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Teil B2

Aufgaben
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Teil B2
Abb. 1 (nicht maßstäblich)
Teil B2
Abb. 1 (nicht maßstäblich)
2.1
Ein Eckpunkt des Überhangs besitzt die geringste Höhe über dem Hallenboden. Weise nach, dass diese geringste Höhe $4,0\,\text{m}$ beträgt.
(2 BE)
2.2
Bestimme den Neigungswinkel des Überhangs gegenüber dem Hallenboden.
(2 BE)
#neigungswinkel
2.3
Vom Punkt $P(0,0\mid 0,0\mid 10,0)$ verläuft ein geradliniges Spannseil senkrecht zum Überhang.
Dieses Spannseil ist im Punkt $Q$ des Überhangs befestigt. Ermittle die Koordinaten des Punktes $Q.$ Gib die Länge des Spannseils zwischen den Punkten $P$ und $Q$ an.
(4 BE)
2.4
Der dreieckige Überhang soll ausgetauscht werden. Die Materialkosten betragen $50,00\,€$ pro Quadratmeter ohne Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer beträgt $19\,\%.$
Ermittle die Materialkosten einschließlich Mehrwertsteuer für den Austausch des dreieckigen Überhangs.
(4 BE)
2.5
Es gibt Kletterrouten, die entlang der beiden zum Hallenboden senkrechten Kletterwände vom Punkt $A(4,0\mid 0,0\mid 0,0)$ über einen Punkt $B$ auf der $z$-Achse zum Punkt $C(0,0\mid 6,0\mid 6,0)$ verlaufen. Unter diesen Kletterrouten gibt es eine kürzeste Route.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $B$ für diese kürzeste Route.
(3 BE)
In der Kletterhalle können Kletterrouten der Kategorie $\text{I}$ und Kletterrouten der Kategorie $\text{II}$ gewählt werden.
Erfahrungsgemäß sind von allen gewählten Kletterrouten $68\,\%$ Kletterrouten der Kategorie $\text{I}.$ Von diesen werden $54\,\%$ ohne Absturz bewältigt.
Insgesamt werden $62\,\%$ aller gewählten Kletterrouten ohne Absturz bewältigt.
2.6
Ermittle die Anzahl der zu erwartenden Abstürze bei $100$ gewählten Kletterrouten.
(2 BE)
2.7
Eine Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ wurde gewählt.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass dabei ein Absturz erfolgt.
Eine Kletterroute der Kategorie $\text{II}$ wurde gewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei kein Absturz erfolgt.
(3 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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2.1
$\blacktriangleright$  Geringste Höhe nachweisen
Die Höhe der beiden Eckpunkte, die nicht auf der $z$-Achse liegen ist mit $10$ Metern angegeben. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $z$-Achse. Alle Punkte auf der $z$-Achse haben die Koordinaten $E_z(0\mid 0\mid z).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x+3y-4z&=& -16 &\quad \scriptsize \mid\;x=0, y=0 \\[5pt] -4z&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] z&=&4 \end{array}$
$ z= 4 $
Der Eckpunkt des Überhangs, der auf der $z$-Achse liegt hat die Koordinaten $E(0\mid 0\mid 4)$ und damit eine Höhe von $4$ Metern über dem Hallenboden. Die anderen beiden Eckpunkte des dreieckigen Überhangs befinden sich $10$ Meter über dem Hallenboden. Damit ist $4$ Meter die geringste Höhe über dem Hallenboden.
2.2
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel bestimmen
Der Neigungswinkel $\alpha$ des Überhangs gegenüber dem Hallenboden entspricht dem Neigungswinkel der Ebene $E$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene. Dessen Größe kann mithilfe eines Normalenvektors von $E$, beispielsweise aus der Ebenengleichung $\overrightarrow{n}_E= \pmatrix{3\\3\\-4}$, und einem Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene, beispielsweise $\overrightarrow{n}_z = \pmatrix{0\\0\\1},$ wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_E \circ\overrightarrow{n}_z\right|}{\left|\overrightarrow{n}_E \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_z \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{3\\3\\-4} \circ\pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{3\\3\\-4} \right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{4}{\sqrt{3^2+3^2+(-4)^2}\cdot 1} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{4}{\sqrt{34}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 46,69^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 46,69^{\circ}$
Der Überhang ist gegenüber dem Hallenboden um ca. $46,69^{\circ}$ geneigt.
