdot \frac{48}{100}\cdot \frac{36}{100}\cdot \frac{16}{100}&=& 0,027648 \\[5pt] &\approx& 2,8\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ … \approx 2,8\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,8\,\%$ befinden sich unter den drei gefangenen Fischen ein Karpfen, eine Barbe und eine Schleie.
#pfadregeln
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