2.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Der Punkt $Q$ ist der Schnittpunkt des Überhangs und des Seils, also der Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Geraden $g$, die senkrecht zum Überhang durch den Punkt $P$ verläuft.
Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OP}+t\cdot \overrightarrow{n}_E \\[5pt] &=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ t\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} \end{array}$
$ g:\, \overrightarrow{x} = … $
Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinten $G_t(3t\mid 3t\mid 10,0-4t).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt] 3\cdot 3t +3\cdot 3t -4\cdot (10,0-4t)&=& -16 \\[5pt] 34t-40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\; +40\\[5pt] 34t&=& 24 &\quad \scriptsize \mid\;:34 \\[5pt] t&=& \frac{12}{17} \\[5pt] \end{array}$
$ t = \frac{12}{17}$
Einsetzen in die Geradengleichung von $g$ liefert den Ortsvektor von $Q:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OQ}&=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ t\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} &\quad \scriptsize \mid\;t= \frac{12}{17} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ \frac{12}{17}\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{122}{17}} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OQ} = \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{122}{17}} $
Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q\left(\frac{36}{17}\mid \frac{36}{17}\mid \frac{122}{17}\right).$
$\blacktriangleright$  Länge des Seils bestimmen
Die Länge des Seils kann über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{PQ} \right|&=& \left| \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{-48}{17}}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left(\frac{36}{17}\right)^2+\left(\frac{36}{17}\right)^2+\left( \frac{-48}{17}\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{12\cdot \sqrt{34}}{17} \\[5pt] &\approx& 4,12 \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{PQ} \right| \approx 4,12$
Das Seil zwischen den Punkten $P$ und $Q$ ist ca. $4,12\,\text{m}$ lang.
2.4
$\blacktriangleright$  Materialkosten berechnen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte berechnen
Der erste Eckpunkt des dreieckigen Überhangs hat die Koordinaten $E(0\mid 0\mid 4).$ Die übrigen beiden befinden sich an den beiden Kletterwänden jeweils in einer Höhe von $10,0$ Metern über dem Hallenboden. Beide haben also die $z$-Koordinate $z=10.$ Einer von ihnen befindet sich in der $x$-$z$-Ebene und hat daher die $y$-Koordinaten $y = 0,$ der zweite befindet sich in der $y$-$z$-Ebene und hat daher die $x$-Koordinate $x=0:$
$R(0\mid y_R\mid 10),$ $S(x_S\mid 0\mid 10)$
Beide Punkte müssen auf der Ebene $E$ liegen:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt] 3\cdot 0 +3\cdot y_R -4\cdot 10&=&-16 \\[5pt] 3\cdot y_R -40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+40 \\[5pt] 3y_R&=& 24&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y_R&=& 8 \end{array}$
$ y_R=8 $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $R(0\mid 8\mid 10).$
$\begin{array}[t]{rll} E:\,3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt] 3\cdot x_S +3\cdot 0-4\cdot 10&=&-16 \\[5pt] 3x_S-40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+40 \\[5pt] 3x_S&=&24 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x_S&=&8 \end{array}$
$ x_S=8 $
Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten $S(8\mid 0\mid 10).$
2. Schritt: Flächeninhalt des Überhangs berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ERS$ kann mit dem Kreuzprodukt wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ERS}&=&\frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{ER}\times \overrightarrow{RS} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\8\\6}\times \pmatrix{8\\-8\\0} \right| \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{8\cdot 0 -6\cdot (-8)\\6\cdot 8 -0\cdot 0\\ 0\cdot (-8)-8\cdot 8}\right|\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{48\\48\\-64} \right|\\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot\sqrt{ 48^2+48^2+(-64)^2}\\[5pt] &=& 8\cdot \sqrt{34} \\[5pt] &\approx& 46,65 \end{array}$
$ A\approx 46,65 $
Der Überhang ist ca. $46,65\,\text{m}^2$ groß.
3. Schritt: Kosten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} K&=& A\cdot 50\,\frac{€}{\text{m}^2}\cdot 1,19 \\[5pt] &=& 46,65\,\text{m}^2\cdot 50\,\frac{€}{\text{m}^2}\cdot 1,19 \\[5pt] &\approx& 2.776\,€ \\[5pt] \end{array}$
$ K\approx 2.776\,€ $
Einschließlich Mehrwertsteuer betragen die Materialkosten für den Austausch des Überhangs ca. $2.776\,€.$
2.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Der Punkt $B$ liegt auf der $z$-Achse und hat demnach folgende Koordinaten:
$B(0,0\mid 0,0\mid z_B)$
Die Länge der Kletterroute kann in Abhängigkeit von $z_B$ dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(z_B)&=& \left| \overrightarrow{AB}\right|+ \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{-4,0\\0,0\\z_B} \right| + \left|\pmatrix{0,0\\6,0\\6,0-z_B} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2 +0^2+z_B^2}+\sqrt{0^2+6^2+(6-z_B)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{16 +z_B^2}+\sqrt{36+(6-z_B)^2} \\[5pt] \end{array}$
$ d(z_B)= … $
Teil B2
Abb. 1: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum
Teil B2
Abb. 1: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum
Da dies das einzige Extremum von $d$ ist, ist dies die Stelle mit dem kleinsten Funktionswert von $d$.
Der Punkt $B$ hat für die kürzeste Route die Koordinaten $B\left(0,0\mid 0,0\mid 2,4\right).$
#extrempunkt
2.6
$\blacktriangleright$  Anzahl der zu erwartenden Abstürze berechnen
$62\,\%$ aller gewählten Kletterrouten werden ohne Absturz bewältigt. Von $100$ Kletterrouten sind also $100\cdot 0,62 = 62$ Kletterrouten ohne Absturz erwartet. Bei den übrigen $100-62=38$ wird ein Absturz erwartet.
Bei $100$ gewählten Kletterrouten werden also $38$ Abstürze erwartet.
2.7
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Absturz berechnen
Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kletterroute ohne Absturz bei einer Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ $54\,\%$ beträgt. Wir bezeichnen mit $A$ das Ereignis, dass bei einer Kletterroute ein Absturz erfolgt, mit $\text{I}$ das Ereignis, dass es sich bei einer Kletterroute um eine Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ handelt.
Alle Kletterrouten, die nicht ohne Absturz bewältigt werden, führen zu einem Absturz. Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, bzw. dem Gegenereignis, folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(A)&=&1-P_{\text{I}}(\overline{A}) \\[5pt] &=& 1- 0,54 \\[5pt] &=&0,46 \\[5pt] &=& 46\,\% \end{array}$
$ P_{\text{I}}(A)=46\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $46\,\%$ erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ ein Absturz.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Absturz berechnen
Teil B2
Abb. 2: Baumdiagramm
Teil B2
Abb. 2: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln setzt sich $P(\overline{A})$ wie folgt zusammen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P(\text{I})\cdot P_{\text{I}}(\overline{A})+P(\text{II})\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) &\quad \scriptsize \mid\; P(\text{II}) = 1-P(\text{I}) \\[5pt] P(\overline{A})&=& P(\text{I})\cdot P_{\text{I}}(\overline{A})+(1-P(\text{I}))\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt] 0,62&=& 0,68\cdot 0,54+0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt] 0,62&=& 0,3672 +0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A})&\quad \scriptsize \mid\;-0,3672 \\[5pt] 0,2528&=& 0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A})&\quad \scriptsize \mid\;:0,32 \\[5pt] 0,79&=& P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt] \end{array}$
$ P_{\text{II}}(\overline{A}) = 0,79 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $79\,\%$ erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie $\text{II}$ kein Absturz.
#pfadregeln#baumdiagramm
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2.1
$\blacktriangleright$  Geringste Höhe nachweisen
Die Höhe der beiden Eckpunkte, die nicht auf der $z$-Achse liegen ist mit $10$ Metern angegeben. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $z$-Achse. Alle Punkte auf der $z$-Achse haben die Koordinaten $E_z(0\mid 0\mid z).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x+3y-4z&=& -16 &\quad \scriptsize \mid\;x=0, y=0 \\[5pt] -4z&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] z&=&4 \end{array}$
$ z= 4 $
Der Eckpunkt des Überhangs, der auf der $z$-Achse liegt hat die Koordinaten $E(0\mid 0\mid 4)$ und damit eine Höhe von $4$ Metern über dem Hallenboden. Die anderen beiden Eckpunkte des dreieckigen Überhangs befinden sich $10$ Meter über dem Hallenboden. Damit ist $4$ Meter die geringste Höhe über dem Hallenboden.
2.2
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel bestimmen
Der Neigungswinkel $\alpha$ des Überhangs gegenüber dem Hallenboden entspricht dem Neigungswinkel der Ebene $E$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene. Dessen Größe kann mithilfe eines Normalenvektors von $E$, beispielsweise aus der Ebenengleichung $\overrightarrow{n}_E= \pmatrix{3\\3\\-4}$, und einem Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene, beispielsweise $\overrightarrow{n}_z = \pmatrix{0\\0\\1},$ wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_E \circ\overrightarrow{n}_z\right|}{\left|\overrightarrow{n}_E \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_z \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{3\\3\\-4} \circ\pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{3\\3\\-4} \right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{4}{\sqrt{3^2+3^2+(-4)^2}\cdot 1} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{4}{\sqrt{34}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 46,69^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 46,69^{\circ}$
Der Überhang ist gegenüber dem Hallenboden um ca. $46,69^{\circ}$ geneigt.
2.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Der Punkt $Q$ ist der Schnittpunkt des Überhangs und des Seils, also der Schnittpunkt der Ebene $E$ und der Geraden $g$, die senkrecht zum Überhang durch den Punkt $P$ verläuft.
Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OP}+t\cdot \overrightarrow{n}_E \\[5pt] &=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ t\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} \end{array}$
$ g:\, \overrightarrow{x} = … $
Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinten $G_t(3t\mid 3t\mid 10,0-4t).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt] 3\cdot 3t +3\cdot 3t -4\cdot (10,0-4t)&=& -16 \\[5pt] 34t-40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\; +40\\[5pt] 34t&=& 24 &\quad \scriptsize \mid\;:34 \\[5pt] t&=& \frac{12}{17} \\[5pt] \end{array}$
$ t = \frac{12}{17}$
Einsetzen in die Geradengleichung von $g$ liefert den Ortsvektor von $Q:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OQ}&=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ t\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} &\quad \scriptsize \mid\;t= \frac{12}{17} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ \frac{12}{17}\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} \\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{122}{17}} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OQ} = \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{122}{17}} $
Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $Q\left(\frac{36}{17}\mid \frac{36}{17}\mid \frac{122}{17}\right).$
$\blacktriangleright$  Länge des Seils bestimmen
Die Länge des Seils kann über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{PQ} \right|&=& \left| \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{-48}{17}}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left(\frac{36}{17}\right)^2+\left(\frac{36}{17}\right)^2+\left( \frac{-48}{17}\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{12\cdot \sqrt{34}}{17} \\[5pt] &\approx& 4,12 \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{PQ} \right| \approx 4,12$
Das Seil zwischen den Punkten $P$ und $Q$ ist ca. $4,12\,\text{m}$ lang.
2.4
$\blacktriangleright$  Materialkosten berechnen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte berechnen
Der erste Eckpunkt des dreieckigen Überhangs hat die Koordinaten $E(0\mid 0\mid 4).$ Die übrigen beiden befinden sich an den beiden Kletterwänden jeweils in einer Höhe von $10,0$ Metern über dem Hallenboden. Beide haben also die $z$-Koordinate $z=10.$ Einer von ihnen befindet sich in der $x$-$z$-Ebene und hat daher die $y$-Koordinaten $y = 0,$ der zweite befindet sich in der $y$-$z$-Ebene und hat daher die $x$-Koordinate $x=0:$
$R(0\mid y_R\mid 10),$ $S(x_S\mid 0\mid 10)$
Beide Punkte müssen auf der Ebene $E$ liegen:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, 3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt] 3\cdot 0 +3\cdot y_R -4\cdot 10&=&-16 \\[5pt] 3\cdot y_R -40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+40 \\[5pt] 3y_R&=& 24&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y_R&=& 8 \end{array}$
$ y_R=8 $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $R(0\mid 8\mid 10).$
$\begin{array}[t]{rll} E:\,3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt] 3\cdot x_S +3\cdot 0-4\cdot 10&=&-16 \\[5pt] 3x_S-40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+40 \\[5pt] 3x_S&=&24 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x_S&=&8 \end{array}$
$ x_S=8 $
Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten $S(8\mid 0\mid 10).$
2. Schritt: Flächeninhalt des Überhangs berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ERS$ kann mit dem Kreuzprodukt wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ERS}&=&\frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{ER}\times \overrightarrow{RS} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\8\\6}\times \pmatrix{8\\-8\\0} \right| \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{8\cdot 0 -6\cdot (-8)\\6\cdot 8 -0\cdot 0\\ 0\cdot (-8)-8\cdot 8}\right|\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{48\\48\\-64} \right|\\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot\sqrt{ 48^2+48^2+(-64)^2}\\[5pt] &=& 8\cdot \sqrt{34} \\[5pt] &\approx& 46,65 \end{array}$
$ A\approx 46,65 $
Der Überhang ist ca. $46,65\,\text{m}^2$ groß.
3. Schritt: Kosten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} K&=& A\cdot 50\,\frac{€}{\text{m}^2}\cdot 1,19 \\[5pt] &=& 46,65\,\text{m}^2\cdot 50\,\frac{€}{\text{m}^2}\cdot 1,19 \\[5pt] &\approx& 2.776\,€ \\[5pt] \end{array}$
$ K\approx 2.776\,€ $
Einschließlich Mehrwertsteuer betragen die Materialkosten für den Austausch des Überhangs ca. $2.776\,€.$
2.5
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Der Punkt $B$ liegt auf der $z$-Achse und hat demnach folgende Koordinaten:
$B(0,0\mid 0,0\mid z_B)$
Die Länge der Kletterroute kann in Abhängigkeit von $z_B$ dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(z_B)&=& \left| \overrightarrow{AB}\right|+ \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{-4,0\\0,0\\z_B} \right| + \left|\pmatrix{0,0\\6,0\\6,0-z_B} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2 +0^2+z_B^2}+\sqrt{0^2+6^2+(6-z_B)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{16 +z_B^2}+\sqrt{36+(6-z_B)^2} \\[5pt] \end{array}$
$ d(z_B)= … $
Teil B2
Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
Teil B2
Abb. 1: F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN
Da dies das einzige Extremum von $d$ ist, ist dies die Stelle mit dem kleinsten Funktionswert von $d$.
Der Punkt $B$ hat für die kürzeste Route die Koordinaten $B\left(0,0\mid 0,0\mid 2,4\right).$
#extrempunkt
2.6
$\blacktriangleright$  Anzahl der zu erwartenden Abstürze berechnen
$62\,\%$ aller gewählten Kletterrouten werden ohne Absturz bewältigt. Von $100$ Kletterrouten sind also $100\cdot 0,62 = 62$ Kletterrouten ohne Absturz erwartet. Bei den übrigen $100-62=38$ wird ein Absturz erwartet.
Bei $100$ gewählten Kletterrouten werden also $38$ Abstürze erwartet.
2.7
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Absturz berechnen
Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kletterroute ohne Absturz bei einer Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ $54\,\%$ beträgt. Wir bezeichnen mit $A$ das Ereignis, dass bei einer Kletterroute ein Absturz erfolgt, mit $\text{I}$ das Ereignis, dass es sich bei einer Kletterroute um eine Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ handelt.
Alle Kletterrouten, die nicht ohne Absturz bewältigt werden, führen zu einem Absturz. Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, bzw. dem Gegenereignis, folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(A)&=&1-P_{\text{I}}(\overline{A}) \\[5pt] &=& 1- 0,54 \\[5pt] &=&0,46 \\[5pt] &=& 46\,\% \end{array}$
$ P_{\text{I}}(A)=46\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $46\,\%$ erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie $\text{I}$ ein Absturz.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für keinen Absturz berechnen
Teil B2
Abb. 2: Baumdiagramm
Teil B2
Abb. 2: Baumdiagramm
Mit den Pfadregeln setzt sich $P(\overline{A})$ wie folgt zusammen:
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&=& P(\text{I})\cdot P_{\text{I}}(\overline{A})+P(\text{II})\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) &\quad \scriptsize \mid\; P(\text{II}) = 1-P(\text{I}) \\[5pt] P(\overline{A})&=& P(\text{I})\cdot P_{\text{I}}(\overline{A})+(1-P(\text{I}))\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt] 0,62&=& 0,68\cdot 0,54+0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt] 0,62&=& 0,3672 +0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A})&\quad \scriptsize \mid\;-0,3672 \\[5pt] 0,2528&=& 0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A})&\quad \scriptsize \mid\;:0,32 \\[5pt] 0,79&=& P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt] \end{array}$
$ P_{\text{II}}(\overline{A}) = 0,79 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $79\,\%$ erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie $\text{II}$ kein Absturz.
#baumdiagramm#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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